中考数学易错题精选一元二次方程组练习题含详细答案.docx
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中考数学易错题精选一元二次方程组练习题含详细答案
中考数学易错题精选-一元二次方程组练习题含详细答案
一、一元二次方程
1.关于x的方程x2﹣2(k﹣1)x+k2=0有两个实数根x1、x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1+x2=1﹣x1x2,求k的值.
【答案】
(1);
(2)
【解析】
试题分析:
(1)方程有两个实数根,可得代入可解出的取值范围;
(2)由韦达定理可知,列出等式,可得出的值.
试题解析:
(1)∵Δ=4(k-1)2-4k2≥0,∴-8k+4≥0,∴k≤;
(2)∵x1+x2=2(k-1),x1x2=k2,∴2(k-1)=1-k2,
∴k1=1,k2=-3.
∵k≤,∴k=-3.
2.李明准备进行如下操作实验,把一根长40cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,李明应该怎么剪这根铁丝?
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2,你认为他的说法正确吗?
请说明理由.
【答案】
(1)李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段;
(2)李明的说法正确,理由见解析.
【解析】
试题分析:
(1)设剪成的较短的这段为xcm,较长的这段就为(40﹣x)cm.就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可;
(2)设剪成的较短的这段为mcm,较长的这段就为(40﹣m)cm.就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程,如果方程有解就说明李明的说法错误,否则正确.
试题解析:
设其中一段的长度为cm,两个正方形面积之和为cm2,则,(其中),当时,,解这个方程,得,,∴应将之剪成12cm和28cm的两段;
(2)两正方形面积之和为48时,,,∵,∴该方程无实数解,也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2,李明的说法正确.
考点:
1.一元二次方程的应用;2.几何图形问题.
3.某建材销售公司在2019年第一季度销售两种品牌的建材共126件,种品牌的建材售价为每件6000元,种品牌的建材售价为每件9000元.
(1)若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元,求至多销售种品牌的建材多少件?
(2)该销售公司决定在2019年第二季度调整价格,将种品牌的建材在上一个季度的基础上下调,种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨;同时,与
(1)问中最低销售额的销售量相比,种品牌的建材的销售量增加了,种品牌的建材的销售量减少了,结果2019年第二季度的销售额比
(1)问中最低销售额增加,求的值.
【答案】
(1)至多销售品牌的建材56件;
(2)的值是30.
【解析】
【分析】
(1)设销售品牌的建材件,根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元,列不等式求解;
(2)根据题意列出方程求解即可.
【详解】
(1)设销售品牌的建材件.
根据题意,得,
解这个不等式,得,
答:
至多销售品牌的建材56件.
(2)在
(1)中销售额最低时,品牌的建材70件,
根据题意,得
,
令,整理这个方程,得,
解这个方程,得,
∴(舍去),,
即的值是30.
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程组和不等式求解.
4.解方程:
x2-2x=2x+1.
【答案】x1=2-,x2=2+.
【解析】
试题分析:
根据方程,求出系数a、b、c,然后求一元二次方程的根的判别式,最后根据求根公式求解即可.
试题解析:
方程化为x2-4x-1=0.
∵b2-4ac=(-4)2-4×1×(-1)=20,
∴x==2±,
∴x1=2-,x2=2+.
5.机械加工需用油进行润滑以减小摩擦,某企业加工一台设备润滑用油量为90kg,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台设备的实际耗油量为36kg,为了倡导低碳,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关.
(1)甲车间通过技术革新后,加工一台设备润滑油用油量下降到70kg,用油的重复利用率仍然为60%,问甲车间技术革新后,加工一台设备的实际油耗量是多少千克?
(2)乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑油用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发现在技术革新前的基础上,润滑用油量每减少1kg,用油的重复利用率将增加1.6%,例如润滑用油量为89kg时,用油的重复利用率为61.6%.
①润滑用油量为80kg,用油量的重复利用率为多少?
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg,问加工一台设备的润滑用油量是多少千克?
用油的重复利用率是多少?
【答案】
(1)28
(2)①76%②75,84%
【解析】
试题分析:
(1)直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg,用油的重复利用率仍然为60%,进而得出答案;
(2)①利用润滑用油量每减少1kg,用油的重复利用率将增加1.6%,进而求出答案;
②首先表示出用油的重复利用率,进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg,得出等式求出答案.
试题解析:
(1)根据题意可得:
70×(1﹣60%)=28(kg);
(2)①60%+1.6%(90﹣80)=76%;
②设润滑用油量是x千克,则
x{1﹣[60%+1.6%(90﹣x)]}=12,
整理得:
x2﹣65x﹣750=0,
(x﹣75)(x+10)=0,
解得:
x1=75,x2=﹣10(舍去),
60%+1.6%(90﹣x)=84%,
答:
设备的润滑用油量是75千克,用油的重复利用率是84%.
考点:
一元二次方程的应用
6.计算题
(1)先化简,再求值:
÷(1+),其中x=2017.
(2)已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根,求m的值.
【答案】
(1)2018;
(2)m=4
【解析】
分析:
(1)根据分式的运算法则和运算顺序,先算括号里面的,再算除法,注意因式分解的作用;
(2)根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解:
(1)÷(1+)
=
=
=x+1,
当x=2017时,原式=2017+1=2018
(2)解:
∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根,
∴△=(﹣2)2﹣4×1×(m﹣3)=0,
解得,m=4
点睛:
此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式,关键是熟记分式方程的运算顺序和法则,注意通分约分的作用.
7.已知关于x的一元二次方程(m为常数)
(1)求证:
不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一个根是2,求m的值及方程的另一个根.
【答案】
(1)见解析;
(2)即m的值为0,方程的另一个根为0.
【解析】
【分析】
(1)可用根的判别式,计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4>0,则方程有两个不相等实数解,于是可判断不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程的另一个根为t,利用根与系数的关系得到2+t=,2t=m,最终解出关于t和m的方程组即可.
【详解】
(1)证明:
△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4,
∵无论m为何值时m2≥0,
∴m2+4≥4>0,
即△>0,
所以无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的另一个根为t,
根据题意得2+t=,2t=m,
解得t=0,
所以m=0,
即m的值为0,方程的另一个根为0.
【点睛】
本题考查根的判别式和根于系数关系,对于问题
(1)可用根的判别式进行判断,在判断过程中注意对△的分析,在分析时可借助平方的非负性;问题
(2)可先设另一个根为t,用根于系数关系列出方程组,在求解.
8.观察下列一组方程:
;;;;它们的根有一定的规律,都是两个连续的自然数,我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”.
若也是“连根一元二次方程”,写出k的值,并解这个一元二次方程;
请写出第n个方程和它的根.
【答案】
(1)x1=7,x2=8.
(2)x1=n-1,x2=n.
【解析】
【分析】
(1)根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,
(2)找到规律,十字相乘的方法即可求解.
【详解】
解:
(1)由题意可得k=-15,则原方程为x2-15x+56=0,则(x-7)·(x-8)=0,解得x1=7,x2=8.
(2)第n个方程为x2-(2n-1)x+n(n-1)=0,(x-n)(x-n+1)=0,解得x1=n-1,x2=n.
【点睛】
本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.
9.已知两条线段长分别是一元二次方程的两根,
(1)解方程求两条线段的长。
(2)若把较长的线段剪成两段,使其与另一段围成等腰三角形,求等腰三角形的面积。
(3)若把较长的线段剪成两段,使其与另一段围成直角三角形,求直角三角形的面积。
【答案】
(1)2和6;
(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)求解该一元二次方程即可;
(2)先确定等腰三角形的边,然后求面积即可;
(3)设分为两段分别是和,然后用勾股定理求出x,最后求面积即可.
【详解】
解:
(1)由题意得,
即:
或,
∴两条线段长为2和6;
(2)由题意,可知分两段为分别为3、3,则等腰三角形三边长为2,3,3,
由勾股定理得:
该等腰三角形底边上的高为:
∴此等腰三角形面积为=.
(3)设分为及两段
∴,
∴,
∴面积为.
【点睛】
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识,考查知识点较多,灵活应用所学知识是解答本题的关键.
10.已知:
如图,在中,,cm,cm.直线从点出发,以2cm/s的速度向点方向运动,并始终与平行,与线段交于点.同时,点从点出发,以1cm/s的速度沿向点运动,设运动时间为(s)().
(1)当为何值时,四边形是矩形?
(2)当面积是的面积的5倍时,求出的值;
【答案】
(1);
(2)。
【解析】
【分析】
(1)首先根据勾股定理计算AB的长,再根据相似比例表示PE的长度,再结合矩形的性质即可求得t的值.
(2)根据面积相等列出方程,求解即可.
【详解】
解:
(1)在中,,
,当时,四边形PECF是矩形,
解得
(2)由题意
整理得,解得
,面积是的面积的5倍。
【点睛】
本题主要考查矩形的动点问题,这是近几年的考试热点,必须熟练掌握.
11.淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动.甲网店销售的A商品的成本为30元/件,网上标价为80元/件.
(1)“双十一”购物活动当天,甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客,问该店平均每次降价率为多少时,才能使A商品的售价为39.2元/件?
(2)据媒体爆料,有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动,存在欺诈行为.“双十一”活动之前,乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致,一周可售出1000件A商品.在“双十一”购物活动当天,乙网店先将A商品的网上标价提高a%,再推出五折促销活动,吸引了大量顾客,乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%,“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元,求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价.
【答案】
(1)平均每次降价率为30%,才能使这件A商品的售价为39.2元;
(2)乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元.
【解析】
【分析】
(1)设平均每次降价率为x,才能使这件A商品的售价为39.2元,
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