五年级上册奥数数的整除问题例题含答案.docx
- 文档编号:1839103
- 上传时间:2022-10-24
- 格式:DOCX
- 页数:8
- 大小:209.43KB
五年级上册奥数数的整除问题例题含答案.docx
《五年级上册奥数数的整除问题例题含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《五年级上册奥数数的整除问题例题含答案.docx(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
五年级上册奥数数的整除问题例题含答案
第一讲数的整除问题
数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识
1.整除——约数和倍数
例如:
15÷3=5,63÷7=9
一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。
记作b|a.否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作ba。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
例如:
在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。
2.数的整除性质
性质1:
如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。
即:
如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。
例如:
如果2|10,2|6,那么2|(10+6),
并且2|(10—6)。
性质2:
如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:
如果bc|a,那么b|a,c|a。
性质3:
如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
即:
如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
例如:
如果2|28,7|28,且(2,7)=1,
那么(2×7)|28。
性质4:
如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
即:
如果c|b,b|a,那么c|a。
例如:
如果3|9,9|27,那么3|27。
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征:
个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:
一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征:
个位是0或5。
③能被3(或9)整除的数的特征:
各个数位数字之和能被3(或9)整除。
④能被4(或25)整除的数的特征:
末两位数能被4(或25)整除。
例如:
1864=1800+64,因为100是4与25的倍数,所以1800是4与25的倍数.又因为4|64,所以1864能被4整除.但因为2564,所以1864不能被25整除.
⑤能被8(或125)整除的数的特征:
末三位数能被8(或125)整除。
例如:
29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与125的倍数.又因为125|375,所以29375能被125整除.但因为8375,所以829375。
⑥能被11整除的数的特征:
这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。
例如:
判断123456789这九位数能否被11整除?
解:
这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5,又因为115,所以11123456789。
再例如:
判断13574是否是11的倍数?
解:
这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是:
(4+5+1)-(7+3)=0.因为0是任何整数的倍数,所以11|0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7(11或13)整除的数的特征:
一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。
例如:
判断1059282是否是7的倍数?
解:
把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282=777,又7|777,所以7|1059282.因此1059282是7的倍数。
再例如:
判断3546725能否被13整除?
解:
把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数,因为821—2=819,又13|819,所以13|2821,进而13|3546725.
二、例题
解:
∵45=5×9,
∴根据整除“性质2”可知
∴y可取0或5。
∴满足条件的六位数是519930或919935。
例2李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔,共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同,请问每支钢笔多少元?
解:
∵9□.2□元=9□2□分
28=4×7,
∴根据整除“性质2”可知
4和7均能整除9□2□。
4|2□可知□处能填0或4或8。
因为79020,79424,所以□处不能填0和4;
因为7|9828,所叫□处应该填8。
又∵9828分=98.28元
98.28÷28=3.51(元)
答:
每支钢笔3.51元。
个条件的整数。
∴根据能被11整除的数的特征可知:
1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数,
即11|(15—5a).或11|(5a—15)。
但是15—5a=5(3—a),5a—15=5(a—3),又(5,11)=1,因此111(3—a)或11|(a—3)。
又∵a是数位上的数字。
∴a只能取0~9。
所以只有a=3才能满足11|(3—a)或11|(a—3),
即当a=3时,11|15—5a。
符合题意的整数只有1323334353。
互不相同),且它能被11整除,你能找到一个符合条件的整数吗?
解:
∵91=7×13,且(7,13)=1。
根据一个数能被7或13整除的特征可知:
因为(7,10)=1,(13,10)=1,所以7,13也就是7,13,因此,用一次性质(特征),就去掉了两组;反复使用性质996次,最后转化成:
原数能被7以及13整除,当且仅当能被7以及13整除
又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3,∴=364
例5在865后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被3、4、5整除,且使这个数值尽可能的小。
5整除,所以它应满足以下三个条件:
第一,数字和(8+6+5+a+b+c)是3的倍数。
第三,末位数字c是0或5。
又∵能被4整除的数的个位数不可能是5。
∴c只能取O.因而b只能取自O,2,4,6,8中之一。
∴a+b除以3余2。
为满足题意“数值尽可能小”,只需取a=0,b=2。
∴要求的六位数是865020。
分析∵26=2×13,
∴y可能取0、2、4、5、6、8。
当y=0时,
∴根据整除“性质1”,有13|9x+6,
经试验可知只有当x=8时,13|9x+6,
∴当y=0时,符合题意的六位数是819910。
所以13整除9x+6—2,
即13|9x+4。
经试验可知只有当x=1时,13|9x+4。
∴当y=2时,符合题意的六位数是119912。
同理,当y=4时,13|9x+6-4,
即13|9x+2,
经试验可知当x=7时,13|9x+2。
∴当y=4时,符合题意的六位数是719914。
同理,当y=6时,13|9x+6—6。
即13|9x.
∴当y=6时,找不到符合题意的六位数。
同理,当y=8时,13|9x+6-8,
即13|9x-2。
经试验只有当x=6时,13|9x-2。
∴当y=8时,符合题意的六位数是619918。
答:
满足本题条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。
习题一
样的五位数。
4.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数,试问:
这个数能否被3整除?
5.一本陈年老账上记着:
72只桶,共□67.9□元.这里□处字迹已不清.请把□处数字补上,并求桶的单价。
6.证明:
任意一个三位数连着写两次得到一个六位数,这个六位数一定能同时被7、11、13整除.
有找到倒数?
它们有没有倒数?
如果有,又是多少呢?
同桌讨论说说你的发现。
3.出示课件想一想。
我的发现:
1的倒数是
(1),0(没有)倒数。
师提问:
(1)为什么1的倒数是1?
生答:
(因为1×1=1“根据乘积是1的两个数互为倒数”,所以1的倒数是1)
(2)为什么0没有倒数?
生答:
(因为0与任何数相乘都等于0,而不等于1,所以0没有倒数)
4.探讨带分数、小数的倒数的求法
师:
看来像这样的分数与整数它的倒数求法很简单,可是我们学过的不仅仅是分数、整数,还有呢?
这些数的倒数又该怎样求呢?
请同桌的同学讨论一下,把你们讨论的结果填在表格上。
它的倒数
求这一类数的倒数的方法
分数
2
小数
0.2
1.75
你们有结果了吗?
谁愿意到这里把你们组的讨论结果说出来与大家共享(师切换实物投影),小组汇报讨论结果,学生自己用投影展示讨论结果并说明。
当你给带分数、小于1的小数、大于1的小数找出倒数后你有没有发现什么规律?
请你对照大屏幕说说自己的发现:
发现1:
带分数的倒数都(小于)本身;
发现2:
比1小的小数的倒数都(大于)本身,并且都(大于)1。
发现3:
比1大的小数的倒数都(小于)本身,并且都(小于)1。
(三)学以致用:
师:
探究到这里,大家肯定有了很大的收获,现在请大家闭上眼睛休息一下,休息时想一想什么是倒数?
再想一想求倒数的方法是什么?
让学生再次记忆找倒数的方法。
(四)全课总结
今天学习了什么?
我们一起回顾总结出来好吗?
什么叫倒数?
怎样找出一个数的倒数?
板书
倒数的认识
倒数的意义:
乘积是1的两个数互为倒数
找倒数的方法:
分数的分子、分母调换位置
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 年级 上册 数数 整除 问题 例题 答案