高考数学一轮考点训练平面向量与复数含答案Word格式.docx
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(3)能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义.
§
1 平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
(1)向量:
既有____________又有____________的量叫做向量,向量的大小,也就是向量的____________(或称模)AB→的模记作____________.
(2)零向量:
____________的向量叫做零向量,其方向是________的.
(3)单位向量:
长度等于__________________的向量叫做单位向量aa是一个与a同向的____________.-a|a|是一个与a________的单位向量.
(4)平行向量:
方向________或________的________向量叫做平行向量.平行向量又叫____________,任一组平行向量都可以移到同一直线上.
规定:
0与任一向量____________.
()相等向量:
长度____________且方向____________的向量叫做相等向量.
(6)相反向量:
长度____________且方向____________的向量叫做相反向量.
(7)向量的表示方法:
用________表示;
用____________表示;
用________表示.
2.向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则:
以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b,则以第一个向量a的起点为________以第二个向量b的终点B为________的向量B→就是a与b的________(如图1).
推广:
A1A2→+A2A3→+…+An-1An=____________
图1 图2
②平行四边形法则:
以同一点A为起点的两个已知向量a,b为邻边作&
#9649;
ABD,则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2).在图2中,B→=AD→=b,因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式.
③加法的运算性质:
a+b=____________(交换律);
(a+b)+=____________(结合律);
a+0=____________=a
(2)向量的减法已知向量a,b,在平面内任取一点,作A→=a,B→=b,则BA→=____________,即a-b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图).
3.向量的数乘及其几何意义
(1)定义:
实数λ与向量a的积是一个向量,记作____________,它的长度与方向规定如下:
①λa=____________;
②当λ&
gt;
0时,λa与a的方向____________;
当λ&
lt;
当λ=0时,λa=____________
(2)运算律:
设λ,μ∈R,则:
①λ(μa)=____________;
②(λ+μ)a=____________;
③λ(a+b)=____________
4.两个向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条是有且只有一个实数λ,使得____________.
自查自纠:
1.
(1)大小 方向 长度 AB→
(2)长度为0 任意
(3)1个单位长度 单位向量 方向相反
(4)相同 相反 非零 共线向量 平行
()相等 相同 (6)相等 相反
(7)字母 有向线段 坐标
2.
(1)①起点 终点 和 A1An→ ②对角线A→
③b+a a+(b+) 0+a
(2)a-b
3.
(1)λa ①|λ||a| ②相同 相反 0
(2)①μ(λa) ②λa+μa ③λa+λb
4.b=λa
设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;
②若a与a0平行,则a=|a|a0;
③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0上述命题中,假命题的个数是( )
A.0B.1.2D.3
解:
向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;
若a与a0平行,则当a为零向量时,a的方向任意;
当a不为零向量时,a与a0的方向有两种情况:
一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3故选D
设D为△AB所在平面内一点,B→=3D→,则( )
AAD→=-13AB→+43A→BAD→=13AB→-43A→
AD→=43AB→+13A→DAD→=43AB→-13A→
AD→=A→+D→=A→+13B→=A→+13(A→-AB→)=-13AB→+43A→故选A
(201&
#8226;
湖北联考)已知,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点,满足2A→+B→=0,则→等于( )
A.2A→-B→B.-A→+2B→
23A→-13B→D.-13A→+23B→
由2A→+B→=0得2→-2A→+B→-→=0,故→=2A→-B→故选A
北京)在△AB中,点,N满足A→=2→,BN→=N→若N→=xAB→+A→,则x=________,=________.
在△AB中,N→=AN→-A→=12(AB→+A→)-23A→=12AB→-16A→,所以x=12,=-16故填12;
-16
全国)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.
由于λa+b与a+2b平行,且a+2b≠0,∴存在唯一的实数μ∈R,使得λa+b=μ(a+2b),即(λ-μ)a+(1-2μ)b=0∵a,b不平行,∴λ-μ=0,1-2μ=0,解得λ=μ=12故填12
类型一 向量的基本概念
给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,,D是不共线的四点,则“AB→=D→”是“四边形ABD为平行四边形”的充要条;
③若a=b,b=,则a=;
④a=b的充要条是|a|=|b|且a∥b
其中正确命题的序号是________.
①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵AB→=D→,∴|AB→|=|D→|且AB→∥D→,又∵A,B,,D是不共线的四点,∴四边形ABD为平行四边形;
反之,若四边形ABD为平行四边形,则AB→∥D→且|AB→|=|D→|,可得AB→=D→故“AB→=D→”是“四边形ABD为平行四边形”的充要条.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同;
又b=,∴b,的长度相等且方向相同,∴a,的长度相等且方向相同,故a=
④不正确.由a=b可得|a|=|b|且a∥b;
由|a|=|b|且a∥b可得a=b或a=-b,故“|a|=|b|且a∥b”不是“a=b”的充要条,而是必要不充分条.
综上所述,正确命题的序号是②③故填②③
点拨:
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a与a|a|的关系:
a|a|是a方向上的单位向量.
下列命题中,正确的是________.(填序号)
①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③向量AB→与向量D→共线,则A,B,,D四点共线;
④如果a∥b,b∥,那么a∥;
⑤两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;
②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是任意的,故两向量方向不一定相同或相反;
③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;
④不正确,如果b为零向量,则a与不一定平行;
⑤正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;
向量的模均为实数,可以比较大小.故填⑤
类型二 向量的线性运算
(1)在△AB中,AB边上的高为D,若B→=a,A→=b,a&
b=0,|a|=1,|b|=2,则AD→=( )
A13a-13bB23a-23b
3a-3bD4a-4b
∵a&
b=0,∴∠AB=90°
,∴AB=,D=2,∴BD=,AD=4∴AD→=4AB→=4(B→-A→)=4a-4b故选D
(2)在△AB中,AB→=,A→=b,若点D满足BD→=2D→,则AD→等于( )
A23b+13B3-23b
23b-13D13b+23
∵BD→=2D→,∴AD→-AB→=2(A→-AD→),∴3AD→=2A→+AB→,∴AD→=23A→+13AB→=23b+13
故选A
(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系,能熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:
①观察各向量的位置;
②寻找相应的三角形或多边形;
③运用法则找关系;
④化简结果.
(1)(201&
福建模拟)在△AB中,AD→=2D→,BA→=a,BD→=b,B→=,则下列等式成立的是( )
A.=2b-aB.=2a-b
.=3a2-b2D.=3b2-a2
因为在△AB中,B→=BD→+D→=BD→+12AD→=BD→+12(BD→-BA→)=32BD→-12BA→,所以=32b-12a故选D
(2)(2014&
全国Ⅰ)设D,E,F分别为△AB的三边B,A,AB的中点,则EB→+F→=( )
AAD→B12AD→B→D12B→
EB→+F→=12(AB→+B→)+12(A→+B→)
=12(AB→+A→)=AD→故选A
类型三 向量共线的充要条及其应用
已知A,B,是平面内三个不相同的点,是平面内任意一点,求证:
向量A→,B→,→的终点A,B,共线的充要条是存在实数λ,μ,使得→=λA→+μB→,且λ+μ=1
证明:
(1)先证必要性.
若A→,B→,→的终点A,B,共线,则AB→∥B→,
∴存在实数使得B→=AB→,即→-B→=(B→-A→),
∴→=-A→+(1+)B→
令λ=-,μ=1+,则λ+μ=-+1+=1,
即存在实数λ,μ,使得→=λA→+μB→,且λ+μ=1
(2)再证充分性.
若→=λA→+μB→,且λ+μ=1,
则→=λA→+(1-λ)B→,
∴→-B→=λ(A→-B→),即B→=λBA→,
∴B→∥BA→,又B与BA有公共点B,
∴A,B,三点共线.
综合
(1)
(2)可知,原命题成立.
证明三点A,B,共线,借助向量,只需证明由这三点A,B,所组成的向量中有两个向量共线,即证明存在一个实数λ,使AB→=λB→但证明两条直线AB∥D,除了证明存在一个实数λ,使AB→=λD→外,还要说明两直线不重合.注意:
本例的结论可作定理使用.
(1)已知向量a,b,且AB→=a+2b,B→=-a+6b,D→=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,DB.A,B,
.B,,DD.A,,D
BD→=B→+D→=(-a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2AB→,∴A,B,D三点共线.故选A
(2)设两个非零向量a与b不共线,若a+b和a+b共线,则实数=________
∵a+b和a+b共线,∴存在实数λ,使a+b=λ(a+b),即a+b=λa+λb∴(-λ)a=(λ-1)b∵a,b是两个不共线的非零向量,∴-λ=λ-1=0,∴2-1=0∴=±
1故填±
1
(3)(201&
南京模拟)如图,经过△AB的重心G的直线与A,B分别交于点P,Q,设P→=A→,Q→=nB→,,n∈R,则1n+1的值为________.解法一:
∵G是△AB的重心,∴G→=13(A→+B→)=13P→+13nQ→由P,G,Q三点共线可得,13+13n=1,故1+1n=3
解法二:
设A→=a,B→=b,由题意知G→=23×
12(A→+B→)=13(a+b),PQ→=Q→-P→=nb-a,PG→=G→-P→=13-a+13b由P,G,Q三点共线得,存在实数λ,使得PQ→=λPG→,且λ≠0,即nb-a=λ13-a+13λb,从而-=λ13-,n=13λ,消去λ得1n+1=3故填3
1.准确理解向量的概念,请特别注意以下几点:
(1)a∥b,有a与b方向相同或相反两种情形;
(2)向量的模与数的绝对值有所不同,如|a|=|b|&
#868;
/a=±
b;
(3)零向量的方向是任意的,并不是没有,零向量与任意向量平行;
(4)对于任意非零向量a,aa是与a同向的单位向量,这也是求单位向量的方法;
()向量平行,其所在直线不一定平行,两向量还可能在一条直线上;
(6)只要不改变向量a的大小和方向,可以自由平移a,平移后的向量与a相等,所以线段共线与向量共线是有区别的,当两向量共线且有公共点时,才能得出线段共线,向量的共线与向量的平行是一致的.
2.向量具有大小和方向两个要素,既能像实数一样进行某些运算,又有直观的几何意义,是数与形的完美结合.向量是一个几何量,因此,在研究向量的有关问题时,一定要结合图形进行分析、判断,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.
3.向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接,指向终点”;
减法法则可简记为“起点重合,指向被减向量”;
加法的平行四边形法则可简记“起点重合,指向对角顶点”.
4.平面向量的三种线性运算的结果仍为向量,在三种线性运算中,加法是最基本、最重要的运算,减法运算与数乘运算都以加法运算为基础,都可以归结为加法运算.
.对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线&
#8660;
存在唯一实数λ使得b=λa)中条“a≠0”的理解:
(1)当a=0时,a与任一向量b都是共线的;
(2)当a=0且b≠0时,b=λa是不成立的,但a与b共线.
因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求a≠0换句话说,如果不加条“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b=λa”的必要不充分条.
1.设a、b都是非零向量,下列四个条中,使a|a|=b|b|成立的充分条是( )
A.a=-bB.a∥b
.a=2bD.a∥b且|a|=|b|
由题意a|a|=b|b|表示与向量a和向量b同向的单位向量相等,故a与b同向共线.故选
2.已知两个非零向量a,b不共线,AB→=2a+pb,B→=a+b,D→=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值是( )
A.-2B.-1.1D.2
∵B→=a+b,D→=a-2b,∴BD→=B→+D→=2a-b又∵A,B,D三点共线,∴AB→,BD→共线.设AB→=λBD→,∴2a+pb=λ(2a-b),∴2=2λ且p=-λ,∴λ=1,p=-1故选B
3.已知,A,,B为平面上四点,且→=λB→+(1-λ)A→,实数λ∈(1,2),则( )
A.点在线段AB上
B.点B在线段A上
.点A在线段B上
D.,A,,B四点一定共线
由题意得→-A→=λ(B→-A→),即A→=λAB→又λ∈(1,2),∴点B在线段A上.故选B
4.如图,已知AB是圆的直径,点,D是半圆弧的两个三等分点,AB→=a,A→=b,则AD→=( )A.a-12bB12a-b
.a+12bD12a+b
连接D,D,显然∠BD=∠A=60°
,则A∥D,且A=D,即四边形AD为菱形,故AD→=A→+A→=12a+b,故选D
.已知平面内一点P及△AB,若PA→+PB→+P→=AB→,则点P与△AB的位置关系是( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段B上
.点P在线段A上
D.点P在△AB外部
由PA→+PB→+P→=AB→得PA→+P→=AB→-PB→=AP→,即P→=AP→-PA→=2AP→,所以点P在线段A上.故选
6.在平行四边形ABD中,点E是AD的中点,BE与A相交于点F,若EF→=AB→+nAD→(,n∈R),则n的值为( )
A.-2B.-12.2D12
设AB→=a,AD→=b,则EF→=a+nb,BE→=AE→-AB→=12b-a,由向量EF→与BE→共线可知存在非零实数λ,使得EF→=λBE→,即a+nb=12λb-λa,又a与b不共线,则=-λ,n=12λ,消去λ得n=-2故选A
7.如图,在△AB中,H为B上异于B,的任一点,为AH的中点,若A→=λAB→+μA→,则λ+μ=______.解:
由B,H,三点共线,可令AH→=xAB→+(1-x)A→又是AH的中点,所以A→=12AH→=12xAB→+12(1-x)A→又A→=λAB→+μA→,所以λ+μ=12x+12(1-x)=12故填12
8.若点是△AB所在平面内的一点,且满足|B→-→|=|B→+→-2A→|,则△AB的形状为________.
B→+→-2A→=B→-A→+→-A→=AB→+A→,B→-→=B→=AB→-A→,∴|AB→+A→|=|AB→-A→|,即平行四边形的对角线相等,故A,B,为矩形的三个顶点,△AB为直角三角形.故填直角三角形.
9.如图,在梯形ABD中,AB∥D,且AB=2D,,N分别是D和AB的中点,若AB→=a,AD→=b,试用a,b表示B→和N→解:
B→=BA→+AD→+D→=-a+b+12a=b-12a
N→=D→+DA→+AN→=-14a+(-b)+12a=14a-b
10.设两个非零向量e1和e2不共线.
(1)如果AB→=e1-e2,B→=3e1+2e2,D→=-8e1-2e2,求证:
A,,D三点共线;
(2)如果AB→=e1+e2,B→=2e1-3e2,D→=2e1-e2,且A,,D三点共线,求的值.
(1)证明:
∵AB→=e1-e2,B→=3e1+2e2,D→=-8e1-2e2,
∴A→=AB→+B→=4e1+e2=-12(-8e1-2e2)=-12D→,∴A→与D→共线.
又∵A→与D→有公共点,∴A,,D三点共线.
(2)A→=AB→+B→=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,∵A,,D三点共线,
∴A→与D→共线,从而存在实数λ使得A→=λD→,
即3e1-2e2=λ(2e1-e2),
得3=2λ,-2=-λ,解得λ=32,=43故的值为43
11.如图所示,在△AB中,→=14A→,D→=12B→,AD与B相交于点,设A→=a,B→=b试用a和b表示向量→解:
∵A,,D三点共线,
∴→=λ1D→+(1-λ1)A→=12λ1b+(1-λ1)a,①
∵,,B三点共线,
∴→=λ2B→+(1-λ2)→=λ2b+1-λ24a,②
由①②可得12λ1=λ2,1-λ1=1-λ24,解得λ1=67,λ2=37
故→=17a+37b
设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A1A3→=λA1A2→(λ∈R),A1A4→=μA1A2→(μ∈R),且1λ+1μ=2,则称A3,A4调和分割A1,A2已知平面上的点,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是( )
A.可能是线段AB的中点
B.D可能是线段AB的中点
.,D可能同时在线段AB上
D.,D不可能同时在线段AB的延长线上
若,D调和分割点A,B,则A→=λAB→(λ∈R),AD→=μAB→(μ∈R),且1λ+1μ=2对于选项A,若是线段AB的中点,则A→=12AB→&
λ=12&
1μ=0,故A选项错误;
同理B选项错误;
对于选项,若,D同时在线段AB上,则0<λ<1,0<μ<1&
1λ+1μ>2,选项错误;
对于选项D,若,D同时在线段AB的延长线上,则λ>1,μ>1&
1λ+1μ<2,故,D不可能同时在线段AB的延长线上,D选项正确.故选D
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