高中数学必修1第三章单元测试题文档格式.docx
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A.2B.奇数
C.偶数D.至少是2
答案 D
解析 ∴f(a)·
0,∴f(a)·
f(c)>
0,即图像在区间(a,c)上至少有两个交点.
4.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图像是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实数根,则f(-1)·
f
(1)的值( )
A.大于0B.小于0
C.无法判断D.等于零
答案 C
解析 由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部.
5.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由1个繁殖成4096个需经过的小时数为( )
A.12B.4
C.3D.2
解析 设需要经过x次分裂,则4096=2x,解得x=12,
∴时间t=
=3小时.
6.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,2)
解析 ∵f(0)=e0+0-2=-1<
0,f
(1)=e+1-2=e-1>
0,f(0)·
f
(1)<
0,
∴零点所在区间为(0,1).
7.若函数f(x)唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),(1,
)内,则与f(0)符号相同的是( )
A.f(4)B.f
(2)
C.f
(1)D.f(
)
解析 画图可知.
8.按复利计算利率的储蓄,存入银行5万元,年息为6%,利息税为20%,4年后支取,可得利息为人民币( )
A.5(1+0.06)4万元B.(5+0.06)4万元
C.4[(1+0.06)4-1]万元D.4[(1+0.06)3-1]万元
解析 由已知4年利息和为5×
(1+6%)4-5,扣去20%的利息税余5×
[(1+6%)4-1]×
(1-20%)=4[(1+6%)4-1].
9.储油30m3的油桶,每分钟流出
m3的油,则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为( )
A.[0,+∞)B.[0,
]
C.(-∞,40]D.[0,40]
解析 Q=30-
t,由于30-
t≥0,∴t≤40.
又∵t≥0,∴定义域为[0,40],故选D.
10.方程lnx+2x-8=0根的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
解析 在同一坐标系中做出函数y=lnx和y=8-2x的图像,图像只有一个交点,所以方程只有一个根.
11.从盛满20升酒精的容器里倒出1升后用水加满,再倒出1升混合溶液后又用水填满,这样继续进行,若倒第k(k≥1)次倒出酒精f(k)升,则f(k)的表达式为( )
A.f(k)=
kB.f(k)=(
)k-1
C.f(k)=
D.f(k)=
+1
解析 第1次倒出1升酒精,第2次倒出1×
(
)升酒精,第3次倒出1×
)2升酒精……故第k次倒出(
)k-1升酒精.
12.某商店迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾促销方式,即顾客在店内花钱满100元(可以是现金,也可以是奖励券或二者合计),就送20元奖励券;
满200元,就送40元奖励券;
满300元,就送60元奖励券;
……当日花钱最多的一位顾客共花出现金70040元,如果按照酬宾促销方式,他最多能得到优惠( )
A.17000元B.17540元
C.17500元D.17580元
解析 这位顾客花的70000元可得奖励券700×
20=14000(元),只有这位顾客继续把奖励券消费掉,也才能得到最多优惠,但当他把14000元奖励券消费掉可得140×
20=2800元奖励券再消费又可得到28×
20=560(元)奖励券,560元消费再加上先前70040中的40元共消费600元应得奖励券6×
20=120元.
120元奖励券消费时又得20元奖励券.
∴他总共会得到14000+2800+560+120+20=17500(元)优惠.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在横线上)
13.函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________.
答案 y=x2
解析 对数函数增长速度较为缓慢.
14.长为4,宽为3的矩形,当长增加x,且宽减少
时的面积最大,此时x=________,面积S=________.
答案 1
解析 S=(4+x)(3-
)=-
+x+12=-
(x2-2x-24)=
-
(x-1)2,当x=1时,Smax=
.
15.已知y=x(x-1)(x+1)的图像如图所示,现考虑f(x)=x(x-1)(x+1)-0.01,则方程f(x)=0,
①有三个实根;
②当x<
-1时,恰有一实根;
③当-1<
x<
0时,恰有一实根;
④当0<
1时,恰有一实根;
⑤当x>
1时,恰有一实根.
其中,正确的有________(把正确的序号都填上).
答案 ①⑤
解析 将y=x(x-1)(x+1)的图像向下平移0.01个单位长度会得到f(x)的图像,因此①正确,⑤正确.
16.若函数f(x)=|4x-x2|-a的零点个数为3,则a=________.
答案 4
解析 作出函数y=|x2-4x|与函数y=4的图像,发现它们恰有3个交点.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)有一批单放机原价为每台80元,在两个商场降价销售,甲商场优惠的办法是:
买一台少收4元,买两台每台少收8元,买三台每台少收12元……依次类推,直到减到半价为止,乙商场的优惠办法是:
一律按原价的70%销售,某单位为每名职工买一台,问买哪一个商场的单放机较合算.
解析 设某单位职工为x人,即购买x台,则甲商场:
该单位的花费为
y1=
(x∈N*)
乙商场:
该单位的花费为y2=80×
x×
70%=56x.
若x>
10,则y2>
y1,购买甲商场的单放机合算;
若0<
x≤10,y1-y2=80x-4x2-56x=-4x2+24x≥0,0≤x≤6.
即0<
6时,y1>
y2,购买乙商场的单放机合算;
6<
x≤10时,y1<
y2,购买甲商场的单放机合算;
x=6时,在两个商场购买单放机一样;
综合当0<
6时,在乙商场买合算,当x=6时,在两个商场买单放机一样;
当x>
6时,在甲商场购买合算.
18.(12分)麦当劳店每天的房租、人员工资等固定成本为200元,某种食品每份的成本价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示:
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/份
440
400
360
320
280
240
200
请你根据以上数据作出分析,该麦当劳店怎样定价才能获得最大利润?
解析 设定价为x元,利润为y元.
y=(x-5)[440-40(x-6)]-200=-40x2+880x-3600=-40(x-11)2+1240,x∈(5,12),
当x=11时,ymax=1240.定价为11元时,利润最大.
19.(12分)经市场调查,某商品在120天内的日销售量和售价均为时间t(天)的函数,日销售量与时间的关系用下图
(1)的一条折线表示,售价与时间的关系用下图
(2)的一条折线表示.
(1)写出图
(1)表示的日销售量(千克)与时间t的函数关系式Q=g(t);
写出图
(2)表示的售价(元/千克)与时间t的函数关系式P=f(t).
(2)求日销售额y(元)与时间的函数关系式,并求出日销售额最高的是哪一天?
最高销售额是多少?
(注:
日销售额=日销售量×
售价)
解析
(1)g(t)=
f(t)=
(2)0<
t<
60时,y=(
t+15)(-
t+40)=-
t2+5t+600=-
(t-30)2+675,
∴当t=30时,ymax=675(元).
当60≤t≤120时,y=(-
+60)(
t+15)=-
t2-
t+900=-
(t+30)2+
,
∴当x∈[60,120]时,y=f(x)为减函数.
∴当t=60时,ymax=600(元).
综上得日销售额与时间的函数关系为y=
∴第30天日销售额最高,最高销售额为675元.
20.(12分)对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求f(x)的不动点;
(2)若对b∈R,函数f(x)恒有两个相异的不动点.求实数a的取值范围.
解析
(1)f(x)=x2-x-3,若x0是不动点,则f(x0)=x0,即x02-2x0-3=0,
∴x0=-1或x0=3,∴3和-1是f(x)的不动点.
(2)f(x)恒有两个不动点,则f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=x,即ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4a(b-1)>
0恒成立,即b2-4ab+4a>
0恒成立.∴(-4a)2-4×
4a<
0,即a2-a<
0.∴0<
a<
1.
21.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.若任意x1,x2∈R,且x1<
x2,都有f(x1)≠f(x2),求证:
关于x的方程f(x)=
[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根且必有一个根属于(x1,x2).
解析 ∵f(x)=
[f(x1)+f(x2)],∴ax2+bx+c=
(ax12+bx1+c+ax22+bx2+c),
整理得:
2ax2+2bx-a(x12+x22)-b(x1+x2)=0,
∴Δ=4b2+8a[a(x12+x22)+b(x1+x2)]=2[(2ax1+b)2+(2ax2+b)2].
∵x1,x2∈R,x1<
x2,∴2ax1+b≠2ax2+b.
∴Δ>
0,故方程有两个不相等的实数根.
令g(x)=f(x)-
[f(x1)+f(x2)],则g(x1)g(x2)=-
[f(x1)-f(x2)]2.
又f(x1)≠f(x2),则g(x1)g(x2)<
0,故方程f(x)=
[f(x1)+f(x2)]有一个根属于(x1,x2).
22.(12分)某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水,自来水厂每小时可向蓄水池中注入60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断地供水,t小时内供水总量为120
吨(0≤t≤24).
(1)从供水开始后几个小时,蓄水池中的水量最少?
最少水量有多少吨?
(2)若蓄水池中水量少于80吨,就会出现供水紧张现象.试问在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?
并说明理由.
解析
(1)设蓄水池中的总水量为y,则y=400+60t-120
(0≤t≤24),
配方整理得y=60(
)2+40(0≤
≤2
),
当
时,y有最小值40,
即从供水开始后6小时,蓄水池水量最少,最少量有40吨.
(2)据题意当y<
80时,会出现供水紧张现象.
即400+60t-120
<
80,3t-6
+16<
0,令
=m,则t=
m2,∴
m2-6m+16<
∴4<
m<
8.∴
m2<
,即
.∴一天中有
=8小时出现供水紧张现象.
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