瓜分天下平分不规则图形Word文档下载推荐.docx

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2.連接AD、AE，可得三個三角形（如圖2）。

3.因為△ABD、△ADE、△AEC同底等高，所以三個三角形面積相等。

4.故AD、AE即為所求的線段。

圖1

圖2

（二）正四邊形（如圖3）

1.把BC分為三等份，得E、F點，並把AF連起來。

2.把CD分成三等份，得G、H點，並把AG連起來（如圖4）。

3.因為BF：

FC＝2：

1，所以△ABF：

△AFC＝2：

1。

4.同理，△ACG：

△AGD＝1：

2，而△ABF：

△AFC＋△ACG：

△AGD＝△ABF：

四邊形AFCG：

1：

5.所以只要連AF、AG，得△ABF、四邊形AFCG、△AGD，則這三個圖形面積相等。

6.AF、AG即為所求。

圖3

圖4

（三）正五邊形（如圖5）

1.做AF⊥CD，且交CD於F點，連AC和AD，作出直角三角形（如圖6）。

圖5

圖6

2.∠ACD＝∠ADC＝72°

，∠CAD＝36°

，做CG平分∠ACD，並交AD於G，則∠1＝∠2＝36°

，且∠3＝∠4＝72°

，則△AGC、△GCD為等腰三角形（如圖7）。

4

1＋

3.已知正五邊形的邊長CD＝1且AG＝CG＝DC、AC＝AD，設AC＝x由相似△（△ACD～△CGD），求得AC＝

，因商高定理，求得AF＝。

8

4.作BI⊥AC（如圖8），再利用商高定理求出BI＝，就可求出正五邊形的面積＝。

圖7

圖8

5.已知正五邊形的面積且要分成三等份，算出一等份的面積

4-

，又因A為等分線的起點，切成三等份時，其中一等份成三角形且高恰為AF，所以可求出底KJ＝，使CK＝JD，就可分得三等份。

6.AK、AJ即為所求（如圖9）。

圖9

圖10

（四）正六邊形（如圖10）

1.連接AC、AE、CE、OA、OC、OE，得全等的平行四邊形ABCO、OCDE、AOEF（如圖11），且六個三角形全等。

2.AC、CE、EA為三個平行四邊形的對角線，所以△ABC：

四邊形ACDE：

△AEF＝1：

4：

3.將CD二等份，令中點為G點。

4.將DE二等份，令中點為H點。

5.連AG、AH，可得△ACG＝△AGD、△ADH＝△AHE（如圖12）。

6.四邊形ABCG：

四邊形AGDH：

四邊形AHEF＝1：

1

7.AG、AH為求。

圖11

圖12

（五）總結：

因為以上的做法太亂且無特定的規則，則另外討論其他的方法。

二、不規則多邊形分成二等份

（一）三邊形（如圖13）

1.以BC為底，取BC中點D，連AD。

2.△ABD和△ACD中，因為高和底都相同，所以△ABD＝△ACD，AD即為所求（如圖14）。

圖13

圖14

`

（二）四邊形（如圖15）

因為相鄰邊的大小關係會影響到分割的方法，所以要分別討論：

1.最大的邊和第二大的邊相鄰

（1）令BC和AB分別為第一大和第二大的邊，連接AC，證明△BCD＞△BAD（如圖16）。

圖15

圖16

證明：

A.連AC，延長AD、CD，在DA上一點E，使EA＝AD，在DC上取一點F，使CD＝CF（如圖17）。

B.連EF，在EF上取一點D’，使AD＝AD’，CD＝CD’（如圖18）。

C.ㄅ.B點在△AED’內或△AED’三邊上時，AB小於或等於AE，與條件矛盾，所以不合。

ㄆ.B點在△ACD’內或△ACD’三邊上時，AB小於或等於AD’，與條件矛盾，所以不合。

ㄇ.B點在△CFD’內或△ACD’三邊上時，CB小於或等於CF，與條件矛盾，所以不合。

ㄈ.故B點必不在四邊形AEFC內和邊上。

D.因為四邊形ABCD為凸四邊形，所以B點一定在陰影區域。

E.由C、D知△ABC中，AC上的高必大於兩平行線AC、EF的距離，極大於△ACD中，AC上的高，因為△ABC中AC上的高大於△ACD中AC上的高，所以△ABC一定大於△ACD。

圖17×

圖18

（2）四邊形ABCD中，連AC並延長，做DF⊥AC，交AC於F點，過D點做直線L平行AC並交BC於E點，做EG⊥AC交AC於G點，△ACD、△ACE中，底為AC高分別為DF、GE，又DF＝GE，所以△ACD＝△ACE（如圖19）。

（3）四邊形ABCD＝△ABC＋△ACD＝△ABC＋△ACE＝△ABE，取BE中點H，即能平分△ABE，因為△ABC＞△ACE，所以BC＞CE，H點必落在BC上，AH即為所求（如圖20）

圖19

圖20

2.最大邊與第二大邊相對（如圖21）

（1）BC和AD分別為第一大和第二大的邊，連AC、BD，交於一點O（如圖22）

圖21

圖22

（2）因為無法比較△ABD和△BCD還有△ABC和△ACD的大小，所以當把四邊形變化成三角形，再把底分成二等份時，無法得知自哪一頂點畫等分線，才可以使等分點落在原四邊形的邊上，所以只能依情形1的方法，分別嘗試連AC或BD，若等分點能落在原四邊形上時，即為所求。

（三）五邊形（如圖23）

1.連AC、AD，並延長CD。

2.在CD上取一點F，使△ABC＝△AFC，取一點G使△

ADE＝△ADG（做法如2.中a的

（2）），則五邊形ABCDE＝△AFG（如圖24）。

圖23

圖24

3.在FG上取中點H：

（1）H點在CD上：

連AH（如圖25），即能平分△AFG，AH即為所求。

（2）H點不在CD上（如圖26）：

換另一邊做底，試到中點能落在原五邊形的邊上為止。

圖25

圖26

（四）六邊形（如圖27）

1.以CD做底，連接CF和DF，延長FA，在FA上取一點G，使△ABC等於△AGC，則四邊形ABCF＝△CFG（如圖28）。

圖27

圖28

2.延長DC，在DC上取一點H，使△CFG等於△CFH（如圖29）。

3.在CD上取一點I，使△FDE等於△FDI（如圖30）。

圖29

圖30

4.五邊形ABCDE就等於△FHI，取出HI的中點J：

（1）J點在CD上：

連FJ（如圖31），FJ即為所求。

（2）J點不在CD上（如圖32），另一邊做底，作到中點落在原圖形的邊上。

圖31

圖32

三、不規則四邊形n等份

（一）四邊形三等份

先把四邊形ABCD轉化成△ADE，並且把DE分成三等份，則：

1.兩個等分點F、G都在CD上（如圖33）：

則AF、AG即為所求。

2.一個等分線在CD上，另一點在CD時（如圖34）：

扣除已切割的面積△ADF，則剩下的面積ABCF也成四邊形（如圖35），最後再找將四邊形ABCF兩等份的等分線CH則AF、CH為所求（如圖36）。

圖33

圖34

圖35

圖36

3.兩個等分點都不在CD上時：

則換個邊再做一次則必有以上兩種情況之一。

（二）四邊形四等份

先把四邊形ABCD轉化成△ADE，並且把DE分成四等份得F、G、H點，連AF、AG、AH，則：

1.三個等分點都在CD上（如圖37）：

則AF、AG、AH即為所求。

圖37

2.兩個等分點CD上，另一個在CD外時仿照三、

（一）、2，則剩下的面積也成四邊形，最後再找將剩餘的四邊形切成兩等份的等分線，此三條等分線為所求。

3.一個等分點在CD上，另兩個在CD外時仿照三、

（一）、2，則剩下的面積也成四邊形，最後再將四邊形剩餘的面積三等份。

4.三個等分點都不在CD上時：

則換個邊再做一次則必有以上三種情況之一。

（三）四邊形五等份

先把四邊形ABCD轉化成△ADE，並且把DE四等份，得等分點F、G、H、I，連AF、AG、AH、AI，則：

1.四個等分點都在CD時，則AF、AG、AH、AI即為所求。

2.三個等分點在CD，另一個在CD外時仿照三、

（一）、2，則剩下的面積也成四邊形，最後再找將剩餘的四邊形切成兩等份，此四條等分線為所求。

3.兩個等分點都在CD，另兩個在CD外時仿照三、

（一）、2，則剩下的面積也成四邊形，最後再將四邊形仿照三等份的步驟即可。

4.一個等分點都在CD，另三個在CD外時仿照三、

（一）、2，則剩下的面積也成四邊形，最後再將剩餘四邊形仿照四等份的步驟即可。

5.四個等分點都不在CD上時：

則換個邊再做一次，則必有以上四種情況之一。

（四）四邊形n等份

1.所有等分點都在CD上，則由A點連接這些等分點的線段即為所求。

2.若一些等分點在CD上，而另一些等分點在CD外，則扣除已切割的面積，剩下的面積也會成四邊形分m等份（m＜n），則步驟仿照之前的做法即可。

3.若等分點全部不在CD上，則換邊作一次則必有以上的情況之一。

伍、結論：

一、正多邊形三等份的方法：

（一）直接在圖形上作分割，先做出多個等份，再分成可以用二條直線切割的三等份。

（二）如果為正奇數邊形，先算出一等份的面積，再假設一邊為底，以那個底取兩點連接底所對應的原正多邊形的點，做出一個三角形，但在底所取的兩點連接的線段會使剩下的兩個線段相等。

二、多邊形二等份的方法：

（一）先假設一邊為底，設法n邊形變成（n-1）邊形、（n-2）邊形……一直切下去，直到作成三角形。

（二）設法把多邊形做成一個三角形，再從底取二等份，如果兩點都在原多邊形的邊上，那兩點連接所對的原多邊形的點上，即為平分線；

如果不在原多邊形的邊上，在換另一個邊在做一次。

三、四邊形切多等份：

（一）把四邊形作成三角形，在三角形的底取等分點，假使又一個等分點在原圖形外則換邊再做一次。

（二）若要作出四邊形分n等份，則作法如四邊形切（n-1）一樣，直到最後會使所有等分線都在圖形內。

三、則多邊形都可作成三角形，而再切割，也可使所有的等分線都在圖形內。

陸、參考資料：

一、范宏亮（民95）。

雙向溝通數學複習講義綜合版（第七單元－圖形的變化）。

金安文教機構。

二、曾強。

國中金榜數學複習講義（第十七單元－幾何圖形與幾何量變動）。

漢華文教事業股份有限公司。

三、中央研究院數學研究所（民90）。

數學傳播（25卷4期）。

中央研究院數學研究所。