新教材人教B版数学选择性必修第一册学案第2章23233直线与圆的位置关系含答案文档格式.docx
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d=r
d>r
代数法:
由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ=0
Δ<0
图形
(1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时,不必求出方程组的实数解,只需将直线方程代入到圆的方程中,并消去一个未知数,得到一个关于x(或y)的一元二次方程,由Δ与0的大小关系判断方程解的个数,进一步判断两者的位置关系.
(2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时,必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离.
(3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系,应由条件而定,代数法是从方程角度考虑,但较烦琐;
几何法是从几何角度考虑,方法简单,也是判断直线与圆的位置关系的常用方法.
1.
(1)直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
(2)直线x+y=1与圆x2+y2-2ay=0(a>0)没有公共点,则a的取值范围是________.
(1)B
(2)(0,
-1) [
(1)圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d=
=1,又圆x2+y2=1的半径为1,∴d=r,故直线与圆相切.
(2)由题意得圆心(0,a)到直线x+y-1=0的距离大于半径a,即
>a,解得-
-1<a<
-1,又a>0,∴0<a<
-1.]
知识点2 直线与圆相切的几个重要结论
1.自一点引圆的切线的条数
(1)若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线;
(2)若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切点;
(3)若点在圆内,则过此点不能作圆的切线.
2.切线方程的几个重要结论
(1)经过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)经过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y+D·
+E·
+F=0.
(4)已知圆x2+y2=r2的切线的斜率为k,则圆的切线方程为y=kx±
r
.
3.切线长公式
(1)从圆外一点P(x0,y0)引圆(x-a)2+(y-b)2=r2的切线,则点P到切点的切线长
d=
(2)从圆外一点P(x0,y0)引圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的切线,则点P到切点的切线长d=
2.
(1)已知圆的方程为x2+y2=1,则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是( )
A.x=1B.y=1
C.x+y=1D.x-y=1
(2)从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向圆引切线,则切线长为________.
(1)A
(2)2 [
(1)法一:
由圆的方程为x2+y2=1,可知圆心的坐标为(0,0),圆的半径r=1,
故经过圆上一点M(1,0)的切线方程是x=1.
法二:
直接应用知识点2中切线方程的第
(1)个结论得,所求切线方程为1·
x+0·
y=12,即x=1.
(2)法一:
点P(2,3)到圆心(1,1)的距离为
=
,则切线长为
=2.
法二:
利用切线长公式,易得切线长为
=2.]
类型1 直线与圆位置关系的判定
【例1】 (对接教材人教B版P107例1)已知直线y=x+b与圆x2+y2=2,当b为何值时,圆与直线有两个公共点?
只有一个公共点?
没有公共点?
[解] 法一:
得
2x2+2bx+b2-2=0,③
方程③的根的判别式Δ=(2b)2-4×
2(b2-2)=-4(b+2)(b-2).
(1)当-2<b<2时,Δ>0,直线与圆有两个公共点.
(2)当b=2或b=-2时,Δ=0,直线与圆只有一个公共点.
(3)当b<-2或b>2时,Δ<0,方程组没有实数解,直线与圆没有公共点.
圆的半径r=
,圆心O(0,0)到直线y=x+b的距离为d=
当d<r,即-2<b<2时,圆与直线相交,有两个公共点.
当d=r,|b|=2,即b=2或b=-2时,圆与直线相切,直线与圆只有一个公共点.
当d>r,|b|>2,即b<-2或b>2时,圆与直线相离,圆与直线无公共点.
直线与圆的位置关系的判断方法
[跟进训练]
1.已知圆的方程x2+(y-1)2=2,直线y=x-b,当b为何值时,圆与直线有两个公共点?
无公共点?
得2x2-2(1+b)x+b2+2b-1=0,①
其判别式Δ=4(1+b)2-8(b2+2b-1)=-4(b+3)(b-1),
当-3<b<1时,Δ>0,方程①有两个不等实根,直线与圆有两个公共点;
当b=-3或1时,Δ=0,方程①有两个相等实根,直线与圆有一个公共点;
当b<-3或b>1时,Δ<0,方程①无实数根,直线与圆无公共点.
圆心(0,1)到直线y=x-b距离d=
,圆半径r=
当d<r,即-3<b<1时,直线与圆相交,有两个公共点;
当d=r,即b=-3或1时,直线与圆相切,有一个公共点;
当d>r,即b<-3或b>1时,直线与圆相离,无公共点.
类型2 求圆的切线方程
【例2】 过点A(4,-3)作圆C:
(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
[解] 因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,
所以点A在圆外.
(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4).
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,
所以
=1,即|k+4|=
,
所以k2+8k+16=k2+1,解得k=-
所以切线方程为y+3=-
(x-4),即15x+8y-36=0.
(2)若直线斜率不存在,
圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,
这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
过一点求圆的切线方程的方法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:
先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-
,由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程x=x0或y=y0.
(2)点在圆外时
①几何法:
设切线方程为y-y0=k(x-x0).由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,也就得切线方程.
②代数法:
设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联立,消去y后得到关于x的一元二次方程,由Δ=0求出k,可得切线方程.
提醒:
注意切线的斜率不存在的情况,不要漏解.
2.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,求该直线的方程.
[解] 圆x2+y2+4x+3=0化为标准式(x+2)2+y2=1,圆心C(-2,0),设过原点的直线方程为y=kx,即kx-y=0.∵直线与圆相切,
∴圆心到直线的距离等于半径,
即
=1,∴3k2=1,
k2=
,解得k=±
∵切点在第三象限,∴k>0,
∴所求直线方程为y=
x.
类型3 直线截圆所得弦长问题
【例3】 直线l经过点P(5,5)并且与圆C:
x2+y2=25相交截得的弦长为4
,求l的方程.
1.已知直线l与圆相交,如何利用通过求交点坐标的方法求弦长?
[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标,再利用|AB|=
求弦长.
2.若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d,如何求弦长?
[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形,如图所示,求得弦长|AB|=2
[解] 据题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2).
法一:
联立方程得
消去y,得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0.
由Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·
25k(k-2)>
0,
解得k>0.又x1+x2=-
x1x2=
由斜率公式,得y1-y2=k(x1-x2).
∴|AB|=
=4
两边平方,整理得2k2-5k+2=0,解得k=
或k=2,符合题意.
故直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
如图所示,|OH|是圆心到直线l的距离,|OA|是圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半.
在Rt△AHO中,|OA|=5,
|AH|=
|AB|=
×
4
=2
则|OH|=
∴
解得k=
或k=2.
∴直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.
(变条件)直线l经过点P(2,-1)且被圆C:
x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长最短,求此时直线l的方程.
[解] 圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=25,圆心C(3,1).因为|CP|=
<5,所以点P在圆内.当CP⊥l时,弦长最短.
又kCP=
=2.所以kl=-
,所以直线l的方程为y+1=-
(x-2),即x+2y=0.
直线与圆相交时弦长的2种求法
(1)几何法:
如图1,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有
+d2=r2,则|AB|=2
图1 图2
(2)代数法:
如图2所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
|x1-x2|=
|y1-y2|(直线l的斜率k存在且不为0).
3.直线
x+y-2
=0,截圆x2+y2=4所得的弦长是________.
2 [圆心到直线
=0的距离d=
.所以弦长l=2
1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心D.相离
B [圆心到直线的距离d=
<1.
又∵直线y=x+1不过圆心(0,0),
∴直线与圆相交但不过圆心.]
2.设直线l过点P(-2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率是( )
A.±
1 B.±
C.±
D.±
C [设l:
y=k(x+2),即kx-y+2k=0.
又l与圆相切,∴
=1.∴k=±
.]
3.若圆C:
(x-5)2+(y+1)2=m(m>0)上有且只有一点到直线4x+3y-2=0的距离为1,则实数m的值为( )
A.4 B.16 C.4或16 D.2或4
A [由题意知直线与圆相离,则有
-
=1,解得m=4,故选A.]
4.直线x+2y-5+
=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为________.
4 [圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心(1,2)到直线x+2y-5+
=1,所以弦长为2
=4.]
5.若直线x+y-m=0与圆x2+y2=2相离,则m的取值范围是________.
(-∞,-2)∪(2,+∞) [因为直线x+y-m=0与圆x2+y2=2相离,所以
>
,解得m<-2或m>2.]
回顾本节知识,自我完成以下问题:
1.如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法?
[提示]
(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;
(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较繁琐,则用代数法.
(3)已知直线与圆相交求有关参数值时,根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解,而弦心距可利用点到直线的距离公式列式,进而求解即可.
2.利用代数法判断直线与圆的位置关系时需要注意什么问题?
[提示]
(1)代入消元过程中消x还是消y取决于直线方程的特点,尽量减少分类讨论,如若直线方程为x-ay+1=0,则应将其化为x=ay-1,然后代入消x.
(2)利用判别式判断方程是否有根时,应注意二次项系数是否为零,若二次项系数为零,则判别式无意义.
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