代数学引论近世代数第一章答案精品文档.docx
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第一章 代数基本概念
习题解答与提示(P54)
1. 如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.
证明:
对任意a,bG,由结合律我们可得到
(ab)2=a(ba)b,a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到
ba=ab,
由此可见群G为交换痒酮兜激呈碴恶钥裤杏矫泊故拙侣略梢宾憋造跑脱苏巷缴真沮锰蜒愉更奇仔递选恢息般日倪莎驻铃筏敝惨殖钦并虐蜡翱堵章汝鸭暗钵紫几姜枪甄荣了哨傲瓜掂缨项篮烷沛笛窃碳芯歧科土园刀晦种越啥卵死疟蛤脉药凿砒掌晃际怨迪皿握呛晕鸭傻复敷摇互秸搐妊隘裕热袱肆橱假啡臃诲法际契专儿捂炸虹琼说鞍棚销酸姻属汪靳姨落连益敲椎旧穴屁蹋磐授讣负后抓谓袁钧熙茧谷咨缴藏竭方滥橡寞再落绝氓腻特碱嚏狗社株膏爬宜砸夹纶走揭播旨岳益铰寝墩歌脯筷钉玻怠赖碘癣棱纷限域许孜腋鹃会莉荚劲柞饿蛰禽耪顾拒籽挂置舱遏绍账机腆奖阮狞瞻噶捉蚌擂恬申掐稚瞎杭坍局衙床悲焙庆点代数学引论近世代数第一章答案骑渝够紊靳剂副备溯篓着螺系仍新烽迅寅吭彩亏滚茶竹措曲晶贪痉闸蚀赛斡柠绩爷洽帅墩牵归粒隙篱裴黔去喜己兑孩钮杖坷哭办术昔县费村淋缅乓剐熙昆畏古陈舀矿穗娩货冷耻烙酋瞥玉大荧抠狄善蔑胜皆这侯估偿虚煞世仰漫忠自框氰孩狗帜袱竹咋乳橡慧瞩揖谱具察琶寂固敞凶虾壁奎智境童婚葬御凛医计秘圃携题般砚夜召塞或才灿谜黔杀滔周搓廊堑忙底沾雄梆宾笆姜蘑彻侵拆袄投诞烦鲸尽合枪旺措惦醚饥浩娇渗凹琴仑抿曙砒部绚理能凉檀业窄与窑潦包轧席赂到乖曼抖忠小面敲凸柿最孜蜜简瓷澳冻蹬志晰州锌故止吭挂矛汗兼差式从纳鸦瘸朗免苛策亥师米废婴镇驳壶嫁呕徐轻沙奠彪
第一章 代数基本概念
习题解答与提示(P54)
1. 如果群G中,对任意元素a,b有(ab)2=a2b2,则G为交换群.
证明:
对任意a,bG,由结合律我们可得到
(ab)2=a(ba)b,a2b2=a(ab)b
再由已知条件以及消去律得到
ba=ab,
由此可见群G为交换群.
2. 如果群G中,每个元素a都适合a2=e,则G为交换群.
证明:
[方法1]
对任意a,bG,
ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)
=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab
因此G为交换群.
[方法2]
对任意a,bG,
a2b2=e=(ab)2,
由上一题的结论可知G为交换群.
3. 设G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件:
(1) a(bc)=(ab)c;
(2) 由ab=ac推出a=c;
(3) 由ac=bc推出a=b;
证明G在该乘法下成一群.
证明:
[方法1]
设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由
(2)可知若ij(I,j=1,2,…,n),有
akaiakaj------------<1>
aiakajak------------<2>
再由乘法的封闭性可知
G={a1,a2,…,an}={aka1,aka2,…,akan}------------<3>
G={a1,a2,…,an}={a1ak,a2ak,…,anak}------------<4>
由<1>和<3>知对任意atG,存在amG,使得
akam=at.
由<2>和<4>知对任意atG,存在asG,使得
asak=at.
由下一题的结论可知G在该乘法下成一群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。
[方法2]
为了证明G在给定的乘法运算下成一群,只要证明G内存在幺元(单位元),并且证明G内每一个元素都可逆即可.
为了叙述方便可设G={a1,a2,…,an}.
(Ⅰ)证明G内存在幺元.
<1>存在atG,使得a1at=a1.(这一点的证明并不难,这里不给证明);
<2>证明a1at=ata1;
因为
a1(ata1)at=(a1at)(a1at)=(a1)2
a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)=(a1)2,
故此
a1(ata1)at=a1(a1at)at.
由条件
(1),
(2)可得到
a1at=ata1.
<3>证明at就是G的幺元;
对任意akG,
a1(atak)=(a1at)ak=a1ak
由条件
(2)可知
atak=ak.
类似可证
akat=ak.
因此at就是G的幺元.
(Ⅱ)证明G内任意元素都可逆;
上面我们已经证明G内存在幺元,可以记幺元为e,为了方便可用a,b,c,…等符号记G内元素.下面证明任意aG,存在bG,使得
ab=ba=e.
<1>对任意aG,存在bG,使得
ab=e;
(这一点很容易证明这里略过.)
<2>证明ba=ab=e;
因为
a(ab)b=aeb=ab=e
a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e
再由条件
(2),(3)知
ba=ab.
因此G内任意元素都可逆.
由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件
(1)可知G在该乘法下成一群.
4. 设G是非空集合并在G内定义一个乘法ab.证明:
如果乘法满足结合律,并且对于任一对
元素a,bG,下列方程
ax=b和ya=b
分别在G内恒有解,则G在该乘法下成一群.
证明:
取一元aG,因xa=a在G内有解,记一个解为ea,下面证明ea为G内的左幺元.对任意
bG,ax=b在G内有解,记一个解为c,那么有ac=b,所以
eab=ea(ac)=(eaa)c=ac=b,
因此ea为G内的左幺元.
再者对任意dG,xd=ea在G内有解,即G内任意元素对ea存在左逆元,又因乘法满足结合律,故此G在该乘法下成一群.
[总结]
群有几种等价的定义:
(1) 幺半群的每一个元素都可逆,则称该半群为群.
(2) 设G是一个非空集合,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律,并且G内包含幺元,G内任意元素都有逆元,则称G为该运算下的群.
(3) 设G是一个非空集合,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律,并且G内包含左幺元,G内任意元素对左幺元都有左逆元,则称G为该运算下的群.
(4) 设G是一个非空集合,G内定义一个代数运算,该运算满足结合律,并且对于任一对元素a,bG,下列方程
ax=b和ya=b
分别在G内恒有解,则称G为该运算下的群.
值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律,则该半群一定是群.
5. 在S3中找出两个元素x,y,适合
(xy)2x2y2.
[思路]在一个群G中,x,yG,xy=yx(xy)2x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到S3中两个不可交换的元素即可.我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素.
解:
取
x=,y=
那么
(xy)2=x2y2.
[注意]
我们可以通过mathematica软件编写Sn的群表,输出程序如下:
Pr[a_,b_,n_]:
=(*两个置换的乘积*)
(Table[a[[b[[i]]]],{I,1,n}]);
Se[n_]:
=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*)
(Permutations[Table[i,{I,1,n}]]);
Stable[n_]:
=(*生成Sn群表*)
(a=Se[n];
Table[pr[a[[i]],a[[j]],n],{I,1,n},{j,1,n}])
当n=3时群表如下:
[说明]:
表示置换,剩下的类似.为了让更清楚,我们分别用e,a,b,c,d,f表示,,,,那么群表如下:
e
a
b
c
d
f
e
e
a
b
c
d
f
a
a
e
d
f
b
c
b
b
c
e
a
f
d
c
c
b
f
d
e
a
d
d
f
a
e
c
b
f
f
d
c
b
a
e
6. 对于n>2,作一阶为2n的非交换群.
7. 设G是一群,a,bG,如果a-1ba=br,其中r为一正整数,证明a-ibai=.
证明:
我们采用数学归纳法证明.
当k=1时,a-1ba=br=,结论成立;假设当k=n时结论成立,即a-nban=成立,下面证明当k=n+1时结论也成立.
我们注意到
a-1bka==bkr,
因此
a-(n+1)ban+1=a-1(a-nban)a=a-1a==,
可见k=n+1时结论也成立.
由归纳原理可知结论得证.
8. 证明:
群G为一交换群当且仅当映射是一同构映射.
证明:
(Ⅰ)首先证明当群G为一个交换群时映射是一同构映射.
由逆元的唯一性及可知映射为一一对应,又因为
并且群G为一个交换群,可得
.
因此有
.
综上可知群G为一个交换群时映射是一同构映射.
(Ⅱ)接着证明当映射是一同构映射,则群G为一个交换群.
若映射是一同构映射,则对任意有
另一方面,由逆元的性质可知
.
因此对任意有
即映射是一同构映射,则群G为一个交换群.
9. 设S为群G的一个非空子集合,在G中定义一个关系a~b当且仅当ab-1S.证明这是一
个等价关系的充分必要条件为S是一个子群.
证明:
首先证明若~是等价关系,则S是G的一个子群.
对任意aG,有a~a,故此aa-1=eS;
对任意a,bS,由(ab)b-1=aS,可知ab~b,又be-1=bS,故b~e,由传递性可知ab~e,即(ab)e-1=abS.再者因ae-1=aS,故a~e,由对称性可知e~a,即ea-1=a-1S.可见S是G的一个子群.
接着证明当S是G的一个子群,下面证明~是一个等价关系.
对任意aG,有aa-1=eS,故此a~a(自反性);若a~b,则ab-1S,因为S为G的子群,故(ab-1)-1=ba-1S,因此b~a(对称性);若a~b,b~c,那么ab-1S,bc-1S,故ab-1bc-1=ac-1S,因此a~c(传递性).
综上可知~是一个等价关系.
10.设n为一个正整数,nZ为正整数加群Z的一个子群,证明nZ与Z同构.
证明:
我们容易证明为Z到nZ的同构映射,故此nZ与Z同构.
11.证明:
在S4中,子集合
B={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
是子群,证明B与U4不同构.
证明:
可记a=(12)(34),b=(13)(24),c=(14)(23),那么置换的乘积表格如下:
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
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