九年级数学培优材料文档格式.docx
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据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出;
当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;
公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为_______元(用含x的代数式表示);
(2)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?
(3)当每日租出多少辆时,才能使公司盈利?
(4)当每日租出的车辆不少于15辆时,租出多少辆车时,公司收益最大?
最大收益为多少?
练习2.某电子商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程发现,每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间函数解析式;
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能够获得350万元的利润?
当销售单价为多少元时,厂商每月能够获得最大利润?
最大利润是多少?
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?
Part2面积问题
用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题,尤其是已知周长如何使得面积最大化。
例1、张大爷用32米长的篱笆围成一个矩形菜园,菜园一边靠墙(墙长为15米),平行于墙的一面开一扇宽度为2米的门(如图1)。
门都用其它材料)
(1)设平行于墙的一面长度为y米,垂直于墙的一面长度为x米,试写出y与x的函数关系,并写出自变量x的取值范围
(2)设矩形菜园的面积为S1,则S1的最大值为多少?
(3)张大爷在菜园内开辟出一个小区域存放化肥(如图2),两个区域用篱笆隔开,并有一扇2米的门相连,设此时整个菜园的面积为S2(包括化肥存放处),则S2的最大值为多少?
若整个菜园的面积不小于81m2,结合图象,直接写出x的取值范围。
图2
图1
例2、(课本26面练习6改编)汉口江滩的空中飞起了形态各异的风筝。
风筝受力面积越大,越容易飞得高。
已知材料的总长度为l,请同学们分析下面用相同长度的同种材料制作的三种风筝中,哪一个的面积最大?
图形中的实线为风筝的骨架)
(1)一个四边形风筝(图1),中间两根骨架AC、BD互相垂直;
(2)一个“王字型”风筝,AB=CD=EF,GI垂直AB、CD、EF于G、H、I;
(3)
一个扇形风筝;
练习1、如图,等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙,另三边用长为40米的铁栏杆围成,设该花圃的腰AB的长为x米.
(1)请求出底边BC的长(用含x的代数式表示);
(2)若∠BAD=60°
,该花圃的面积为S米2.
①求S与x之间的函数关系式(要指出自变量x的取值范围),并求当S=
时x的值;
②如果墙长为24米,试问S有最大值还是最小值?
这个值是多少?
练习2、(课本31面练习1改编)如图,正方形ABCD的边长为8,点E在AB上,点F在AD延长线上的一点,BE=DF,四边形AEGF为矩形,矩形AEGF的面积y随BE的长x变化而变化。
(1)直接写出y与x之间的函数关系式____________________
(2)若矩形AEGF的面积y不大于60,求自变量x的取值范围
(3)若矩形AEGF的面积为60时,在EG边取点M,过点M剪下两个正方形,它们的边分别为EM和GM。
若这两个正方形的面积之和为S,试求:
当EM的长为多少时,面积S的值最小?
当EM的长为所少时,面积S最大?
Part3抛物线形·
桥洞问题
用二次函数的知识分析解决有关抛物线形问题。
例1、(教材25页探究3改编)如图所示,一个抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽为4米,以桥拱顶端为原点,以抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系
(1)当水面下降1米时,其水面宽度为多少?
增加了多少米?
(2)当水面距离拱顶不低于1米时,水面宽度为多少?
为了保障桥的安全,水面宽度不少于2米为安全水位,河水上涨的速度为0.1米/小时,几小时候桥会有危险?
(4)一条小船船宽和顶棚宽度均为2米,船底到船顶部的距离为2米,当船的吃水深度(水面到船底的距离)为多少时,船恰好能从拱桥正中间通过?
练习1、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),求抛物线的解析式;
(2)求支柱
的长度;
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?
请说明你的理由.
练习2、如图,河上有一座抛物线桥洞,已知桥下的水面离桥拱顶部3m时,水面宽AB为6m,当水位上升0.5m时:
(1)求水面的宽度CD为多少米?
(2)有一艘游船,它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚,此船正对着桥洞在上述河流中航行.
①若游船宽(指船的最大宽度)为2m,从水面到棚顶的高度为1.8m,问这艘游船能否从桥洞下通过?
②若从水面到棚顶的高度为
m的游船刚好能从桥洞下通过,则这艘游船的最大宽度是多少米?
Part4抛物线形·
运动问题
二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型,许多实际问题,可以通过分析题目中变量之间的关系,建立二次函数模型,从而利用二次函数的图像和性质加以解决
例1如图,排球运动员甲站在点O处发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行路线是抛物线的一部分。
当球运动到最高点D时,其高度为2.6m,离甲站立地点O点的水平距离为6m。
球网BC离O点的水平距离为9m,以O为坐标原点建立如图所示的坐标系,乙站立地点M的坐标为(m,0)
(1)
求抛物线的解析式;
(不写出自变量的取值范围)
(2)求排球落地点N离球网的水平距离
(3)乙原地起跳可接球的最大高度为2.4米,若乙因为接球高度不够而失球,求m的取值范围?
例2、如图,足球场上守门员在O处开一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B出发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面4米高,球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.
(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;
(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?
(取
=7)
(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米?
=5)
练习1、跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为O.9米,身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E。
以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3米,当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶,请你算出小华的身高;
(3)如果身高为1.4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米,绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图像,写出自变量t的取值范围。
练习2、如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m。
(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?
球会不会出界?
请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围。
练习3、某学校初三年级的一场篮球比赛中,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面高
米,与篮圈中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球运行轨迹为抛物线,篮圈距地面3米.
⑴建立如图2的平面直角坐标系,问此球能否准确投中?
⑵此时,若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截,已知乙的最大摸高为3.1米,那么他能否获得成功?
(3)若该队员身高1.7米,球出手时距头顶0.3米,那么他需要跳起多高才能投中?
(结果保留一位有效数字)
Part5分段函数问题
例1、某商品现在售价为每件60元,每星期可卖300件,已知商品的进价为每件40元。
(1)市场调查反映:
如果调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;
每降价1元,每星期要多卖出20件;
如何定价才能使利润最大?
(2)市场调查反映:
如果调整价格,当售价在60元到70元之间,每涨价1元,每星期要少卖出10件;
当售价在70元以上,每涨价1元,每星期要少卖出16件,如何定价才能使得利润最大?
(售价为整数)
练习1.(2012湖北黄冈12分)某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2400
元,销售单价定为3000元.在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品,
公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;
若一次购买该种
产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价
均不低于2600元.
(1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600元?
(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)该公司的销售人员发现:
当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多,公司所获的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?
(其它销售条件不变)
重难点突破
22.如图,在△ABC中,以AC为直径的⊙O交BC于D,过C作⊙O的切线,交AB的延长线于P,∠PCB=
∠BAC.
(1)求证:
AB=AC;
(2)若sin∠BAC=
,求tan∠PCB的值.
22.四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,
且∠AED=45°
.
(1)求证:
CD与⊙O相切;
(2)若⊙O的半径为6cm,AE=10cm,求∠ADE的正弦值.
22、在⊙O中,AB为直径,PC为弦,且PA=PC
(1)如图1,求证:
OP∥BC
(2)如图2,DE切⊙O于点C,DE∥AB,求tan∠A的值。
22.如图,AB为⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,E为⊙O的半圆弧上一动点(不与A、B重合),过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点,且CB=CE.
CD为⊙O的切线;
(2)若tan∠BAC=
,求
的值.
23、武汉市黄陂区红岗山茶厂种植“龙井”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元/500克)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图甲中的折线表示。
绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元/500克)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图乙的抛物线表示。
(1)直接写出图甲中表示的市场销售单价y(元/500克)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式;
(2)求出图乙中表示的种植成本单价z(元/500克)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式并写出时间t(天)的取值范围。
(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,w(元/500元),问何时上市的绿茶纯收益单价w最大?
24.如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,BC=20,F为AD的中点,CE⊥AB于E,设∠ABC=α(60°
≤α<90°
).
(1)当α=60°
时,CE的长为;
(2)当60°
<α<90°
时,是否存在正整数n,使得∠EFD=n∠AEF?
若存在,求出n的值;
若不存在,请说明理由.
(3)连接CF,当CE2﹣CF2取最大值时,求tan∠DCF的值.
24.已知四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的点,DE与CF交于点G.
(1)如图①,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证;
(2)如图②,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:
当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得
成立?
并证明你的结论;
(3)如图③,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=90°
,DE⊥CF,请直接写出
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