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菲涅耳圆孔衍射docx
2.菲涅耳衍射
1、波长为556nm的单色平面波经过半径分別为px=2.5mm,p2=5nm的小
孔.极点到观察点的距离为60cm.试分别汁算波面包含的菲涅耳半波带数.
解:
根据菲涅耳圆孔衍射,合振幅的大小取决丁波面上露出带的数目k,其数值由下式确定,即:
由丁•入射的是平面波,故R=00,将°=2.5mm,p2=5nm,
入=5.56xl(T'em,r0=60cm代入上式,得:
2、波长X=563.3nm的平行光投射在直径d=2.6mm的圆孔。
与圆孔相距%=lm处放一屏幕.试问:
(1)屏幕上正对圆孔中心的P点是亮还是暗点7
(2)使P点变成与⑴相反的情况,至少应把屏幕向前(或向后)移动多少距离?
解:
(1)P点的亮賠取决丁•圆孔中包含的波带数是奇数还是偶数.当平行光入射时,波带数为:
」(1》—3
A/q必(563.3x10_6)(103)
故P点为亮点.
(2)当P点向前移向圆孔时,相应的波带数增加,波带数增大到4时,P点变成暗点.此时,P点至圆孔的距离为:
'P~(1.3)2
仇4x563.3x10—6
则P点移动的距离为
Ar=/q-r=100-75=25勿
当P点向后移离圆孔时,波带数减少,减少为2时,P点也变成暗点,与此对应的P到圆孔的距离为:
”丄—=1500mm
kX2x563.3x10y
则P点移动的距离为:
△t=/"一%=150-100=
3、试证明:
若厂是波带片的焦距、相应决定一个主焦点F',则在//3、//5,//7…处尚有一系列次焦点.
题3图
解:
菲涅耳波带片有许多焦点,由丁•波带片是相对于某一点F'划分的,换言之.对F,而言相邻波带的程差为入/2・但是对F,点的一个半波带对较近点将变为儿个,波带片一个环带内所包含的半波带数也相应变多.如果对某一考察点,波带片一个环带内含有2j+l个,即奇数个半波带,其中的2j个因双双位相相反而抵消,但是仍有一个较小的半波带对考察点的振幅有贡献.而相邻两环带的有效小波带的光程差为:
2
(4A2)-=(2/+l)A
为波长的整数倍,故考察点为一较弱的亮点,这就是波带片的次焦点。
如图所示,设对某点刁,波带片一个环带内含有2j+l个半波带,由儿何
关系得:
即:
由丁•:
r》X,略去上式中的汩项,则:
(3)
式中j为整数,显然,j=0对应主焦距,当j=l、2、3…时,可得对应的
次焦距为:
刀=/'/3、/'/5、f门…
或者把式
(2)代入式(3)得:
/二丄広
72/+1仇
波带片的聚光特性与透镜十分相似,因此将把波带片称为菲涅耳透镜,它可用全息方法制取・现广泛用丁•微波、宇航技术中。
4、单色平面光波投射到一圆孔上,位丁•孔的对称轴线上的P。
点进行观察,
圆孔恰好露出半个半波带.试问P。
点的光强为H由传播时的光强的多少借?
解:
在H由传播中,波带将全部裸露,即:
111斤ts,a才一>0,则:
a.Ag=仏=[二
4
示,由图中儿何关系可知:
厶/2=盂2=(y)2+(y)
故:
5、1)已知波带片到光源的距离为a,到观察点的距离为b,波长为入,求o
第m级菲涅耳带的半径。
2)若a=b=10米,几=4500&,求第一带的半径。
解:
1)rm«Jab〃伉/($+Z>)
2)7j=0.15®米
6、1)当平面波入射到波带片时,求第m级菲涅耳带的半径。
2)如上题所设b=10米,几=4500;,求此时第一带的半径小
解:
1)rm«Jabmh
2)7i=0.212厘米
7、对一半径为a的会聚球面波从凹面作菲涅耳带。
波而到观察点的距离为b.
求第m级菲涅耳带半径q的表达式。
解:
rm«彳
8、光源距波带片3米远,波带片在距其2米处给出光源的象。
若将光源移向无穷远时,象在何处?
解:
在距离为1.2米处。
9、若波带片第五环的半径为1.5毫米,求波长为500nm时波带片的焦距,求波带片第一环的半径%。
若波带片与屏之间充满折射率为n(n>l)的介质,问将发生什么现象?
解:
f=90厘米,7{=0.672毫米,象,即波带片轴上的极大值离开带片。
10、若除第一带外将波带片全遮住,求波带片焦点处的光强I,已知无波带片时光强为loo
解:
Z=4Z0
11、若除第一带的上半部外将波带片全遮住,求波带片焦点处的光强I。
己知无波带片时光强为I。
。
解:
八厶
12、若圆屏完全遮住第一带,求圆屏衍射图象中心处的光强I。
己知无屏时光强为loo
解:
八厶
13、在照相底片与强光源之间放一不透明的光滑球后,可对光源照相。
解释这一现象。
球的H径D=40毫米,球到光源的距离a=12米,到象的距离b=18米,光源的尺寸y=7毫米,求象的尺寸y'。
若球表面布满许多杂乱的刻痕,其深度h约为0.1毫米,象会损环吗?
可否用圆盘代替球?
解:
y'=by/a=10.5毫米,坡耳用题中所给的参量设计了实验,为使实验成功,须使刻痕不平的深度h满足力<色出=180几~0.1毫米的条件。
当
Db
y<竺匡"米时,可用圆盘代替球。
安格列尔曾设计了相应的实验。
D、a+b
14、折射率为n(对被长入)的玻璃圆盘遮住对观察点P而言的一个半菲涅耳带。
问圆盘厚度为多少时,P点的照度最强?
解:
其中m=0,1,2,……
2(//-1)
15、将半圆盘形的不透明遮光板放在点光源S和观察点A之间,使0点与S和A点在一条宜线1(图32)。
遮光板包含不太多的奇数个菲涅耳半波带,问A点的照度为多少?
解:
若E、,E“血是依次由各菲涅耳整波带在A点所产生的场,则待求的
A点的场E是一级数:
E=—(-^1+耳++Cv-i)+~^En4-(Qv+i+E舟i+)
其中N为偶数,当N不大时,则头一括号部分近似为零,而后一括号部分近似为£Z:
¥+1,因此:
A点的照度为极小值。
16、点光源S和观察点A之间放——圆盘,其中心与S和A点在一条直线上(图52),圆盘一半是透明的,另一半不透明。
圆盘包含头三个菲涅耳带。
圆盘透明部分的厚度为,其中n是该部分的折射率,N是整数。
试问;
2//-1
当N为奇数及偶数时,A点的照度将是多少?
解:
在A点处,N是偶数时,照度值为最小(E=0),N为奇数时为最大,近似于一个中央空带。
17、远离电滋波点源S放一无限大的理想反射平面屏AB(图33)。
若从屏上切去以由S到屏面的垂足为圆心的圆盘CD,并将此圆盘朝光源的方向移动1/12个波长,试用矢量图解法求得在点S处反射波的强度如何变化?
若将CD朝相反方向移动同样距离,结果乂怎样变化?
圆盘的而积为第一个菲涅耳带面积的三分之
ra33
解:
以矢量龙(图106)表示所有菲涅耳波带产生的振动。
以矢量N表示第一带的三分之一产生的振动。
矢量走是孔CD(图33)外围屏上反射波产生的振动。
若忽略每转一周螺旋半径的减少,这三个矢量构成等边三角形。
当圆盘向波源移动了X/12时,被圆盘反射的反射波的周相增加了2・2兀/12=兀/3,而其振动用与走相等而方向相反的矢景來表示,全部反射波在点S处的强度变为零。
当圆盘CD沿反方向移动时,振动N的位相减少了兀/3,并且矢量R转到臣的位置。
由矢量臣和花的迭加,可求得合振动。
用这种方法求出:
点S
处的振幅增大到Q倍,而强度增大到三倍。
图106
18、在上题的装置中,今圆盘而积是中心菲涅耳带而积的一半。
为使反射波在S点的强度仍然不变,将圆盘朝离开源的方向所应移动的最小距离是多少?
解:
力=3/8几
19、若圆孔(例如虹膜光阑)半径由一个带的半径增加到两个带的半径,则P点(P为光阑所成光源的象)的照度儿乎降为零。
这一事实如何与通过光阑的光通量增大为原值的两倍相符合?
解:
能量重新分布,并且在象平面上某些点的光通量密度增加,而另一些点的光通量密度减少,通过象平面的整个光通量增加一倍。
20、单色点光源与圆形光阑的距离为a,而屏在光阑的另一侧相距为b。
若由光源向光阑平面作垂线通过光阑中心,问光阑半径工具有哪些值时,在屏上所观察到的衍射环中心将是暗的?
半径具有哪些值时,中心是亮的?
1/a+\!
b
心是売的O
21、单色平行光束入射到具有虹膜光阑的长焦距的会聚透镜上、距透镜为a处置一屏用以观察衍射环。
若透镜焦距为f,问光阑半径r为多大时,环的中心是暗的?
r乂为多大时,中心是亮的?
解:
r=I//Mo若m是偶数时,环中心是暗的,若m是奇数时,环中卅1//—1®
心是亮的。
22、为得到光源与屏相距很远时衍射图象的照片,B.K.阿尔卡捷夫采用模拟的方法,用缩小的相似模型代替位丁•光路上的实际障碍物。
需要获得虫径。
=50厘米圆盘衍射图象的照片,点光源位丁•圆盘轴线上距其A=25千米处,屏远离圆盘B=50千米(屏面垂苴丁•圆盘的轴线)。
为此目的用缩小到冇•径d=l厘米的模型代替圆盘。
需要得到相似而乂缩小n=50倍的衍射图象,问光源与模型的距离a及模型和屏的距离b应为多少?
(W:
a=A!
if=10〃/;b=B!
tf=20///
23、图34画出一种观察干涉条纹的装置简图。
透镜被切成相等的陶半厶和厶,彼此沿着光轴移开一个相当大的距离。
光源S置于光铀上。
通过半透镜厶的光束与通过半透镜厶的光束相交于GT段,在此段上两束光发生干涉。
若在那里放置屏或(最好)用显微镜进行观察,就会看到干涉环。
问这些环的中心是亮的还是暗的?
S34
解:
环中心是暗的。
24、不透明的屏上有一圆孔,单色平行光束垂宜射到屏上,若孔含有一个菲涅耳带,孑L后轴上某点的光强为I。
。
若孔的半径减小到原值的a=l/3,用矢量图解法求同一点的光强。
解:
若r是孔的半径,则由孔边缘和中心所发出光线之间的光程差为z*2/2Z,其中L是孔中心到观察点的距离。
设开始时/=/;,而后厂=只1-“)・式中勺是菲涅耳中央带的半径。
此时,相应的位相差为兀,且5=兀(1-“)2。
由矢量图(图111)可见:
在所研究的那两种情况下,振幅厶和A的关系为A=^osin(5/2),
而强度的关系为/=/°sin2(5/2)。
当a=l/3时
Z=/Osin2(2^/9)«0.41^
图111
25、为了在凹球面镜上制成反射波带片,可去掉镜上菲涅耳环状波带的反射镀层。
若光源和观察点都在镜轴上而且距镜顶点分別为a、b,同时a 解: 由图112可见: SM-=(^-.r)2+r2wo求出平方根并忽略x的二阶小量,就得至IJz*2,"/2“一工。 同样,4/5。 力+£/2力一工,其次,X=亡12R。 第 m个波带的半径满足条件|(Q/+必门-(血+血)|=刃%。 将相应的量代入,得到: 7//Z a*bR 若考虑到在一般近似下,不在镜而而在由镜面所反射的会聚波表面上划分菲涅耳带,会更简单地求出结果。 根据镜面公式-+^--=0,求出该表面的曲aaR 率半径a'。 到此,只耍在278题的答案中以a'代替a,就可求得乙。 m11? 26、在上题中R=100厘米,a=80厘米,几=5000&,第四菲涅耳带的半径门=0.2厘米,问零级和±1级光源的象/在何处? 解: 从相邻的两个菲涅耳波带反射光线所产生的光程差(SMS')-(SAS')(图 112)对零阶的象等丁•零,
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