全国各地中考数学分类解析159套专题38等腰边三角形Word文档下载推荐.docx
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∵BF=2,FQ⊥BP,∴BQ=BF•cos30°
=2×
。
∵FQ是BP的垂直平分线,∴BP=2BQ=2
在Rt△BEF中,∵∠EBP=30°
,∴PE=
BP=
7.(2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如图,△ABC为等边三角形,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若△ABC的边长为4,AE=2,则BD的长为【】
A.2B.3C.
D.
【答案】A。
【考点】全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,平行线分线段成比例,等边三角形的性质。
【分析】延长BC至F点,使得CF=BD,
∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECF。
∴△EBD≌△EFC(SAS)。
∴∠B=∠F。
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠ACB。
∴∠ACB=∠F。
∴AC∥EF。
∴AE=CF=2。
∴BD=AE=CF=2。
故选A。
8.(2012湖北孝感3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36º
,BD平分∠ABC交AC于点D.若
AC=2,则AD的长是【】
A.
B.
C.
【考点】黄金分割,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程。
【分析】∵∠A=∠DBC=36°
,∠C公共,∴△ABC∽△BDC,且AD=BD=BC。
∴
设BD=x,则BC=x,CD=2-x,∴
,整理得:
x2+2x-4=0,解得:
∵x为正数,∴
9.(2012湖南怀化3分)等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为【】[来源:
Z。
A.7B.6C.5D.4
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质,勾股定理。
【分析】如图,△ABC中AB=AC,AD是BC边上的中线,根据等腰三角形三线合一的性质,AD⊥BC。
在Rt△ABD中,BD=
×
6=3,AD=4,根据勾股定理,得AB=5。
故选C。
10.(2012四川绵阳3分)如图,将等腰直角三角形虚线剪去顶角后,∠1+∠2=【】。
A.225°
B.235°
C.270°
D.与虚线的位置有关
【考点】等腰直角三角形的性质,多边形内角和定理。
【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出两底角的度数,再根据四边形内角和定理解答即可:
如图,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠A+∠B=90°
∵四边形的内角和是360°
,
∴∠1+∠2=360°
-(∠A+∠B)=360°
-90°
=270°
11.(2012四川凉山4分)如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是【】
B.
【考点】等边三角形的性质,多边形内角和定理。
【分析】∵等边三角形每个内角为60°
,∴两底角和=120°
又∵四边形内角和为360°
,∴∠α+∠β=360°
-120°
=240°
12.(2012四川广安3分)已知等腰△ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=
BC,则△ABC底角的度数为【】
A.45°
B.75°
C.45°
或75°
D.60°
【考点】等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】根据题意画出图形,注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析,然后利用等腰三角形与直角三角形的性质,即可求得答案:
如图1:
AB=AC,
∵AD⊥BC,∴BD=CD=
BC,∠ADB=90°
∵AD=
BC,∴AD=BD。
∴∠B=45°
即此时△ABC底角的度数为45°
如图2,AC=BC,
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°
BC,∴AD=
AC,∴∠C=30°
∴∠CAB=∠B=(1800-∠A)÷
2=75°
即此时△ABC底角的度数为75°
综上所述,△ABC底角的度数为45°
13.(2012辽宁沈阳3分)如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的等腰直角三角形有【】
A.4个B.6个C.8个D.10个
【考点】等腰直角三角形的判定,正方形的性质。
【分析】∵正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,
∴AB=BC=CD=AD,OA=OB=OC=OD,四个角都是直角,AC⊥BD。
∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA八个。
14.(2012贵州铜仁4分)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9,则线段MN的长为【】
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】D。
【考点】角平分线的定义,平行线的性质,等腰三角形的判定和性质。
【分析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴∠MBE=∠EBC,∠ECN=∠ECB,
∵MN∥BC,∴∠EBC=∠MEB,∠NEC=∠ECB。
∴∠MBE=∠MEB,∠NEC=∠ECN。
∴BM=ME,EN=CN。
∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN。
∵BM+CN=9∴MN=9。
故选D。
15.(2012山东威海3分)如图,a∥b,点A在直线a上,点C在直线b上,∠BAC=900,AB=AC。
若∠1=200,则∠2的度数为【】
A.250B.650C.700D.750
【答案】B。
【考点】等腰直角三角形的性质,平行线的性质。
【分析】∵∠BAC=900,AB=AC,∴∠ABC=450。
∵∠1=200,∴∠ABC+∠1=650。
又∵a∥b,∴∠2=∠ABC+∠1=650。
故选B。
16.(2012山东潍坊3分)轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东300方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东750方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东600方向上,则C处与灯塔A的距离是【】海里.
C.50D.25
【考点】方向角,等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】如图,根据题意,∠1=∠2=30°
又∵∠ACD=60°
∴∠ABC=30°
+60°
=90°
,∠CBA=75°
-30°
=45°
∴△ABC为等腰直角三角形。
∵BC=50×
0.5=25,∴AC=BC=25(海里)。
17.(2012江西南昌3分)等腰三角形的顶角为80°
,则它的底角是【】
A.20°
B.50°
C.60°
D.80°
【考点】等腰三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】∵等腰三角形的一个顶角为80°
,∴底角=(180°
﹣80°
)÷
2=50°
18.(2012江西省3分)等腰三角形的顶角为80°
19.(2012黑龙江龙东地区3分)如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,
点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为【】
A.20B.12C.14D.13
【考点】等腰三角形的性质,直角三角形斜边上中线的性质。
【分析】∵AB=AC,AD平分∠BAC,BC=8,
∴根据等腰三角形三线合一的性质得AD⊥BC,CD=BD=
BC=4。
∵点E为AC的中点,
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE=CE=
AC=5。
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14。
二、填空题
1.(2012上海市4分)我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距,在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形,如果当它们的一边重合时,重心距为2,那么当它们的一对角成对顶角时,重心距为
▲.
【答案】4。
【考点】三角形的重心,等边三角形的性质。
【分析】设等边三角形的中线长为a,则其重心到对边的距离为:
∵它们的一边重合时(图1),重心距为2,
,解得a=3。
∴当它们的一对角成对顶角时(图2)重心=
2.(2012浙江宁波3分)如图,AE∥BD,C是BD上的点,且AB=BC,∠ACD=110°
,则∠EAB=
▲度.
【答案】40。
【考点】等腰三角形的性质,平角定义,三角形内角和定理,平行线的性质。
【分析】∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC。
∵∠ACD=110°
,∴∠ACB=∠BAC=70°
∴∠B=∠40°
∵AE∥BD,∴∠EAB=40°
3.(2012江苏淮安3分)如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,若∠BAC=700,则∠BAD=
▲0。
【答案】35。
【考点】等腰三角形的性质。
【分析】由AB=AC,AD⊥BC,根据等腰三角形三线合一的性质,得∠BAD=∠CAD;
由∠BAC=700,得∠BAD=350。
4.(2012福建泉州4分)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AD⊥BC于点D,则BD的长是▲.
【答案】3。
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质直接得出结果:
∵AB=AC,BC=6,AD⊥BC。
∴BD=
BC=3。
5.(2012湖北随州4分)等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为▲.
【答案】6和4或5和5。
【分析】当腰是6时,则另两边是4,6,且4+6>6,满足三边关系定理;
当底边是6时,另两边长是5,5,5+5>6,满足三边关系定理。
故该等腰三角形的另两边为6和4或5和5。
6.(2012湖北黄冈3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,AB的垂直平分线交AC于点E,垂
足为点D,连接BE,则∠EBC的度数为▲.
【答案】36°
【考点】线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理。
【分析】∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE。
∵∠A=36°
,∴∠ABE=∠A=36°
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°
-36°
=36°
7.(2012湖北襄阳3分)在等腰△ABC中,∠A=30°
,AB=8,则AB边上的高CD的长是 ▲ .
【答案】4或
或
【考点】等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】根据题意画出AB=AC,AB=BC和AC=BC时的图象,然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形,分别进行计算即可:
(1)如图,当AB=AC时,
∵∠A=30°
∴CD=
AC=
8=4。
(2)如图,当AB=BC时,则∠A=∠ACB=30°
∴∠ACD=60°
∴∠BCD=30°
∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°
8=4
(3)如图,当AC=BC时,则AD=4。
∴CD=tan∠A•AD=tan30°
•4=
综上所述,AB边上的高CD的长是4或
8.(2012四川广元3分)已知等腰三角形的一个内角为80°
,则另两个角的度数是▲
【答案】50°
,50°
或80°
,20°
【分析】分情况讨论:
(1)若等腰三角形的顶角为80°
时,另外两个内角=(180°
-80°
;
(2)若等腰三角形的底角为80°
时,顶角为180°
=20°
∴等腰三角形的一个内角为80°
,则另两个角的度数是50°
9.(2012贵州遵义4分)一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm,则这个三角形的周长为 ▲ .
【答案】20cm。
【分析】分两种情况讨论:
(1)当等腰三角形的腰为4cm,底为8cm时,不能构成三角形.
(2)当等腰三角形的腰为8cm,底为4cm时,能构成三角形,周长为4+8+8=20(cm)。
∴这个等腰三角形的周长是20cm。
10.(2012贵州黔东南4分)用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成 ▲ 个正三角形.
【考点】等边三角形的性质。
【分析】用6根火柴棒搭成正四面体,四个面都是正三角形。
故答案为4。
11.(2012山东滨州4分)如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°
,则∠C=▲°
.
【考点】三角形的外角性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质。
【分析】∵AB=AD,∠BAD=20°
,∴∠B=
∵∠ADC是△ABD的外角,∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°
+20°
=100°
∵AD=DC,∴∠C=
12.(2012山东济宁3分)如图,在等边三角形ABC中,D是BC边上的一点,延长AD至E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O,则tan∠AEO= ▲ .
【答案】
【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°
,AB=BC。
∵BF⊥AC,∴∠ABF=
∠ABC=30°
∵AB=AC,AE=AC,∴AB=AE。
∵AO平分∠BAE,∴∠BAO=∠EAO。
∵在△BAO和△EAO中,AB=AE,∠BAO=∠EAO,AO=AO,
∴△BAO≌△EAO(SAS)。
∴∠AEO=∠ABO=30°
∴tan∠AEO=tan30°
=
13.(2012山东日照4分)如图,过A、C、D三点的圆的圆心为E,过B、F、E三点的圆的圆心为D,如果∠A=63°
,那么∠θ=▲.[来︿源
【答案】180。
【考点】等腰三角形的判定和性质,三角形外角定理。
【分析】如图,连接CE,DE,
∵过A、C、D三点的圆的圆心为E,过B、F、E三点的圆的圆心为D,
∴AE=CE=DE=DB。
∴∠A=∠ACE,∠ECD=∠CDE,∠DEB=∠DBE=∠θ。
∵∠A=63°
,∴∠AEC=1800-2×
630=540。
又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ,∴∠AEC=∠ECD+∠DBE=3∠θ,即3∠θ=540。
∴∠θ=180。
14.(2012广西来宾3分)已知等腰三角形的一个内角是80°
,则它的底角是▲0.
【答案】50或80。
【分析】分两种情况:
①当80°
的角为等腰三角形的顶角时,底角的度数=(180°
-80°
②当80°
的角为等腰三角形的底角时,其底角为80°
故它的底角度数是500或800。
15.(2012广西钦州3分)已知等腰三角形的顶角为80°
,那么它的一个底角为 ▲ .
【分析】∵等腰三角形的顶角等于80°
又∵等腰三角形的底角相等,∴底角等于(180°
16.(2012甘肃白银4分)如图,在△ABC中,AC=BC,△ABC的外角∠ACE=100°
,则∠A=▲度.
【答案】50。
【考点】三角形的外角性质,等腰三角形的性质。
【分析】∵AC=BC,∴∠A=∠B(等角对等边)。
∵∠A+∠B=∠ACE(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和),
∴∠A=
∠ACE=
100°
=50°
17.(2012青海西宁2分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=12,BD=16,E
为AD的中点,点P在x轴上移动.小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(-5,0)和
(5,0).请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标▲.
18.(2012黑龙江绥化3分)若等腰三角形两边长分别为3和5,则它的周长是▲
【答案】11或13。
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形:
①腰长为3,底边长为5,三边为:
3,3,5可构成三角形,周长=3+3+5=11;
②腰长为5,底边长为3,三边为:
5,5,3可构成三角形,周长=5+5+3=13。
故答案为:
11或13。
19.(2012黑龙江牡丹江3分)矩形ABCD中,AB=10,BC=3,E为AB边的中点,P为CD边上的点,且△AEP是腰长为5的等腰三角形,则DP=▲
【答案】4或1或9。
【考点】矩形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】如图,根据题意,
∵AB=10,BC=3,E为AB边的中点,
∴AE=5,AD=3。
若AE=AP=5,则在Rt△ADP1中,
由勾股定理,得DP1=4。
若AE=PE=5,A作EF⊥CD于点F,则EF=3,DF=5
在Rt△EFP2中,P2F=4,∴DP2=DF-P2F=1:
在Rt△EFP3中,P3F=4,∴DP3=DF+P3F=9。
另AP=EP=5不成立。
综上所述,DP=4或1或9。
20.(2012黑龙江哈尔滨3分)一个等腰三角形的两边长分别为5或6,则这个等腰三角形的周长是
【答案】16或17。
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底,故需分两种情况讨论:
(1)当等腰三角形的腰为5,底为6时,周长为5+5+6=16;
(2)当等腰三角形的腰为6,底为5时,周长为5+6+6=17。
∴这个等腰三角形的周长是16或17。
21.(2012黑龙江龙东地区3分)等腰三角形一腰长为5,一边上的高为3,则底边长为▲。
【答案】8或
【分析】由已知的是一边上的高,分底边上的高和腰上的高两种情况,当高为腰上高时,再分锐角三角形与钝角三角形两种情况:
(1)如图,当AD为底边上的高时,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,
在Rt△ABD中,AD=3,AB=5,
根据勾股定理得:
∴BC=2BD=8。
(2)如图,当CD为腰上的高时,
若等腰三角形为锐角三角形,
在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,
∴BD=AB-AD=5-4=1。
在Rt△BDC中,CD=3,BD=1,
若等腰三角形为钝角三角形,
∴BD=AB+AD=5+4=9。
在Rt△BDC中,CD=3,BD=9,
综上所述,等腰三角形的底边长为8或
三、解答题
1.(2012重庆市6分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)
【答案】解:
∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°
∵∠BAC=90°
,∴∠C=180°
﹣90°
﹣60°
=30°
∴BC=2AB=4。
在Rt△ABC中,由勾股定理得:
∴△ABC的周长是AC+BC+AB=
+4+2=6+
答:
△ABC的周长是6+
【考点】解直角三角形,三角形内角和定理,等边三角形的性质,勾股定理。
【分析】根据等边三角形性质求出∠B=60°
,求出∠C=30°
,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案。
2
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