充分条件与必要条件件提高学案.docx
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充分条件与必要条件件提高学案
充分条件与必要条件
【学习目标】
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义;
2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件;
3.会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.
4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.
【要点梳理】
要点一、充分条件与必要条件充要条件的概念
符号与的含义
“若,则”为真命题,记作:
;
“若,则”为假命题,记作:
.
充分条件、必要条件与充要条件
①若,称是的充分条件,是的必要条件.
②如果既有,又有,就记作,这时是的充分必要条件,称是的充要条件.
要点诠释:
对的理解:
指当成立时,一定成立,即由通过推理可以得到.
①“若,则”为真命题;
②是的充分条件;
③是的必要条件
以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.
要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若,则”,其条件p与结论q之间的逻辑关系
①若,但,则是的充分不必要条件,是的必要不充分条件;
②若,但,则是的必要不充分条件,是的充分不必要条件;
③若,且,即,则、互为充要条件;
④若,且,则是的既不充分也不必要条件.
从集合与集合间的关系看
若p:
x∈A,q:
x∈B,
①若AB,则是的充分条件,是的必要条件;
②若A是B的真子集,则是的充分不必要条件;
③若A=B,则、互为充要条件;
④若A不是B的子集且B不是A的子集,则是的既不充分也不必要条件.
要点诠释:
充要条件的判断通常有四种结论:
充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行:
①确定哪是条件,哪是结论;
②尝试用条件推结论,
③再尝试用结论推条件,
④最后判断条件是结论的什么条件.
要点三、充要条件的证明
要证明命题的条件是结论的充要条件,既要证明条件的充分性(即证原命题成立),又要证明条件的必要性(即证原命题的逆命题成立)
要点诠释:
对于命题“若,则”
①如果是的充分条件,则原命题“若,则”与其逆否命题“若,则”为真命题;
②如果是的必要条件,则其逆命题“若,则”与其否命题“若,则”为真命题;
③如果是的充要条件,则四种命题均为真命题.
【典型例题】
类型一:
充分条件、必要条件、充要条件的判定
例1.“x<-1”是“x2-1>0”的________条件.
【解析】,故,但,
∴“x<-1”是“x2-1>0”的充分而不必要条件.
【点评】判定充要条件的基本方法是定义法,即“定条件——找推式——下结论”;有时需要将条件等价转化后再判定.
举一反三:
【变式1】指出下列各题中,是的什么条件?
(1):
,:
;
(2):
,:
抛物线过原点
(3):
一个四边形是矩形,:
四边形的邻边相等
【答案】
(1)∵:
或,:
∴且,∴是的必要不充分条件;
(2)∵且,∴是的充要条件;
(3)∵且,∴是的既不充分条件也不必要条件.
【变式2】判断下列各题中是的什么条件.
(1):
且,:
(2):
:
.
【答案】
(1)是的充分不必要条件.
∵且时,成立;
反之,当时,只要求、同号即可.
∴必要性不成立.
(2)是的既不充分也不必要条件
∵在的条件下才有成立.
∴充分性不成立,同理必要性也不成立.
【变式3】设甲,乙,丙是三个命题,如果甲是乙的充要条件,丙是乙的充分非必要条件,那么丙是甲的().
A、充分非必要条件B、必要非充分条件
C、充要条件D、既不充分也不必要条件
【答案】A;
【解析】由已知有甲乙,丙乙且乙丙.
于是有丙乙甲,且甲丙(否则若甲丙,而乙甲丙,与乙丙矛盾)
故丙甲且甲丙,所以丙是甲的充分非必要条件.
例2.(2015天津)设,则“”是“”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】的解集为(1,3),的解集为,故是的充分不必要条件。
故选:
A。
【总结升华】
①先对已知条件进行等价转化化简,然后由定义判断;
②不等式(解集)表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.
举一反三:
【变式1】已知p:
0 |x-1|<2,则p是q的() (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 【答案】q: |x-1|<2,解得-1 -1 如图,在数轴上画出集合P=(0,3),Q=(-1,3), 从图中看PQ,pq,但qp,所以选择(A). 【变式2】(2014江西)下列叙述中正确的是( ) A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0” B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c” C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0” D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β 【答案】 (1)对于选项A 若a,b,c∈R,当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成立时,则有: ①当a=0时,b=0,c≥0,此时b2-4ac=0,b2-4ac≤0成立; ②当a>0时,b2-4ac≤0. ∴“ax2+bx+c≥0”是“b2-4ac≤0”充分不必要条件,“b2-4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”必要不充分条件. 故选项A不正确. (2)对于选项B 当ab2>cb2时,b2≠0,且a>c, ∴“ab2>cb2”是“a>c”的充分条件. 反之,当a>c时,若b=0,则ab2=cb2,不等式ab2>cb2不成立. ∴“a>c”是“ab2>cb2”的必要不充分条件. 故选项B不正确. (3)对于选项C 结论要否定,注意考虑到全称量词“任意”, 命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R,有x2<0”. 故选项C不正确. (4)对于选项D 命题“l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β.”是两个平面平行的一个判定定理. 故答案为: D 【高清课堂: 充分条件与必要条件394804例3】 【变式3】设,则条件“”的一个必要不充分条件为() A.B.C.D. 【答案】A 类型二: 充要条件的探求与证明 例3.设x、y∈R,求证: |x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 【解析】 (1)充分性: 若xy=0,那么①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0, 于是|x+y|=|x|+|y| 如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0, 当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|. 当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|. 总之,当xy≥0时,有|x+y|=|x|+|y|. (2)必要性: 由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2, 即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy, ∴xy≥0. 综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 【点评】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论,然后搞清楚充分性是证明哪一个命题,必要性是证明哪一个命题. 判断命题的充要关系有三种方法: (1)定义法; (2)等价法,即利用与;与;与的等价关系,对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断,若,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. 举一反三: 【变式1】已知a,b,c都是实数,证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【答案】 (1)充分性: 若ac<0,则Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,设为x1,x2, ∵ac<0,∴x1·x2=<0,即x1,x2的符号相反,即方程有一个正根和一个负根. (2)必要性: 若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,设为x1,x2,且x1>0,x2<0, 则x1·x2=<0,∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件. 【答案】 (1)a=0时适合. (2)当a≠0时,显然方程没有零根, 若方程有两异号的实根,则必须满足; 若方程有两个负的实根,则必须满足 综上知,若方程至少有一个负的实根,则a≤1; 反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根, 因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1 类型三: 充要条件的应用 例4.已知若p是q的充分不必要条件,求m的取值范围. 【答案】 【解析】由解得 又由解得 p是q的充分不必要条件,所以 或 解得 【点评】 解决这类参数的取值范围问题,应尽量运用集合法求解,即先化简集合A、B,再由它们的因果关系,得到A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,解之即可. 举一反三: 【变式1】已知命题p: 1-c x>7或x<-1,并且p是q的既不充分又不必要条件,则c的取值范围是________. 【答案】0 【解析】命题p对应的集合A={x|1-c 【变式2】已知p: A={x∈R|x2+ax+1≤0},q: B={x∈R|x2-3x+2≤0},若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 【答案】-2≤a≤2 【解析】B={x∈R|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}, ∵p是q的充分不必要条件, ∴,即AB, 可知或方程x2+ax+1=0的两根要在区间[1,2]内 ∴Δ=a2-4<0或,得-2≤a≤2.
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- 关 键 词:
- 充分 条件 必要条件 提高