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最新初三圆的证明专题训练答案
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2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷
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一.解答题(共17小题)
1.(2014•辽阳)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:
直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
2.(2014•吉林)如图,四边形OABC是平行四边形,以O为圆心,OA为半径的圆交AB于点D,延长AO交⊙O于点E,连接CD,CE,若CE是⊙O的切线,解答下列问题:
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若BC=3,CD=4,求平行四边形OABC的面积.
3.(2014•天水)如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,⊙O的半径是3,求BE的长.
4.(2013•德州)如图,已知⊙O的半径为1,DE是⊙O的直径,过点D作⊙O的切线AD,C是AD的中点,AE交⊙O于B点,四边形BCOE是平行四边形.
(1)求AD的长;
(2)BC是⊙O的切线吗?
若是,给出证明;若不是,说明理由.
5.(2013•菏泽)如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线,交BA的延长线于点D,取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.
(1)求证:
AP是⊙O的切线;
(2)OC=CP,AB=6,求CD的长.
6.(2013•聊城)如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F,CD=,BE=2.求证:
(1)四边形FADC是菱形;
(2)FC是⊙O的切线.
7.(2012•北京)已知:
如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:
BE与⊙O相切;
(2)连接AD并延长交BE于点F,若OB=9,sin∠ABC=,求BF的长.
8.(2012•济宁)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P,连接PC、BC.
(1)猜想:
线段OD与BC有何数量和位置关系,并证明你的结论.
(2)求证:
PC是⊙O的切线.
9.(2012•德阳)如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.
(1)求证:
AE•FD=AF•EC;
(2)求证:
FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长.
10.(2012•黔南州)已知:
如图,点C在以AB为直径的⊙O上,点D在AB的延长线上,∠BCD=∠A.
(1)求证:
CD为⊙O的切线;
(2)过点C作CE⊥AB于E.若CE=2,cosD=,求AD的长.
11.(2012•广安)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:
直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求点B到AC的距离.
(3)在第
(2)的条件下,求△ACP的周长.
12.(2012•黄冈)如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径作半圆⊙O,交AC于点D,过点D作DE⊥BC,垂足为点E.
(1)求证:
DE为⊙O的切线;
(2)求证:
BD2=AB•BE.
13.(2011•芜湖)如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD丄PA,垂足为D.
(1)求证:
CD为⊙O的切线;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.
14.(2011•凉山州)如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,点E为的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,且AD⊥BE,垂足为点H.
(1)求证:
AB是半圆O的切线;
(2)若AB=3,BC=4,求BE的长.
15.(2011•乐山)如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长.
16.(2011•广安)如图所示,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O上一点,且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.
(1)求证:
PB是⊙O的切线;
(2)求证:
AQ•PQ=OQ•BQ;
(3)设∠AOQ=α,若,OQ=15,求AB的长.
17.(2012•达州)如图,C是以AB为直径的⊙O上一点,过O作OE⊥AC于点E,过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F,连接CF并延长交BA的延长线于点P.
(1)求证:
PC是⊙O的切线.
(2)若AF=1,OA=,求PC的长.
2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共17小题)
1.(2014•辽阳)如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:
直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=,求BC和BF的长.
考点:
切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形.菁优网版权所有
专题:
几何综合题.
分析:
(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABF=90°.
(2)利用已知条件证得△AGC∽△ABF,利用比例式求得线段的长即可.
解答:
(1)证明:
连接AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∵AB=AC,
∴∠1=∠CAB.
∵∠CBF=∠CAB,
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径,
∴直线BF是⊙O的切线.
(2)解:
过点C作CG⊥AB于G.
∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,
∴sin∠1=,
∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=5,
∴BE=AB•sin∠1=,
∵AB=AC,∠AEB=90°,
∴BC=2BE=2,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AE==2,
∴sin∠2===,cos∠2===,
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,
∴AG=3,
∵GC∥BF,
∴△AGC∽△ABF,
∴
∴BF==
点评:
本题考查常见的几何题型,包括切线的判定,角的大小及线段长度的求法,要求学生掌握常见的解题方法,并能结合图形选择简单的方法解题.
2.(2014•吉林)如图,四边形OABC是平行四边形,以O为圆心,OA为半径的圆交AB于点D,延长AO交⊙O于点E,连接CD,CE,若CE是⊙O的切线,解答下列问题:
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若BC=3,CD=4,求平行四边形OABC的面积.
考点:
切线的判定与性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
(1)连接OD,求出∠EOC=∠DOC,根据SAS推出△EOC≌△DOC,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)根据全等三角形的性质求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=3,根据平行四边形的面积公式求出即可.
解答:
(1)证明:
连接OD,
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠A,
∵四边形OABC是平行四边形,
∴OC∥AB,
∴∠EOC=∠A,∠COD=∠ODA,
∴∠EOC=∠DOC,
在△EOC和△DOC中
∴△EOC≌△DOC(SAS),
∴∠ODC=∠OEC=90°,
即OD⊥DC,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:
∵△EOC≌△DOC,
∴CE=CD=4,
∵四边形OABC是平行四边形,
∴OA=BC=3,
∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12.
点评:
本题考查了全等三角形的性质和判定,切线的判定,平行四边形的性质的应用,解此题的关键是推出△EOC≌△DOC.
3.(2014•天水)如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,⊙O的半径是3,求BE的长.
考点:
切线的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
几何图形问题.
分析:
(1)连接OD,根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°,求出∠CDA+∠ADO=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)根据勾股定理求出DC,根据切线长定理求出DE=EB,根据勾股定理得出方程,求出方程的解即可.
解答:
解:
(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切,
理由是:
连接OD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠DBA=90°,
∵∠CDA=∠CBD,
∴∠DAB+∠CDA=90°,
∵OD=OA,
∴∠DAB=∠ADO,
∴∠CDA+∠ADO=90°,
即OD⊥CE,
∴直线CD是⊙O的切线,
即直线CD和⊙O的位置关系是相切;
(2)∵AC=2,⊙O的半径是3,
∴OC=2+3=5,OD=3,
在Rt△CDO中,由勾股定理得:
CD=4,
∵CE切⊙O于D,EB切⊙O于B,
∴DE=EB,∠CBE=90°,
设DE=EB=x,
在Rt△CBE中,由勾股定理得:
CE2=BE2+BC2,
则(4+x)2=x2+(5+3)2,
解得:
x=6,
即BE=6.
点评:
本题考查了切线的性质和判定,勾股定理,切线长定理,圆周角定理,等腰三角形的性质和判定的应用,题目比较典型,综合性比较强,难度适中.
4.(2013•德州)如图,已知⊙O的半径为1,DE是⊙O的直径,过点D作⊙O的切线AD,C是AD的中点,AE交⊙O于B点,四边形BCOE是平行四边形.
(1)求AD的长;
(2)BC是⊙O的切线吗?
若是,给出证明;若不是,说明理由.
考点:
切线的判定与性质;直角三角形斜边上的中线;平行四边形的性质.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
(1)连接BD,由ED为圆O的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角,由BCOE为平行四边形,得到BC与OE
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