高考理科数学全国新课标卷1附答案Word文档格式.docx
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xy
22=1
(a>0,b>0)的离心率为
ab
2
,则C的渐近线方程
A.y=
1
xB.y=
3
x
C.y=
xD.y=±
∵
e
c
a
,∴
222
cab
aa
.
第1页共1页
2=4b2,=1
b
∴a
a2
∴渐近线方程为
b1
yxx
5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于().
A.[-3,4]B.[-5,2]
C.[-4,3]D.[-2,5]
A
若t∈[-1,1),则执行s=3t,故s∈[-3,3).
若t∈[1,3],则执行s=4t-t
2,其对称轴为t=2.
故当t=2时,s取得最大值4.当t=1或3时,s取得最小值3,则s∈[3,4].
综上可知,输出的s∈[-3,4].故选A.
6.(2013课标全国Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在
容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
().
A.
500π
cm
B.
866π
C.
1372π
3D.
2048π
设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA为直角三角
形,如图.
第2页共2页
BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R,
由R
2=(R-2)2+42,得R=5,
所以球的体积为
4500
3),故选A.
π5π
(cm
33
7.(2013课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=().
A.3B.4C.5D.6
∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,
∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.
∴d=am+1-am=3-2=1.
∵Sm=ma1+
mm
×
1=0,∴
m1
a.
又∵am+1=a1+m×
1=3,∴
∴m=5.故选C.
m
m3.
8.(2013课标全国Ⅰ,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().
A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π
由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r=2,长为4,
在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr+4×
2×
2=8π+16.故选A.
2×
4×
1
2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式
9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m为正整数,(x+y)
的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=().
A.5B.6C.7D.8
由题意可知,a=
C
m,b=C21
m,
又∵13a=7b,∴
2m!
2m1!
13=7
m!
m!
m1!
,
第3页共3页
即
132m1
7m1
.解得m=6.故选B.
10.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E:
(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E
于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为().
4536
=1
3627
2718
D.
189
设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在椭圆上,
11
22
1,
①
1,②
①-②,得
xxxxyyyy
12121212
22=0
byyyy
1212
=
axxxx
∵AB的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2,
yy011
而12
=kAB==,∴
xx312
12
又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.
2-b2=9,∴a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为
=1.故选D.
11.(2013课标全国Ⅰ,理11)已知函数f(x)=
220
xx,x,
若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是().
ln(x1)x0.
A.(-∞,0]B.(-∞,1]
C.[-2,1]D.[-2,0]
由y=|f(x)|的图象知:
①当x>0时,y=ax只有a≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C.
②当x≤0时,y=|f(x)|=|-x
2+2x|=x2-2x.
故由|f(x)|≥ax得x
2-2x≥ax.
当x=0时,不等式为0≥0成立.
当x<0时,不等式等价于x-2≤a.
∵x-2<-2,∴a≥-2.
综上可知:
a∈[-2,0].
12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,⋯.
第4页共4页
若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=
A.{Sn}为递减数列
B.{Sn}为递增数列
ca
nn
,cn+1=
ba
,则().
C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列
D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~
第(24)题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.(2013课标全国Ⅰ,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°
,c=ta+(1-t)b.若b·
c=0,则t=__________.
2
∵c=ta+(1-t)b,
2.∴b·
c=ta·
b+(1-t)|b|
又∵|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°
,b⊥c,
∴0=t|a||b|cos60+°
(1-t),
0=
t+1-t.
∴t=2.
14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n项和
n-1
(-2)
21
Sa,则{an}的通项公式是an=__________.
∵21
Sa,①
∴当n≥2时,
Sa.②
n1n1
aaa,
nnn1
n
=-2.
21
∵a1=S1=a1,
33
∴a1=1.
n-1.∴{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2)
15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=__________.
25
f(x)=sinx-2cosx
=
5sinxcosx,
55
令cosα=,sinα=
则f(x)=5sin(α+x),
当x=2kπ+
π
-α(k∈Z)时,sin(α+x)有最大值1,f(x)有最大值5,
第5页共5页
即θ=2kπ+
-α(k∈Z),
ππ
225
所以cosθ=cos2π+
k=cos=sinα=
.22
16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x
2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大
值为__________.
16
∵函数f(x)的图像关于直线x=-2对称,
∴f(x)满足f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),
b15164ab,
0893ab,
解得
8,
15.
∴f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.
由f′x()=-4x
3-24x2-28x+8=0,
得x1=-2-5,x2=-2,x3=-2+5.
易知,f(x)在(-∞,-2-5)上为增函数,在(-2-5,-2)上为减函数,在(-2,-2+5)上为
增函数,在(-2+5,+∞)上为减函数.
∴f(-2-5)=[1-(-2-5)
2+8(-2-5)+15]
][(-2-5)
=(-8-45)(8-45)
=80-64=16.
f(-2)=[1-(-2)
2][(-2)2+8×
(-2)+15]=-3(4-16+15)
=-9.
f(-2+5)=[1-(-2+5)
=(-8+45)(8+45)
故f(x)的最大值为16.
2+8(-2+5)+15]
][(-2+5)
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°
,AB=3,BC=1,P
为△ABC内一点,∠BPC=90°
(1)若PB=
,求PA;
(2)若∠APB=150°
,求tan∠PBA.
解:
(1)由已知得∠PBC=60°
,所以∠PBA=30°
在△PBA中,由余弦定理得PA
2=31231cos307
424
故PA=
7
(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sinα.
第6页共6页
在△PBA中,由正弦定理得
3sin
sin150sin(30)
化简得3cosα=4sinα.
所以tanα=,即tan∠PBA=
.44
18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠
BAA1=60°
(1)证明:
AB⊥A1C;
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°
故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.
又A1C平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)解:
由
(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,
所以OC⊥平面AA1B1B,
故OA,OA1,OC两两相互垂直.
以O为坐标原点,OA的方向为x轴的正方向,|OA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
由题设知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0).
则BC=(1,0,3),
BB=
AA=(-1,3,0),
AC=(0,3,3).
设n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,
nBC0,x3z0,
则即
可取n=(3,1,-1).
BB0,
x3y0.
故cos〈n,
AC〉=
AC
10
所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为
19.(2013课标全国Ⅰ,理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:
先从这批产品
第7页共7页
中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都
为优质品,则这批产品通过检验;
如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品
通过检验;
其他情况下,这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为
,且各件产品是否为优质
品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率;
(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的
费用记为X(单位:
元),求X的分布列及数学期望.
(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产
品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以
P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)
=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)
41113
161616264
(2)X可能的取值为400,500,800,并且
P(X=400)=
4111
161616
,P(X=500)=
16
,P(X=800)=
所以X的分布列为
X400500800
P
11
1111
400+500+800
EX==506.25.
16164
2+y2=1,圆N:
(x-1)2+y2=9,动圆20.(2013课标全国Ⅰ,理20)(本小题满分12分)已知圆M:
(x+1)
P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;
圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点
除外),其方程为
43
(x≠-2).
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,
所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)
2+y2=4.
若l的倾斜角为90°
,则l与y轴重合,可得|AB|=23.
若l的倾斜角不为90°
,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则
|QP|R
|QM|r
,可求得
Q(-4,0),所以可设l:
y=k(x+4).
由l与圆M相切得
|3k|
k
=1,
解得k=
第8页共8页
当k=yx2代入
时,将
44
并整理得7x2+8x-8=0,
2+8x-8=0,
解得x1,2=
462
所以|AB|=
18
1k|xx|.
当
k时,由图形的对称性可知|AB|=
综上,|AB|=23或|AB|=
.7
2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f(x)=x
和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.解:
(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0=)4,g′(0=)4.
而f′x()=2x+a,g′x()=e
(cx+d+c),
故b=2,d=2,a=4,d+c=4.
从而a=4,b=2,c=2,d=2.
2+4x+2,g(x)=
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