高考数学各地试题知识点分类汇编15doc.docx
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高考数学各地试题知识点分类汇编15doc
2016年高考数学理试题分类汇编
圆锥曲线
一、选择题
1、(2016年四川高考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线上任意一点,M是线段PF上的点,且=2,则直线OM的斜率的最大值为
(A)(B)(C)(D)1
【答案】C
2、(2016年天津高考)已知双曲线(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点,四边形的ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
3、(2016年全国I高考)已知方程–=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是
(A)(–1,3)(B)(–1,)(C)(0,3)(D)(0,)
【答案】A
4、(2016年全国I高考)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为
(A)2(B)4(C)6(D)8
【答案】B
5、(2016年全国II高考)圆的圆心到直线的距离为1,则a=()
(A)(B)(C)(D)2
【答案】A
6、(2016年全国II高考)圆已知是双曲线的左,右焦点,点在上,与轴垂直,,则E的离心率为()
(A)(B)(C)(D)2
【答案】A
7、(2016年全国III高考)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P
为C上一点,且轴.过点A的直线l与线段交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中
点,则C的离心率为
(A)(B)(C)(D)
【答案】A
8、(2016年浙江高考)已知椭圆C1:
+y2=1(m>1)与双曲线C2:
–y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则
A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m 【答案】A 二、填空题 1、(2016年北京高考)双曲线(,)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则_______________. 【答案】2 2、(2016年山东高考)已知双曲线E: (a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是_______. 【答案】2 【解析】由题意,所以, 于是点在双曲线上,代入方程,得, 在由得的离心率为,应填2. 3、(2016年上海高考)已知平行直线,则的距离_______________ 【答案】 4、(2016年浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是_______. 【答案】 三、解答题 1、(2016年北京高考)已知椭圆C: ()的离心率为,,,,的面积为1. (1)求椭圆C的方程; (2)设的椭圆上一点,直线与轴交于点M,直线PB与轴交于点N. 求证: 为定值. 【解析】⑴由已知,,又, 解得 ∴椭圆的方程为. ⑵方法一: 设椭圆上一点,则. 直线: 令,得. ∴ 直线: 令,得. ∴ 将代入上式得 故为定值. 方法二: 设椭圆上一点, 直线PA: 令,得. ∴ 直线: 令,得. ∴ 故为定值. 2、(2016年山东高考)平面直角坐标系中,椭圆C: 的离心率是,抛物线E: 的焦点F是C的一个顶点. (I)求椭圆C的方程; (II)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. (i)求证: 点M在定直线上; (ii)直线与y轴交于点G,记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点P的坐标. 【解析】(Ⅰ)由离心率是,有, 又抛物线的焦点坐标为,所以,于是, 所以椭圆的方程为. (Ⅱ)(i)设点坐标为, 由得,所以在点处的切线的斜率为, 因此切线的方程为, 设,, 将代入,得 . 于是,, 又, 于是 直线的方程为. 联立方程与,得的坐标为. 所以点在定直线上. (ii)在切线的方程为中,令,得, 即点的坐标为,又,, 所以; 再由,得 于是有. 令,得 当时,即时,取得最大值. 此时,,所以点的坐标为. 所以的最大值为,取得最大值时点的坐标为. 3、(2016年上海高考)有一块正方形菜地,所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到点或河边运走。 于是,菜地分为两个区域和,其中中的蔬菜运到河边较近,中的蔬菜运到点较近,而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点为的中点,点的坐标为(1,0),如图 (1)求菜地内的分界线的方程 (2)菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍,由此得到面积的“经验值”为。 设是上纵坐标为1的点,请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积,及五边形的面积,并判断哪一个更接近于面积的经验值 【解析】 (1)因为上的点到直线与到点的距离相等,所以是以为焦点、以 为准线的抛物线在正方形内的部分,其方程为(). (2)依题意,点的坐标为. 所求的矩形面积为,而所求的五边形面积为. 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为,而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为,所以五边形面积更接近于面积的“经验值”. 4、(2016年上海高考)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 双曲线的左、右焦点分别为,直线过且与双曲线交于两点。 (1)若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; (2)设,若的斜率存在,且,求的斜率. 【答案】 (1). (2). 【解析】 (1)设. 由题意,,,, 因为是等边三角形,所以, 即,解得. 故双曲线的渐近线方程为. (2)由已知,,. 设,,直线.显然. 由,得. 因为与双曲线交于两点,所以,且. 设的中点为. 由即,知,故. 而,,, 所以,得,故的斜率为. 5、(2016年四川高考)已知椭圆E: 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l: y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T. (I)求椭圆E的方程及点T的坐标; (II)设O是坐标原点,直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明: 存在常数λ,使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣,并求λ的值. 有方程组得. 方程的判别式为,由,得, 此方程的解为, 所以椭圆E的方程为. 点T坐标为(2,1). 由得. 所以, 同理, 所以 . 故存在常数,使得. 6、(2016年天津高考)设椭圆()的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线的斜率的取值范围. 【解析】 (2)(Ⅱ)解: 设直线的斜率为(),则直线的方程为.设,由方程组,消去,整理得. 解得,或,由题意得,从而. 由(Ⅰ)知,,设,有,.由,得,所以,解得.因此直线的方程为. 设,由方程组消去,解得.在中,,即,化简得,即,解得或. 所以,直线的斜率的取值范围为. 7、(2016年全国I高考)设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程; ()设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围. 【解析】(Ⅰ)因为,,故, 所以,故. 又圆的标准方程为,从而,所以. 由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为: (). 8、(2016年全国II高考)已知椭圆的焦点在轴上,是的左顶点,斜率为的直线交于两点,点在上,. (Ⅰ)当时,求的面积; (Ⅱ)当时,求的取值范围. 【解析】⑴当时,椭圆E的方程为,A点坐标为, 则直线AM的方程为. 联立并整理得, 解得或,则 因为,所以 因为,, 所以,整理得, 无实根,所以. 所以的面积为. ⑵直线AM的方程为, 联立并整理得, 解得或, 所以 所以 因为 所以,整理得,. 因为椭圆E的焦点在x轴,所以,即,整理得 解得. 答: 最有效的方法就是集焚烧、堆肥、热解、制砖、发电等一体的统合系统,但是焚烧垃圾对空气有污染。 9、(2016年全国III高考)已知抛物线: 的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于两点,交的准线于两点. 14、大我数地区的自来水水源取自水库、湖泊或河流。 自来水是主要的饮用水,饮用水源受到污染,会直接影响我们的身体健康。 (I)若在线段上,是的中点,证明; 13、清洁的自来水被用来洗脸、刷牙、洗衣、拖地后就成了污水。 (II)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程. 18、北斗七星构成勺形,属于大熊座,北极星属于小熊座。 8、晶体的形状多种多样,但都很有规则。 有的是立方体,有的像金字塔,有的像一簇簇的针……有的晶体较大,肉眼可见,有的较小,要在放大镜或显微镜下才能看见。 10、(2016年浙江高考)如图,设椭圆(a>1). 8、地球自转一周的时间是一天;地球公转一周的时间是一年;月球公转一周的时间是农历一个月。 (I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示); 19、夏季是观察星座的好季节,天空中有许多亮星,其中人们称之为“夏季大三角”的是天津四、织女星和牛郎星。 它们分别属于天鹅座、天琴座、天鹰座。 (II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围. 答: 最有效的方法就是集焚烧、堆肥、热解、制砖、发电等一体的统合系统,但是焚烧垃圾对空气有污染。 【试题解析】(I)设直线被椭圆截得的线段为,由得 ,故,. 因此. 18、大多数生物都是由多细胞组成的,但也有一些生物,它们只有一个细胞,称为单细胞生物。 如草履虫、变形虫、细菌等。 (II)假设圆与椭圆的公共点有个,由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点,,满足 . 记直线,的斜率分别为,,且,,. 1、说说你身边物质变化的例子。
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