第十三章排列组合与概率高中数学竞赛标准教材文档格式.docx
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。
.N个不同元素的圆周排列数为=!
.组合与组合数:
一般地,从n个不同元素中,任取个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合,即从n个不同元素中不计顺序地取出个构成原集合的一个子集。
从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出个元素的组合数,用表示:
.组合数的基本性质:
;
.定理1:
不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为。
[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A,不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B,A的每个装法对应B的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不同,因此为单射。
反之B中每一个解,将xi作为第i个盒子中球的个数,i=1,2,…,n,便得到A的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将r个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个,将球分n份,共有种。
故定理得证。
推论1不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为
推论2从n个不同元素中任取个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的可重组合,其组合数为
.二项式定理:
若n∈N+,则n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。
.随机事件:
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件A发生的概率,记作p,0≤p≤1.
0.等可能事件的概率,如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事件A包含的结果有种,那么事件A的概率为p=
1.互斥事件:
不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。
如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么A1,A2,…,An中至少有一个发生的概率为
p=p+p+…+p.
.对立事件:
事件A,B为互斥事件,且必有一个发生,则A,B叫对立事件,记A的对立事件为。
由定义知p+p=1.
3.相互独立事件:
事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
.相互独立事件同时发生的概率:
两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。
即p=p•p.若事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p=p•p•…•p.
独立重复试验:
若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.
独立重复试验的概率:
如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生次的概率为pn=•pn-.
.离散型随机为量的分布列:
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫随机变量,例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量,ξ可以取的值有0,1,2,…,10。
如果随机变量的可能取值可以一一列出,这样的随机变量叫离散型随机变量。
一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi的概率p=pi,则称表
ξx1x2x3…xi…
pp1p2p3…pi…
为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列,称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望,称Dξ=2•p1+2•p2+…+2pn+…为ξ的均方差,简称方差。
叫随机变量ξ的标准差。
.二项分布:
如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生次的概率为p=,ξ的分布列为
ξ01…xi…N
p
…
此时称ξ服从二项分布,记作ξ~B.若ξ~B,则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.
几何分布:
在独立重复试验中,某事件次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量,若在一次试验中该事件发生的概率为p,则p=q-1p,ξ的分布服从几何分布,Eξ=,Dξ=.
二、方法与例题
.乘法原理。
例1有2n个人参加收发电报培训,每两个人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方式?
[解]将整个结对过程分n步,步,考虑其中任意一个人的配对者,有2n-1种选则;
这一对结好后,再从余下的2n-2人中任意确定一个。
第二步考虑他的配对者,有2n-3种选择,……这样一直进行下去,经n步恰好结n对,由乘法原理,不同的结对方式有
×
×
3×
1=
.加法原理。
例2图13-1所示中没有电流通过电流表,其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种?
[解]断路共分4类:
1)一个电阻断路,有1种可能,只能是R4;
2)有2个电阻断路,有-1=5种可能;
3)3个电阻断路,有=4种;
4)有4个电阻断路,有1种。
从而一共有1+5+4+1=11种可能。
.插空法。
例310个节目中有6个演唱4个舞蹈,要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱,有多少种不同的安排节目演出顺序的方式?
[解]先将6个演唱节目任意排成一列有种排法,再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有种方法,故共有=604800种方式。
.映射法。
例4如果从1,2,…,14中,按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足:
a2-a1≥3,a3-a2≥3,那么所有符合要求的不同取法有多少种?
[解]设S={1,2,…,14},={1,2,…,10};
T={|a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3},={∈},若,令,则∈T,这样就建立了从到T的映射,它显然是单射,其次若∈T,令,则,从而此映射也是满射,因此是一一映射,所以|T|==120,所以不同取法有120种。
.贡献法。
例5已知集合A={1,2,3,…,10},求A的所有非空子集的元素个数之和。
[解]设所求的和为x,因为A的每个元素a,含a的A的子集有29个,所以a对x的贡献为29,又|A|=10。
所以x=10×
29.
[另解]A的元子集共有个,=1,2,…,10,因此,A的子集的元素个数之和为10×
29。
.容斥原理。
例6由数字1,2,3组成n位数,且在n位数中,1,2,3每一个至少出现1次,问:
这样的n位数有多少个?
[解]用I表示由1,2,3组成的n位数集合,则|I|=3n,用A1,A2,A3分别表示不含1,不含2,不含3的由1,2,3组成的n位数的集合,则|A1|=|A2|=|A3|=2n,|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1。
|A1A2A3|=0。
所以由容斥原理|A1A2A3|==3×
2n-3.所以满足条件的n位数有|I|-|A1A2A3|=3n-3×
2n+3个。
.递推方法。
例7用1,2,3三个数字来构造n位数,但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中,问:
能构造出多少个这样的n位数?
[解]设能构造an个符合要求的n位数,则a1=3,由乘法原理知a2=3×
3-1=8.当n≥3时:
1)如果n位数的个数字是2或3,那么这样的n位数有2an-1;
2)如果n位数的个数字是1,那么第二位只能是2或3,这样的n位数有2an-2,所以an=2.这里数列{an}的特征方程为x2=2x+2,它的两根为x1=1+,x2=1-,故an=c1n+c2n,由a1=3,a2=8得,所以
.算两次。
例8,n,r∈N+,证明:
①
[证明]从n位太太与位先生中选出r位的方法有种;
另一方面,从这n+人中选出位太太与r-位先生的方法有种,=0,1,…,r。
所以从这n+人中选出r位的方法有种。
综合两个方面,即得①式。
.母函数。
例9一副三色牌共有32张,红、黄、蓝各10张,编号为1,2,…,10,另有大、小王各一张,编号均为0。
从这副牌中任取若干张牌,按如下规则计算分值:
每张编号为的牌计为2分,若它们的分值之和为XX,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。
[解]对于n∈{1,2,…,XX},用an表示分值之和为n的牌组的数目,则an等于函数f=2•3••••…•3的展开式中xn的系数,由于f=[•…•]3=3=3。
而0≤XX.
一项“过关游戏”规定:
在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n,则算过关。
问:
某人在这项游戏中最多能过几关?
他连过前三关的概率是多少?
四、高考水平训练题
.若n∈{1,2,…,100}且n是其各位数字和的倍数,则这种n有__________个。
.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数,能组成过原点,且顶点在或第三象限的抛物线有___________条。
.四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中任取4个不共面的点,有_________种取法。
.三个人传球,从甲开始发球,每次接球后将球传给另外两人中的任意一个,经5次传球后,球仍回到甲手中的传法有_________种。
.一条铁路原有个车站,新增加n个车站,客运车票相应地增加了58种,原有车站有_________个。
.将二项式的展开式按降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项有_________个。
.从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数,共可得到_________种不同的对数值。
.二项式5的展开式中系数最大的项为第_________项,系数最小的项为第_________项。
.有一批规格相同的均匀圆棒,每根被划分成长度相同的5节,每节用红、黄、蓝三色之一涂色,可以有_________种颜色不同的圆棒?
0.在1,2,…,XX中随机选取3个数,能构成递增等差数列的概率是_________。
1.投掷一次骰子,出现点数1,2,3,…,6的概率均为,连续掷6次,出现的点数之和为35的概率为_________。
.某列火车有n节旅客车厢,进站后站台上有名旅客候车,每位旅客随意选择车厢上车,则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。
3.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷?
五、联赛一试水平训练题
.若01为固定的正整数;
存在h0,1≤h0≤-1,使得≥+1.
设,其中S1,S2,…,S都是正整数且S1<
S2<
…<
S,求证组合数中奇数的个数等于2。
.个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵,设是从上往下第行中的最大数,求1<
2<
n的概率。
.证明:
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- 第十三 排列组合 概率 高中数学 竞赛 标准 教材
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