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3、分数各部分名称:
在分数里,中间的横线叫做分数线;
分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份;
分数线上面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
4、分数的分类
(1)分数分为真分数和假分数两类。
分子是分母倍数的假分数可以化成整数,分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。
(2)真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
(3)假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大于或等于1。
(4)带分数:
分子不是分母倍数的假分数可以写成整数与真分数合成的形式,通常叫做带分数。
带分数大于1.
5.分数的写法:
先写分数线,再写分母,最后写分子。
6、比较分数的大小:
分母相同的分数,分子大的分数比较大;
分子相同的数,分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。
(三)百分数
1、百分数的意义:
表示一个数是另一个数百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。
2、百分数的特点:
(1)百分数是一个分率,不能带单位名称。
(2)百分数的分母一定是100,但分母是100的分数不一定能写成百分数。
(3)百分数的计数单位是1%。
(4)百分数的分子可以是整数也可以是小数。
(5)百分数通常不写成分数形式,而是在原来分子后面加上%。
3、百分数与分数的联系与区别:
分数既可以表示具体数量,又可以表示分率,所以分数有时有计量单位,有时没有计量单位;
百分数只表示分率,没有计量单位。
4、常用的百分率公式:
这些百分率表示的都是部分量占总量的百分之几,结果都不会超过100%
(三)小数
1小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
2小数的组成:
一个小数由整数部分、小数点部分和小数部分组成。
数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
小数部分的最高计数单位“十分之一”和整数部分的最低计数单位“一”之间的进率也是10。
3、小数数位顺序表:
4、小数的读法:
读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
5.小数的写法:
写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
6、比较小数的大小:
先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;
整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;
十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……
7、小数的分类
有限小数:
小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。
41.7、25.3、0.23都是有限小数。
无限小数:
小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。
4.33……3.1415926……
无限不循环小数:
一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。
∏
循环小数:
一个数的小数部分,从某一位起一个数字或几个数字依次不断重复出现,这样的数叫做循环小数。
3.555……0.0333……12.109109……
8、循环节:
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
3.99……的循环节是“9”,0.5454……的循环节是“54”。
9、循环小数的分类:
(1)循环小数的分为纯循环小数和混循环小数。
(2)纯循环小数:
循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。
3.111……0.5656……
(3)混循环小数:
循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。
3.1222……0.03333……
10、循环小数的简写:
写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
如果循环节只有一个数字,就只在它的上面点一个点。
...
3.777……=3.70.5302302=0.5302。
(五)数的互化
1.一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;
如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
2.分数化成小数:
用分子除以分母。
能除尽的就化成有限小数,不能除尽的,一般保留三位小数。
3.小数化成分数:
根据小数的意义直接把小数写成分母是10、100、100……的分数,能约分的要约分。
4.小数化成百分数:
只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
5.百分数化成小数:
只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
6.分数化成百分数:
通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
7.百分数化成分数:
先把百分数改写成分数,能约分的再约成最简分数。
(六)正负数
1、正负数的意义:
表示相反意义的量用正负数表示
2、学过的数可以分为正数、负数和0三类。
3、正数>0,0>负数,正数>负数。
(七)因数和倍数
1、倍数和因数的意义:
如:
5×
7=35,5和7都是35的因数,35是5的倍数,也是7的倍数。
因数和倍数是相互依存的。
2、一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
10的因数有1、2、5、10,其中最小的因数是1,最大的因数是10。
3、一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
3的倍数有:
3、6、9、12……其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。
4、2的倍数的特征:
个位上是0、2、4、6、8的数,都是2的倍数,例如:
202、480、304
5、5的倍数特征:
个位上是0或5的数,都是5的倍数,例如:
5、30、405。
6、3的倍数的特征:
一个数的各位上数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数,例如:
12、108、204
7、9的倍数的特征:
一个数各位上数的和是9的倍数,这个数就是9的倍数。
是3的倍数的数不一定是9的倍数,但是9的倍数一定是3的倍数。
8、4、25的倍数的特征:
一个数的末两位数是4(或25)的倍数,这个数就是4(或25)的倍数。
16、404、1256都是4的倍数,50、325、500、1675都是25的倍数。
9、8、125的倍数的特征:
一个数的末三位数是8(或125)的倍数,这个数就是8(或125)的倍数。
1168、4600、5000、12344都是8的倍数,1125、13375、5000都是125的倍数。
10、自然数的分类:
(1)根据是否是2的倍数,把自然数分为奇数和偶数两类。
所以自然数里除了奇数就是偶数,除了偶数就是奇数。
最小的奇数是1,最小的偶数是0,没有最大的奇数和偶数。
是2的倍数的数叫做偶数。
不是2的倍数的数叫做奇数。
(2)根据一个数因数个数的多少,把自然数分为质数、合数和1三类。
质数:
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数),最小的质数是2.
100以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
合数:
一个数,除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数,
最小的合数是4.例如4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数。
自然数除了1外,不是质数就是合数。
11、分解质因数
(1)每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=3×
5,3和5叫做15的质因数。
(2)把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
12、最大公因数:
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数,例如12的因数有1、2、3、4、6、12;
18的因数有1、2、3、6、9、18。
其中,1、2、3、6是12和18的公因数,6是它们的最大公因数。
如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。
如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1。
13、互质数:
公因数只有1的两个数,叫做互质数,
成互质关系的两个数,有下列几种情况:
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
14、两两互质:
如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
15、最小公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……;
3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
16、几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
二、性质和规律
(一)商不变的规律
(1)商不变的规律:
在除法里,被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
(2)作用:
是小数除法计算的依据是简算的依据
(二)小数的性质
1、小数的性质:
在小数的末尾添上零或者去掉零,小数的大小不变。
2、作用:
(1)化简小数.如:
1.200=1.2
(2)把小数改写成需要的小数位数。
把2改写成两位小数即2=2.00
(三)小数点位置的移动引起小数大小变化的规律
(1)小数点向右移动一位,这个数就扩大到原来的10倍;
小数点向右移动两位,这个数就扩大到原来的100倍;
小数点向右移动三位,这个数就扩大到原来的1000倍……
(2)小数点向左移动一位,这个数就缩小到原来的
;
小数点向左移动两位,这个数就缩小到原来的
小数点向左移动三位,这个数就缩小到原来的
……
(四)分数的基本性质
(1)分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
根据分数的基本性质可以进行约分和通分
约分:
把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
计算的结果通常要约成最简分数。
最简分数:
分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。
通分:
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
(通分的作用:
比较异分母分数的大小;
计算异分母分数加减法)
(五)比的基本性质
比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(零除外),比值不变。
根据比的基本性质可以化简比。
第二章:
数的运算
(一)运算法则
1.整数、小数加法计算法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。
2.整数、小数减法计算法则:
相同数位对齐,从低位减起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一当十,和本位上的数合在一起,再减。
3.整数乘法计算法则:
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐那一位,然后把各次乘得的数加起来。
4.整数除法计算法则:
从被除数的高位除起,除数是几位数,就先看被除数的前几位;
如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在那一位的上面。
如果哪一位上不够商1,要补“0”占位。
每次除得的余数一定要比除数小。
5.小数乘法法则:
先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;
如果位数不够,用“0”补足。
6.除数是整数的小数除法计算法则:
先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;
如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,继续除。
7.除数是小数的除法计算法则:
先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点也向右移动几位,被除数的小数点也向右移动同样的位数(位数不够的补“0”),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8.同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减,分母不变,只把分子相加减。
9.异分母分数加减法计算方法:
先通分,然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。
10.分数乘法的计算法则:
分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
11.分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
(二)运算顺序
1.没有括号的混合运算:
只有加减或只有乘除,按照从左往右的顺序依次运算;
既有加减又有乘除,要先算乘、除,后算加减法。
4.有括号的混合运算:
先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
(三)四则运算各部分之间的关系
1、加法各部分之间的关系
加数+加数=和一个加数=和-另一个加数
2、减法各部分之间的关系
被减数-减数=差被减数-差=减数减数+差=被减数
3、乘法各部分之间的关系
因数×
因数=积一个因数=积÷
另一个因数
4、除法各部分之间的关系
被除数÷
除数=商除数=被除数÷
商被除数=商×
除数
有余数时,被除数=商×
除数+余数
(四)四则运算的一些特殊运算
(五)运算律、运算性质
应用运算律和运算性质可以使计算简便。
第三章量的计量
一、常用时间单位
一年中有1、3、5、7、8、10、12各月共7个大月,大月每月31天
一年中有4、6、9、11各月共4个小月,小月每月30天
平年2月28天,闰年2月29天。
一般公历年份是4的倍数,这一年是闰年,如果是整百年份,必须是400的倍数才是闰年
平年全年365天,闰年全年366天。
二、常用质量单位
三、常用长度单位
四、面积
(一)面积的意义:
物体表面或平面图形的大小叫做它们的面积。
(二)常用的面积单位
五体积和容积
(一)什么是体积、容积
体积:
物体所占空间的大小就是物体的体积。
容积:
容器所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。
(二)常用体积、容积单位
第四章比和比例
1、比的意义和性质
(1)比的意义
两个数相除又叫做两个数的比。
比的后项不能是零。
如4:
5“:
”是比号,读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
比值可以是整数,也可以是小数,还可以是分数。
(2)比、分数、除法三者之间的关系
a÷
b=a:
b=
(b≠0)
可见,比的前项相当于除法中的被除数,相当于分数中的分子;
比号相当于除法中的除号,相当于分数中的分数线;
后项相当于除法中的除数,相当于分数中的分母;
比值相当于除法中的商,相当于分数中的分数值。
(2)比的性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
(3)求比值和化简比
用比的前项除以后项所得的商叫做比值,比值是一个数,可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。
它的结果必须是一个最简比(最简比的前、后项互质)。
(4)比例尺
图上距离:
实际距离=比例尺,比例尺是一个比。
比例尺有数值比例尺和线段比例尺两种。
1:
20000是数值比例尺。
是线段比例尺。
即在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。
(5)按比例分配
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
2比例的意义和性质
(1)比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
(2)比例的性质
在比例里,两个外项的积等于两个内向的积,这叫做比例的基本性质。
根据比例的基本性质,可以解比例。
(3)解比例
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫做解比例。
3正比例和反比例
(1)成正比例的量
两种相关联的量,这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示
=k(一定)
(2)成反比例的量
两种相关联的量,这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×
y=k(一定)
第五章式与方程
一、用字母表示数
1用字母表示数的意义和作用
用字母表示数,可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式,也可以表示运算的结果。
2用字母可以表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式
(1)常见的数量关系
路程用s表示,速度v用表示,时间用t表示,三者之间的关系:
s=vtv=s÷
tt=s÷
v
总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系:
a=bcb=a÷
cc=a÷
b
(2)用字母表示运算定律和性质(前边有)
(3)用字母表示几何形体计算公式(后边有)
3用字母表示数的写法
(1)数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作“.”,或者省略不写,省略乘号时,数字要写在字母的前面。
(2)当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写。
(3)在一个问题中,同一个字母表示同一个量,不同的量用不同的字母表示。
(4)用含有字母的式子表示问题的答案时,如果式子中有加号或者减号,要先用括号把含字母的式子括起来,再在括号后面写上单位的名称。
4、将数值代入式子求值
把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:
先写出字母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。
字母表示的是数,后面不写单位名称。
二、简易方程
(一)方程和方程的解
1、方程:
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程与等式的关系:
方程一定是等式,等式不一定是方程。
3方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
三、解方程
解方程:
求方程的解的过程叫做解方程。
第六章空间和图形
一、线和角
1、线
(1)直线
直线没有端点;
长度无限,可以向两端无限延伸。
过一点可以画无数条直线,过两点只能画一条直线。
(2)射线
射线只有一个端点;
长度无限,可以向一端无限延伸。
(3)线段
线段有两个端点,长度有限;
它是直线、射线的一部分;
两点的连线中,线段为最短。
(4)同一平面内两条直线的位置关系:
平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的距离处处相等。
垂线:
两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
点到直线的距离:
从直线外一点到这条直线作垂线,这点和垂足之间的线段长叫做点到直线的距离。
2、角
(1)角:
从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
(2)角的分类
锐角:
小于90°
的角叫做锐角。
直角:
等于90°
的角叫做直角。
钝角:
大于90°
而小于180°
的角叫做钝角。
平角:
角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角。
平角=180°
。
周角:
角的一边旋转一周,与另一边重合得到一个周角。
周角=360°
1周角=2平角=4直角
二、平面图形
1长方形
(1)特征
长方形是四边形,两组对边分别平行且相等,4个角都是直角。
有两条对称轴。
(2)计算公式
周长c=2(a+b)=2a+2b面积s=ab
2正方形
(1)特征:
正方形是四边形,四条边都相等,四个角都是直角。
有4条对称轴。
周长c=4a面积s=a²
3平行四边形
(1)意义
平行四边形:
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
(2)特征:
平行四边形两组对边分别平行且相等。
对角相等,有无数条高,相邻的两个角的度数之和为180度。
平行四边形容易变形。
(3)计算公式
面积s=ah
4梯形
(1)意义:
梯形:
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
梯形有无数条高。
等腰梯形:
两腰相等的梯形叫等腰梯形。
等腰梯形有一条对称轴。
(2)公式s=(a+b)h÷
2
5、四边形之间有关系
6、三角形
三角形是由三条线段围成的图形。
有三条边、三个角、三个顶点。
三角形内角和是180度。
三角形具有稳定性。
三角形有三条高。
三角形两边之和大于第三边。
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