高中数学 132全集与补集教学设计 北师大版必修1.docx

高中数学 132全集与补集教学设计 北师大版必修1.docx

《高中数学 132全集与补集教学设计 北师大版必修1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 132全集与补集教学设计 北师大版必修1.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学132全集与补集教学设计北师大版必修1

2019-2020年高中数学1.3.2全集与补集教学设计北师大版必修1

导入新课　　　　　

问题：

①分别在整数范围和实数范围内解方程（x－3）（x－）＝0，其结果会相同吗？

②若集合A＝{x|0＜x＜2，x∈Z}，B＝{x|0＜x＜2，x∈R}，则集合A，B相等吗？

学生回答后，教师指明：

在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题．

推进新课　　　　　

①用列举法表示下列集合：

A＝；

B＝；

C＝.

②问题①中三个集合相等吗？

为什么？

③由此看，解方程时要注意什么？

④问题①中，集合Z，Q，R分别含有所解方程所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义．

⑤已知全集U＝{1,2,3}，A＝{1}，写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.

⑥请给出补集的定义．

⑦用Venn图表示UA.

活动：

组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围．

讨论结果：

①A＝{2}，B＝，C＝.

②不相等，因为三个集合中的元素不相同．

③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同．

④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.

⑤B＝{2,3}．

⑥对于一个集合A，全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集．

集合A相对于全集U的补集记为UA，即UA＝{x|x∈U，且xA}．

⑦如图1所示，阴影表示UA.

图1

思路1

例1试用集合A，B的交集、并集、补集分别表示图2中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合.

图2

活动：

让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义．

解：

Ⅰ部分：

A∩B；

Ⅱ部分：

A∩（UB）；

Ⅲ部分：

B∩（UA）；

Ⅳ部分：

U（A∪B）或（UB）∩（UA）．

点评：

常见结论：

U（A∩B）＝（UA）∪（UB）；U（A∪B）＝（UA）∩（UB）.

变式训练

1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则（UA）∩（UB）等于（　　）．

A．{1,6}　　　　　　　　　B．{4,5}

C．{2,3,4,5,7}D．{1,2,3,6,7}

分析：

思路一：

观察得（UA）∩（UB）＝{1,3,6}∩{1,2,6,7}＝{1,6}．思路二：

A∪B＝{2,3,4,5,7}，则（UA）∩（UB）＝U（A∪B）＝{1,6}．

答案：

A

2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2}，则A∩（UB）等于（　　）．

A．{1,2,3,4,5}B．{1,4}

C．{1,2,4}D．{3,5}

答案：

B

例2设全集为R，A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞3}．求：

（1）A∩B;

（2）A∪B；

（3）RA，RB;（4）（RA）∩（RB）；

（5）（RA）∪（RB）;（6）R（A∩B）；

（7）R（A∪B）．

并指出其中相等的集合．

活动：

学生思考交集、并集、补集的运算，教师如果发现学生没有思路，那么提示学生用数轴来解决．

解：

（1）在数轴上表示集合A和B〔如图3

（1）〕．

（1）　　　　

（2）

图3

A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x＞3}＝{x|3＜x＜5}；

（2）A∪B＝{x|x＜5}∪{x|x＞3}＝R；

（3）在数轴上表示集合RA和RB〔如图3

（2）〕．

RA＝{x|x≥5}，RB＝{x|x≤3}；

（4）（RA）∩（RB）＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝；

（5）（RA）∪（RB）＝{x|x≥5}∪{x|x≤3}＝{x|x≤3，或x≥5}；

（6）R（A∩B）＝{x|x≤3，或x≥5}；

（7）R（A∪B）＝.

其中相等的集合是

R（A∩B）＝（RA）∪（RB）；

R（A∪B）＝（RA）∩（RB）.

变式训练

1．已知集合A＝{x|3≤x＜8}，求RA.

解：

RA＝{x|x＜3，或x≥8}．

2．设集合S＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，AB，SA.

解：

B∩C＝{x|正方形}，AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}，SA＝{x|x是梯形}．

3．已知全集I＝R，集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}，且满足（IA）∩B＝{2}，（IB）∩A＝{4}，求实数a，b的值．

答案：

a＝，b＝－.

4．设全集U＝R，A＝{x|x≤2＋}，B＝{3,4,5,6}，则（UA）∩B等于（　　）．

A．{4}　　　　　　　　　　B．{4,5,6}

C．{2,3,4}D．{1,2,3,4}

分析：

∵U＝R，A＝{x|x≤2＋}，∴UA＝{x|x＞2＋}．而4,5,6都大于2＋，∴（UA）∩B＝{4,5,6}．

答案：

B

思路2

例1已知全集U＝R，A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|－3≤x≤3}，求：

（1）UA，UB；

（2）（UA）∪（UB），U（A∩B），由此你发现了什么结论？

（3）（UA）∩（UB），U（A∪B），由此你发现了什么结论？

活动：

学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决．依据补集的含义，借助于数轴求得．在数轴上表示集合A，B.

解：

如图4所示，

图4

（1）由图4，得UA＝{x|x＜－2，或x＞4}，UB＝{x|x＜－3，或x＞3}．

（2）由图4，得（UA）∪（UB）＝{x|x＜－2，或x＞4}∪{x|x＜－3，或x＞3}＝{x|x＜－2，或x＞3}．∵A∩B＝{x|－2≤x≤4}∩{x|－3≤x≤3}＝{x|－2≤x≤3}，

∴U（A∩B）＝U{x|－2≤x≤3}＝{x|x＜－2，或x＞3}．

∴得出结论U（A∩B）＝（UA）∪（UB）．

（3）由图4，得（UA）∩（UB）＝{x|x＜－2，或x＞4}∩{x|x＜－3，或x＞3}＝{x|x＜－3，或x＞4}．

∵A∪B＝{x|－2≤x≤4}∪{x|－3≤x≤3}＝{x|－3≤x≤4}，

∴U（A∪B）＝U{x|－3≤x≤4}＝{x|x＜－3，或x＞4}．

∴得出结论U（A∪B）＝（UA）∩（UB）.

变式训练

1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,5}，B＝{4,5}，则（UA）∩B＝________.

答案：

{4}

2．设集合I＝{x||x|＜3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪（IB）等于（　　）．

A．{1}　　　　　　B．{1,2}　　　　　C．{2}　　　　　D．{0,1,2}

答案：

D

例2设全集U＝{x|x≤20，x∈N，x是质数}，A∩（UB）＝{3,5}，（UA）∩B＝{7,19}，（UA）∩（UB）＝{2,17}，求集合A，B.

活动：

学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A，B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A，B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助Venn图来解决.

图5

解：

U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，

由题意借助Venn图，如图5所示，

∴A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．

点评：

本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力．借助Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，这正体现了数形结合思想的优越性.

变式训练

1．设I为全集，M，N，P都是它的子集，则图6中阴影部分表示的集合是（　　）．

A．M∩[（IN）∩P]

B．M∩（N∪P）

C．[（IM）∩（IN）]∩P

D．M∩N∪（N∩P）

分析：

思路一：

阴影部分在集合M内部，排除C；阴影部分不在集合N内，排除B，D.

思路二：

阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在P内不在集合N内即在（IN）∩P内，所以阴影部分表示的集合是M∩[（IN）∩P]．

答案：

A

2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，（UA）∩B＝{3,7}，（UB）∩A＝{2,8}，（UA）∩（UB）＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________.

分析：

借助Venn图，如图7，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A，B.

图7

答案：

{2,4,8,9}　{3,4,7,9}

1．设全集U＝R，A＝{x|2x＋1＞0}，试用文字语言表述UA的意义．

解：

A＝{x|2x＋1＞0}即不等式2x＋1＞0的解集，UA中元素均不能使2x＋1＞0成立，即UA中元素应当满足2x＋1≤0.∴UA即不等式2x＋1≤0的解集．

2．如图8所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是________．

图8

分析：

观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：

一是不在集合S内；二是在集合M，P的公共部分内．因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M，P的交集的交集，即（US）∩（M∩P）．

答案：

（US）∩（M∩P）

3．设集合A，B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知（UA）∩（UB）＝{2}，（UA）∩B＝{1}，则A等于（　　）．

A．{1,2}B．{2,3}

C．{3,4}D．{1,4}

分析：

如图9所示．

图9

由于（UA）∩（UB）＝{2}，（UA）∩B＝{1}，则有UA＝{1,2}．∴A＝{3,4}．

答案：

C

4．已知集合I＝{1,2,3,4}，A＝{1}，B＝{2,4}，则A∪（IB）等于（　　）．

A．{1}B．{1,3}

C．{3}D．{1,2,3}

分析：

∵IB＝{1,3}，∴A∪（IB）＝{1}∪{1,3}＝{1,3}．

答案：

B

问题：

某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：

（1）至少解对其中一题的有多少人？

（2）两题均未解对的有多少人？

解：

设全集为U，A＝{只解对甲题的学生}，B＝{只解对乙题的学生}，C＝{甲、乙两题都解对的学生}，

则A∪C＝{解对甲题的学生}，B∪C＝{解对乙题的学生}，

A∪B∪C＝{至少解对一题的学生}，U（A∪B∪C）＝{两题均未解对的学生}．

由已知，A∪C有34个人，C有20个人，从而知A有14个人；B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人．因此A∪B∪C有N1＝14＋8＋20＝42（人），U（A∪B∪C）有N2＝50－42＝8（人）．所以至少解对其中一题的有42个人，两题均未解对的有8个人．

本节课学习了：

①全集和补集的概念和求法．

②常借助数轴或Venn图进行集合的补集运算．

习题1—3　A组5，B组2.

本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法，因此在教学过程中要重点指导学生借助数轴或Venn图进行集合的补集运算．由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识．

[备选例题]

【例1】已知集合A＝{y|y＝x2－4x＋6，x∈R，y∈N}，B＝{y|y＝－x2－2x＋7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示它．

解：

∵y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2≥2，∴A＝{y|y≥2，y∈N}．

又∵y＝－x2－2x＋7