高三数学教案高考数学抛物线复习教案文档格式.docx

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y2=kxk0时开口向右（k/4,0）x=─k/4到焦点（k/4,0）的距离等于到准线x=─k/4的距离

k0时开口向左

x2=kyk0时开口向上（0,k/4）y=─k/4到焦点（0,k/4）的距离等于到准线y=─k/4的距离

k0时开口向下

抛物线的定义：

例1：

点M与点F（-4，0）的距离比它到直线l：

x-6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程.

分析：

点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义.

答案：

y2=-16x

例2：

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长.

这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是：

把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.

解：

如图8-3-1，y2=4x的焦点为F（1，0），则l的方程为y=x-1.

由消去y得x2-6x+1=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=6.

例3:

（1）已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程;

（2）已知抛物线的焦点是F（0，3）求它的标准方程;

（3）已知抛物线方程为y=-mx2（m0）求它的焦点坐标和准线方程;

（4）求经过P（-4，-2）点的抛物线的标准方程;

这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值（注意p0）.特别是（3）题，要先化为标准形式：

，则.（4）题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解.

（1），.

（2）x2=12y（3），;

（4）y2=-x或x2=-8y.

例4求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（-3，2）;

（2）焦点在直线x-2y-4=0上

从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;

从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论

（1）设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py（p0），

∵过点（-3，2），

4=-2p（-3）或9=2p2

p=或p=

所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=-

（2）令x=0得y=-2，令y=0得x=4，

抛物线的焦点为（4，0）或（0，-2）

当焦点为（4，0）时，=4，

p=8，此时抛物线方程y2=16x;

焦点为（0，-2）时，=2，

p=4，此时抛物线方程为x2=-8y

所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y，

对应的准线方程分别是x=-4，y=2

常用结论

①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A（x1，y），1B（x2，y2）是抛物线y2=2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③设A，B是抛物线y2=2px上的两点，O为原点，则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点（2p，0）

例5：

过抛物线y2=2px（p0）的顶点O作弦OAOB，与抛物线分别交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：

y1y2=-4p2.

由OAOB，得到OA、OB斜率之积等于-1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点，故（x1，y1）、（x2，y2）满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.

证：

由OAOB，得，即y1y2=-x1x2，又，，所以：

，即.而y1y20.所以y1y2=-4p2.

弦的问题

例1A,B是抛物线y2=2px（p0）上的两点，满足OAOB（O为坐标原点）求证：

（1）A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值;

（2）直线AB经过一个定点

（3）作OMAB于M，求点M的轨迹方程

（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y12=2px1,y22=2px2,

y12y22=4p2x1x2,

∵OAOB,x1x2+y1y2=0,

由此即可解得：

x1x2=4p2,y1y2=─4p2（定值）

（2）直线AB的斜率k===,

直线AB的方程为y─y1=（x─）,

即y（y1+y2）─y1y2=2px,由

（1）可得y=（x─2p）,

直线AB过定点C（2p,0）

（3）解法1:

设M（x,y）,由

（2）知y=（x─2p）（i）,

又ABOM,故两直线的斜率之积为─1,即=─1（ii）

由（i）,（ii）得x2─2px+y2=0（x0）

解法2:

由OMAB知点M的轨迹是以原点和点（2p,0）为直径的圆（除去原点）立即可求出

例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标

如图，设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x,y）,则x=,y=,

又设点A，B，M在准线:

x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N，

则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,

x=（x1+x2）=（|AF|+|BF|─）（|AB|─）=

等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k（x─）

由得16k2x2─8（k2+2）x+k2=0

依题意|AB|=|x1─x2|===3,

k2=1/2,此时x=（x1+x2）==

y=即M（,）,N（,─）

例3设一动直线过定点A（2,0）且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为,P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形

解析:

设,

由得

又代入①式得②

由得代入②式得:

由得或,又由①式知关于是减函数且

且

所以Q点轨迹为一线段（抠去一点）:

（且）

例4已知抛物线,焦点为F,一直线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S（6,0）

①求抛物线方程;

②求面积的最大值

解:

①设,AB中点

又得

所以依题意,

抛物线方程为

②由及,

令得

又由和得:

例5定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标

综合类（几何）

例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?

思路一：

求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程联立，解出

直线OP的方程为即

令，得M点纵坐标得证.

由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.

思路二：

利用命题如果过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为、，那么来证.

设、、，并从及中消去x，得到，则有结论，即.

又直线OP的方程为，，得.

因为在抛物线上，所以.

从而.

这一证法运算较小.

思路三：

直线MQ的方程为的充要条件是.

将直线MO的方程和直线QF的方程联立，它的解（x,y）就是点P的坐标，消去的充要条件是点P在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小.

说明：

本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），容易证明成立.

例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积.

求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可.

设AB所在的直线方程为.

将其代入抛物线方程，消去x得

当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值.

设直线l方程为.代入抛物线方程得

由得，这时.它到AB的距离为

△RAB的最大面积为.

例3直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k.

（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数;

（2）求出的定义域及单调区间.

过点P及F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，从而写出，由函数的特点求得其定义域及单调区间.

（1）设的方程为：

，将它代入方程，得

设，则

将代入得：

，即P点坐标为.

由，知焦点，直线的斜率

函数.

（2）∵与抛物线有两上交点，且

解得或

函数的定义域为

当时，为增函数.

例4如图所示：

直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：

对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;

别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.

证法一：

假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零;

直线CD的斜率存在，且不为0.

设C、D的坐标分别为与.则

l的方程为

∵直线l平分弦CD

CD的中点在直线l上，

即，化简得：

由知得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.

证法二：

假设直线l是弦CD的垂直平分线

∵焦点F在直线l上，

由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等.

CD的垂直平分线l：

与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略.

例5设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.

求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点;

待求得的关系后再用动点坐标来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.

解法一：

设

则：

，即

把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：

显然

代入化简整理得：

由①、②得：

，化简得

用x、y分别表示得：

解法二：

点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设，则以OA为直径的圆方程为：

设，OAOB，则

在求以OB为直径的圆方程时以代，可得

由①+②得：

例6如图所示，直线和相交于点M，，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程.

以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系.

由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点.

设曲线段C满足的抛物线方程为：

其中、为A、B的横坐标

令则，

由两点间的距离公式，得方程组：

∵△AMN为锐角三角形，，则，

又B在曲线段C上，

则曲线段C的方程为

例7如图所示，设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B，与圆在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点.

（1）求.

（2）求△ABQ面积的最大值.

由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出.

（1）设

由得：

由得，

同类似，

则，

（2）

，当时，取最大值.

例8已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且点和点关于直线的对称点都在上，求直线和抛物线的方程.

设出直线和抛物线的方程，由点、关于直线对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设，利用对称的几何性质和三角函数知识求解.

设抛物线的方程为，直线的方程为，

则有点，点关于直线的对称点为、，

则有解得

解得

如图，、在抛物线上

两式相除，消去，整理，得，故，

由，，得.把代入，得.

直线的方程为，抛物线的方程为.

设点、关于的对称点为、，

又设，依题意，有，.

故，.

由，知.

又，，故为第一象限的角.

将、的坐标代入抛物线方程，得

，即从而，，

，得抛物线的方程为.

又直线平分，得的倾斜角为.

直线的方程为.

（1）本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到.

（2）本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握.

例9如图，正方形的边在直线上，、两点在抛物线上，求正方形的面积.

本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力.

∵直线，，设的方程为，且、.

由方程组，消去，得，于是

，，（其中）

由已知，为正方形，，

可视为平行直线与间的距离，则有

，于是得.

两边平方后，整理得，，或.

当时，正方形的面积.

正方形的面积为18或50.

运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件.

例10设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星与地球的最短距离.

利用抛物线有关性质求解.

如图，设彗星轨道方程为，，焦点为，

彗星位于点处.直线的方程为.

解方程组得，

故.

故，得.

由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为，所以彗星与地球的最短距离为或，（点在点的左边与右边时，所求距离取不同的值）.

（1）此题结论有两个，不要漏解;

（2）本题用到抛物线一个重要结论：

顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：

设为抛物线上一点，焦点为，准线方程为，依抛物线定义，有，当时，最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.

例11如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、、、四点，求的值.

本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.

由圆的方程，即可知，圆心为，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，设抛物线方程为，

∵为已知圆的直径，，则.

设、，∵，而、在抛物线上，

由已知可知，直线方程为，于是，由方程组

消去，得，.

，因此，.

本题如果分别求与则很麻烦，因此把转化成是关键所在，在求时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算.

11.已知抛物线y2=2px（p0），过焦点F的弦的倾斜角为（0）,且与抛物线相交于A、B两点.

（1）求证：

|AB|=;

（2）求|AB|的最小值.

（1）证明：

如右图，焦点F的坐标为F（,0）.

设过焦点、倾斜角为的直线方程为y=tan（x-）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得

tan2x2-（2p+ptan2）x+=0.

此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2=.

设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.

（2）解析：

因|AB|=的定义域是0，又sin21，

所以，当=时，|AB|有最小值2p.

12.已知抛物线y2=2px（p0）的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：

为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论?

解析：

（1）当ABx轴时，m=n=p，

（2）当AB不垂直于x轴时，设AB:

y=k（x-）,

A（x1,y1）,B（x2,y2）,|AF|=m,|BF|=n,

m=+x1,n=+x2.

将AB方程代入抛物线方程，得

k2x2-（k2p+2p）x+=0,

本题若推广到椭圆，则有=（e是椭圆的离心率）;

若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有=（e为双曲线的离心率）.

13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且?

|MA|=|MB|.

（1）若M为定点，证明：

直线EF的斜率为定值;

（2）若M为动点，且EMF=90，求△EMF的重心G的轨迹方程.

设M（y02,y0），直线ME的斜率为?

k（k0）,则直线MF的斜率为-k，

直线ME的方程为y-y0=k（x-y02）.

ky2-y+y0（1-ky0）=0.

解得y0yE=,

yE=,xE=.

同理可得yF=,xF=.

kEF=（定值）.

当EMF=90时，MAB=45，所以k=1，由

（1）得E（（1-y0）2,（1-y0））F（（1+y0）2,-（1+y0））.

设重心G（x,y），则有

消去参数y0,得y2=（x0）.

14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1），若点C满足=?

t+（1-t）（tR）,点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.

（2）在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程;

若不存在，请说明理由.

由=t+（1-t）（tR）知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：

y+3=（x-1）,即y=x-4.

由（x-4）2=4xx2-12x+16=0.

x1x2=16，x1+x2=12，

y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-16.

x1x2+y1y2=0.故.

存在点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.

由题意知：

弦所在的直线的斜率不为零，

故设弦所在的直线方程为：

x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,

y1+y2=4k,y1y2=-16.

kOAkOB==-1.

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如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?

OAOB,故以AB为直径的圆都过原点.

设弦AB的中点为M（x,y），

则x=（x1+x2）,y=（y1+y2）.

x1+x2=ky1+4+ky2+4=k（y1+y2）+8=k（4k）+8=4k2+8.

弦AB的中点M的轨迹方程为：

消去k，得y2=2x-8.