学年度北师大版数学选修22教学案第一章章末小结知识整合与阶段检测Word文件下载.docx
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三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为归纳奠基,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;
它的第二步称为归纳递推,是命题具有后继传递性的保证,两步合在一起为完全归纳步骤.这两步缺一不可.第二步中证明“当n=k+1时结论正确”的过程中,必须用“归纳假设”,否则就是错误的.
(时间90分钟,满分120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.数列3,5,9,17,33,…的通项an=( )
A.2n B.2n+1
C.2n-1D.2n+1
答案:
B
2.用反证法证明命题“若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈Z)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是奇数”时,下列假设正确的是( )
A.假设a,b,c都是奇数
B.假设a,b,c都不是奇数
C.假设a,b,c至多有一个奇数
D.假设a,b,c至多有两个奇数
解析:
命题“a,b,c中至少有一个是奇数”的否定是“a,b,c都不是奇数”,故选B.
3.因为奇函数的图像关于原点对称(大前提),而函数f(x)=是奇函数(小前提),所以f(x)的图像关于原点对称(结论).上面的推理有错误,其错误的原因是
( )
A.大前提错导致结论错
B.小前提错导致结论错
C.推理形式错导致结论错
D.大前提和小前提都错导致结论错
因为f
(1)=f(-1)=2,所以f(-1)≠-f
(1),所以f(x)不是奇函数,故推理错误的原因是小前提错导致结论错.
4.某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“”:
★★★★★★……依此规律继续打下去,那么在前2014个图形中的“★”的个数是( )
A.60B.61
C.62D.63
第一次出现“★”在第一个位置,第二次出现“★”在第(1+2)个位置,第三次出现“★”在第(1+2+3)个位置,…,第n次出现“★”在第(1+2+3+…+n)个位置.
∵1+2+3+…+n=,当n=62时,==1953,2014-1953=61<
63,∴在前2014个图形中的“★”的个数是62.
C
5.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:
正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )
A.各正三角形内的任一点
B.各正三角形的中心
C.各正三角形边上的任一点
D.各正三角形的某中线的中点
正三角形类比正四面体,正三角形的三边类比正四面体的四个面,三边的中点类比正三角形的中心.
6.已知函数f(x)=5x,则f(2014)的末四位数字为( )
A.3125B.5625
C.0625D.8125
因为f(5)=55=3125的末四位数字为3125,f(6)=56=15625的末四位数字为5625,f(7)=57=78125的末四位数字为8125,f(8)=58=390625的末四位数字为0625,f(9)=59=1953125的末四位数字为3125,故周期T=4.又由于2014=503×
4+2,因此f(2014)的末四位数字与f(6)的末四位数字相同,即f(2014)的末四位数字是5625.
7.用数学归纳法证明不等式“1+++…+≤+n(n∈N+)”时,第一步应验证
A.1+≤+1B.1≤+1
C.1+++≤+2D.1<+1
当n=1时不等式左边为1+,右边为+1,即需要验证:
1+≤+1.
A
8.用数学归纳法证明等式:
(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·
1·
3·
…·
(2n-1),从k到k+1,左边需要增乘的代数式为( )
A.2k+1B.2(2k+1)
C.D.
当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2),
所以,增乘的式子为
=2(2k+1).
9.对于函数f(x),g(x)和区间D,如果存在x0∈D,使|f(x0)-g(x0)|≤1,则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”.现给出下列四对函数:
①f(x)=x2,g(x)=2x-3;
②f(x)=,g(x)=x+2;
③f(x)=e-x,g(x)=-;
④f(x)=lnx,g(x)=x-.
其中在区间(0,+∞)上存在“友好点”的是( )
A.①②B.②③
C.③④D.①④
对于①,|f(x)-g(x)|=|x2-(2x-3)|=|(x-1)2+2|≥2,所以函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)上不存在“友好点”,故①错,应排除A,D;
对于②,|f(x)-g(x)|=|-(x+2)|=≥,所以函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)上也不存在“友好点”,故②错,排除B;
同理,可知③④均正确.
10.已知f(x)=x3+x,a,b∈R,且a+b>
0,则f(a)+f(b)的值一定( )
A.大于零B.等于零
C.小于零D.正负都有可能
∵f(x)=x3+x,∴f(x)是增函数且是奇函数.
∵a+b>
0,∴a>
-b,
∴f(a)>
f(-b),∴f(a)+f(b)>
0.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确的答案填在题中的横线上)
11.设f(n)=1+++…+(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)=________.
∵f(n+1)=1+++…+++,∴f(n+1)-f(n)=+.
+
12.已知点A(x1,3x1),B(x2,3x2)是函数y=3x的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图像的上方,因此有结论>
3成立.运用类比思想方法可知,若点A(x1,tanx1),B(x2,tanx2)是函数y=tanx的图像上任意不同两点,则类似地有____________________成立.
因为y=tanx图像是上凸的,因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y=tanx图像上的点的纵坐标,即有<
tan成立.
<
tan
13.观察下列等式:
13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,….根据上述规律,第五个等式为________________________.
由所给等式可得:
等式两边的幂式指数规律明显,底数关系如下:
1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,
即左边底数的和等于右边的底数.故第五个等式为:
13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212.
13+23+33+43+53+63=212
14.(福建高考)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:
①a≠2;
②b=2;
③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于________.
可分下列三种情形:
(1)若只有①正确,则a≠2,b≠2,c=0,所以a=b=1与集合元素的互异性相矛盾,所以只有①正确是不可能的;
(2)若只有②正确,则b=2,a=2,c=0,这与集合元素的互异性相矛盾,所以只有②正确是不可能的;
(3)若只有③正确,则c≠0,a=2,b≠2,所以b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×
2+10×
0+1=201.
201
三、解答题(本大题共4小题,共50分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分12分)若a1>
0,a1≠1,an+1=(n=1,2,…).
(1)求证:
an+1≠an;
(2)令a1=,写出a2,a3,a4,a5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式an.
解:
(1)证明:
采用反证法.假设an+1=an,
即=an,解得an=0或an=1,
从而a1=0或a1=1,与题设a1>
0,a1≠1相矛盾,
故an+1≠an成立.
(2)a1=,a2=,a3=,a4=,a5=,
猜想:
an=.
16.(本小题满分12分)已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试分别用综合法和分析法证明B为锐角.
证明:
法一(分析法):
要证明B为锐角,因为B为三角形的内角,则只需证cosB>
又∵cosB=,
∴只需证明a2+c2-b2>
∴即证a2+c2>
b2.
∵a2+c2≥2ac,∴只需证明2ac>
由已知=+,即2ac=b(a+c),
∴只需证明b(a+c)>
b2,即证a+c>
b成立,在△ABC中,最后一个不等式显然成立.
∴B为锐角.
法二(综合法):
由题意得:
=+=,
则b=,b(a+c)=2ac>
b2(∵a+c>
b).
∵cosB=≥>
0,
又y=cosx在(0,π)上单调递减,
∴0<
B<
,即B为锐角.
17.(本小题满分12分)已知a,b,c∈(0,1).
求证:
(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于.
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于.
因为0<
a<
1,0<
b<
c<
1,
所以1-a>
0.由基本不等式,得
≥>
=.
同理,>
,
>
.
将这三个不等式两边分别相加,得
++>
++,
即>
,这是不成立的,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于.
18.(本小题满分14分)是否存在二次函数f(x),使得对于任意n∈N+,都有=f(n)成立,若存在,求出f(x);
若不存在,说明理由.
假设存在二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),使得对于∀n∈N+,都有=f(n)成立.
当n=1时,a+b+c=1, ①
当n=2时,4a+2b+c=, ②
当n=3时,9a+3b+c=, ③
联立①②③式得a=,b=,c=,
则由以上可假设存在二次函数f(x)=x2+x+,使得对于∀n∈N+,都有=f(n)成立.
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,=1,f
(1)=++=1,
所以=f
(1)成立;
(2)假设当n=k时,=f(k)成立,
那么,当n=k+1时,
=·
+(k+1)
=f(k)·
=+(k+1)
=+k+1
=(k+1)2+(k+1)+
=f(k+1),
故当n=k+1时,=f(k+1)也成立.
由
(1)
(2)知,对于∀n∈N+,=f(n)都成立.
即存在二次函数f(x)=x2+x+,使得对于∀n∈N+,都有=f(n)成立.
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