中考数学规律探索题含答案解析.docx
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中考数学规律探索题含答案解析
2019-2020年中考数学:
规律探索题(含答案解析)
针对演练
1.(2016新疆)如图,下面每个图形中的四个数都是按相同规律填写的,根据此规律确定x的值为________.
第1题图
2.(2016绥化)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21…叫三角数,它有一定的规律.若把第一个三角数记为a1,第二个三角数记为a2,…,第n个三角数记为an,计算a1+a2,a2+a3,a3+a4,…,由此推算a399+a400=________.
3.(2016济宁)按一定规律排列的一列数:
,1,1,,,,,…,请你仔细观察,按照此规律方框内的数字应为________.
4.(2016郴州)观察下列等式:
31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,….试猜想,32016的个位数字是________.
5.(2016百色)观察下列各式的规律:
(a-b)(a+b)=a2-b2;(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3;(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4;…;可得到(a-b)(a2016+a2015b+…+ab2015+b2016)=________.
6.请观察下列等式的规律:
=(1-),=(-),=(-),=(-),…,则+++…+=________.
7.(2016滨州)观察下列式子:
1×3+1=22;
7×9+1=82;
25×27+1=262;
79×81+1=802;
…
可猜想第2016个式子为______________.
8.(2016黄石)观察下列等式:
第1个等式:
a1==-1,第2个等式a2==-,
第3个等式:
a3==2-,第4个等式:
a4==-2,
按上述规律,回答以下问题:
(1)请写出第n个等式:
an=__________________;
(2)a1+a2+a3+…+an=__________.
9.(2011省卷20,9分)如下数表是由从1开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.
(1)表中第8行的最后一个数是________,它是自然数________的平方,第8行共有________个数;
(2)用含n的代数式表示:
第n行的第一个数是________,最后一个数是________,第n行共有________个数;
(3)求第n行各数之和.
【答案】
1.370 【解析】观察可得,第n个图形的数字为:
n
2n-1
2n
2n(2n-1)-n
当2n=20时,n=10,∴x=2n(2n-1)-n=20×(20-1)-10=370.
2.160000 【解析】由a1+a2=4=22,a3+a4=6+10=16=42,a5+a6=15+21=36=62,…,依此类推可得an+an+1=(n+1)2,∴a399+a400=4002=160000.
3.1 【解析】将原来的一列数变形为,,,□,,,,观察可以得出分子依次为从小到大排列的连续奇数,分母是依次从小到大排列的质数,故方框内填,故答案为1.
4.1 【解析】从前几个3的幂来看,它的个位数依次是3,9,7,1,第5个数跟第一个数的个位数相同,于是3的整数次幂的个位数是每四个数一个循环,2016÷4=504,于是32016的个位数与34的个位数相同,即为1.
5.a2017-b2017 【解析】由题可知,(a-b)(a+b)=a2-b2,(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,…,∴(a-b)(an+an-1b+an-2b2+…+a2bn-2+abn-1+bn)=an+1-bn+1,∴当n=2016时,(a-b)(a2016+a2015b+…+ab2015+b2016)=a2017-b2017.
6. 【解析】原式=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=(1-+-+-+…+-)=(1-)=.
7.(32016-2)×32016+1=(32016-1)2 【解析】第①个式子转化为:
(31-2)×31+1=(31-1)2,第②个式子转化为:
(32-2)×32+1=(32-1)2,第③个式子转化为:
(33-2)×33+1=(33-1)2,第④个式子转化为:
(34-2)×34+1=(34-1)2,…,由以上规律可得,第n个式子为:
(3n-2)×3n+1=(3n-1)2,当n=2016时,第2016个式子为:
(32016-2)×32016+1=(32016-1)2.
8.
(1)=-;
(2)-1 【解析】
(1)a1==-1,a2==-,a3==-,…,an==-;
(2)a1+a2+a3+…+an=(-1)+(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1.
9.解:
(1)64,8,15;
【解法提示】仔细观察第一行最后一个数是1=12,且共有1个数;第二行最后一个数是4=22,且共有3个数,第三行最后一个数是9=32,且共有5个数,以此类推,可知第n行最后一个数可以表示为n2,且共有(2n-1)个数,所以第8行最后一个数是82=64,共有2×8-1=15个数;
(2)n2-2n+2,n2,2n-1;
【解法提示】由
(1)中的分析得知第n行的第一个数是(n-1)2+1=n2-2n+2,最后一个数是n2,第n行共有(2n-1)个数;
(3)第n行各数之和为:
×(2n-1)=(n2-n+1)(2n-1).
类型二 图形规律
针对演练
1、图形累加规律探索
1.(2016荆州)如图,用黑白两种颜色的菱形纸片,按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案.若第n个图案中有2017个白色纸片,则n的值为( )
第1题图
A.671B.672C.673D.674
2.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第¢Ù个图形中一共有6个小圆圈,第¢Ú个图形中一共有9个小圆圈,第¢Û个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第¢ß个图形中小圆圈的个数为( )
第2题图
A.21B.24C.27D.30
3.(2016重庆B卷)观察下列一组图形,其中图形①中共有2颗星,图形¢Ú中共有6颗星,图形¢Û中共有11颗星,图形¢Ü中共有17颗星,…,按此规律,图形¢à中星星的颗数是( )
第3题图
A.43B.45C.51D.53
4.(2015曲靖)用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”,依此规律,摆出第9个“H”需用火柴棒________根.
第4题图
5.(2015深圳)观察下列图形,它们是按照一定规律排列的,依照此规律,第五个图有________个太阳.
第5题图
6.(2016安顺)观察下列砌钢管的横截面图:
第6题图
则第n个图的钢管数是__________(用含n的式子表示).
【答案】
1.B 【解析】对于每个图中的白色纸片的个数,依次是4,7=4+3,10=4+3¡Á2,…,那么,第n个图中的白色纸片的个数为4+3¡Á(n-1)=3n+1,令3n+1=2017,解得n=672.
2.B 【解析】第¢Ù个图形有6个小圆圈,第¢Ú个图形有6+3=9个小圆圈,第¢Û个图形有6+3¡Á2=12个小圆圈,…,按照这个规律,第个图形有6+3(n-1)=3n+3个小圆圈,故第¢ß个图形一共有3¡Á7+3=24个小圆圈.
3.C 【解析】图形¢Ù中星星的颗数为:
2=1+(2¡Á1-1),图形¢Ú中星星的颗数为:
6=(1+2)+(2¡Á2-1),图形¢Û中星星的颗数为:
11=(1+2+3)+(2¡Á3-1),图形¢Ü中星星的颗数为:
17=(1+2+3+4)+(2¡Á4-1),…,图形中星星的颗数为:
(1+2+¡+n)+(2n-1)=+2n-1,所以图形¢à中星星的颗数为:
+2¡Á8-1=51.
4.29 【解析】
图形序号
火柴棒数量
图形序号与火柴棒数量的关系
1
5根
3¡Á1+2=5
2
8根
3¡Á2+2=8
3
11根
3¡Á3+2=11
…
…
…
n
(3n+2)根
3¡Án+2=3n+2
¡à第9个“H”所需的火柴棒的数量为3¡Á9+2=29根.
5.21 【解析】¡ß所有图形中,第一行太阳的个数分别为1,2,3,4,…,n,∴第五个图形第一行太阳的个数为5,∵所有图形中,第二行太阳的个数分别为1,2,4,8,…,2n-1,∴第五个图形第二行太阳的个数为24=16个太阳,∴第五个图形共有5+16=21个太阳.
6.n2+n 【解析】
n
1
2
3
4
…
n
钢管数
3
9
18
30
¡
¡
规律
…
由表可知,第n个图的钢管数是=n2+n.
2、图形成倍递变规律探索
1.(2016六盘水)如图,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4…,若¡ÏA=70°,则¡ÏAn的度数为( )
A.B.C.D.
第1题图
第2题图
2.(2016内江)一组正方形按如图所示的方式放置,其中顶点B1在y轴上,顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是( )
A.()2015B.()2016C.()2016D.()2015
3.(2016南平)如图,已知直线l:
y=2x,分别过x轴上的点A1(1,0)、A2(2,0)、¡、An(n,0),作垂直于x轴的直线交l于点B1、B2、¡、Bn,将¡÷OA1B1、四边形A1A2B2B1、¡、四边形An-1AnBnBn-1的面积依次记为S1、S2、¡、Sn,则Sn=( )
A.n2B.2n+1C.2nD.2n-1
第3题图
第4题图
4.(2016威海)如图,点A1的坐标为(1,0),A2在y轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°,过点A2作A2A3⊥A1A2,垂足为A2,交x轴于点A3;过点A3作A3A4⊥A2A3,垂足为A3,交y轴于点A4;过点A4作A4A5⊥A3A4,垂足为A4,交x轴于点A5;过点A5作A5A6⊥A4A5,垂足为A5,交y轴于点A6;¡按此规律进行下去,则点A2016的纵坐标为________.
5.(2016钦州)如图,∠MON=60°,作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1,边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上,边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2,以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2,边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3,F3,再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3,…,依此规律,经第n次作图后,点Bn到ON的距离是________.
第5题图
【答案】
1.C 【解析】在¡ß¡÷ABA1中,AB=A1B,∴∠A=¡ÏBA1A,∵A1A2=A1B1,∴∠B1A2A1=∠BA1A,同理,∠B2A3A2=∠B1A2A1=∠BA1A,∴∠An=∠BA1A=.
2.D 【解析】易得¡÷B2C2E2∽△C1D1E1,∴====tan30°,∴B2C2=C1D1·tan30°=,∴C2D2=,同理,B3C3=C2D2·tan30°=()2,由此猜想BnCn=()n-1,∴当n=2016时,B2016C2016=()2015,故选D.
3.D 【解析】由题意可知,△OA1B1∽△OA2B2∽△OA3B3∽…∽△OA
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