离散数学王元元习题解答1Word格式.docx
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(7)我明天或后天去北京或天津。
(8)如果买不到飞机票,我哪儿也不去。
(9)只要他出门,他必买书,不管他余款多不多。
(10)除非你陪伴我或代我雇辆车子,否则我不去。
(11)只要充分考虑一切论证,就可得到可靠见解;
必须充分考虑一切论证,才能得到可靠见解。
(12)如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图,那么我不了解柏拉图。
(13)不管你和他去不去,我去。
(14)侈而惰者贫,而力而俭者富。
(韩非:
《韩非子∙显学》)
(15)骐骥一跃,不能十步;
驽马十驾,功在不舍;
锲而舍之,朽木不折;
锲而不舍,金石可镂。
(荀况:
《荀子∙劝学》)
解
(1)a+b不是命题
0不是命题(x是变元)
”不是命题
是命题
可表示为p∧┐q,其中p:
所有的人都是要死的,q:
所有的人都怕死
(5)我明天或后天去苏州。
是命题
可表示为p∨q,其中p:
我明天去苏州;
q:
我后天去苏州
(6)我明天或后天去苏州的说法是谣传。
可表示为┐(p∨q),其中p、q同(5)
(7)我明天或后天去北京或天津。
可表示为p∨q∨r∨s,其中p:
我明天去北京,q:
我明天去天津,r:
我后天去北京,s:
我后天去天津
(8)如果买不到飞机票,我哪儿也不去。
可表示为┐p→┐q,其中,p:
我买到飞机票,q:
我出去
(9)只要他出门,他必买书,不管他余款多不多。
可表示为(p∧q→r)∧(┐p∧q→r)或q→r,其中p:
他余款多,q:
他出门,r:
他买书
(10)除非你陪伴我或代我雇辆车子,否则我不去。
可表示为(p∨q)↔r,其中p:
你陪伴我,q:
你代我雇车,r:
我去
(11)只要充分考虑一切论证,就可得到可靠见解;
可表示为(p→q)∧(q→p)或p↔q,其中p:
你充分考虑了一切论证,q:
你得到了可靠见解
可表示为(q→p)→┐q,其中p:
我懂得希腊文,q:
我了解柏拉图
可表示为(p→r)∧(q→r)∧(┐p→r)∧(┐q→r)或r,其中p:
你去,q:
他去,r:
(14)侈而惰者贫,而力而俭者富。
《韩非子∙显学》)是命题
可表示为((p∧q)→r)∧((┐p∧┐q)→┐r),其中p:
你奢侈,q:
你懒惰,r:
你贫困
《荀子∙劝学》)是命题
可表示为(p→┐q)∧(s→r)∧(m∧n→┐o)∧(m∧┐n→v),其中p:
骐骥一跃,q:
骐骥一跃十步,r:
驽马行千里,s:
驽马不断奔跑,m:
你雕刻,n:
你放弃,o:
将朽木折断,v:
金石可雕刻
2、判定下列符号串是否为公式,若是,请给出它的真值表,并请注意这些真值表的特点(公式中省略了可以省略的括号):
(1)┐(p)(p为原子命题)
(2)(p∨qr)→s
(3)(p∨q)→p
(4)p→(p∨q)
(5)┐(p∨┐p)
(6)p∧(p→q)→q
(7)p∧(p→q)∧(p→┐q)
(8)(p→q)↔(┐q→┐p)
(9)┐(p∨q)↔┐q∧┐p
(10)┐p∨q↔(p→q)
(11)(p→q)∧(q→r)→(p→r)
(12)(p∨q→r)↔(p→r)∧(q→r)
解
(1)┐(p)不是公式
(2)(p∨qr)→s不是公式
(3)(p∨q)→p是公式
p
q
p∨q
(p∨q)→p
p→(p∨q)
1
(4)p→(p∨q)是公式(真值表见上表,恒真)
(5)┐(p∨┐p)是公式(恒假)
p
┐p
p∨┐p
┐(p∨┐p)
(6)p∧(p→q)→q是公式(恒真)
p→q
p∧(p→q)
p∧(p→q)→q
(7)p∧(p→q)∧(p→┐q)是公式(恒假)
┐q
p→┐q
p∧(p→q)∧(p→┐q)
(8)(p→q)↔(┐q→┐p)是公式(恒真)
┐q→┐p
(p→q)↔(┐q→┐p)
(9)┐(p∨q)↔┐q∧┐p是公式(恒真)
┐(p∨q)
┐q∧┐p
┐(p∨q)↔┐q∧┐p
(10)┐p∨q↔(p→q)是公式(恒真)
┐p∨q
┐p∨q↔(p→q)
(11)(p→q)∧(q→r)→(p→r)是公式(恒真)
r
q→r
p→r
(p→q)∧(q→r)
(p→q)∧(q→r)→(p→r)
(12)(p∨q→r)↔(p→r)∧(q→r)是公式(恒真)
p∨q→r
(p→r)∧(q→r)
(p∨q→r)↔(p→r)∧(q→r)
*3、A国的人只有两种,一种永远说真话,一种永远说假话。
你来到A国,并在一个二叉路口不知如何走才能到达首都。
守卫路口的士兵只准你问一个问题,而且他只答“是”或“不是”。
你应该如何发问,才能从士兵处获知去首都的道路。
解设p:
你是说真话的;
我应当向右走去首都
你应当问:
p↔q?
当回答“是(真)”,你选择向右走;
当回答“不(假)”时,你选择向左走。
因为
p↔q真,当且仅当p真且q真(士兵说真话且应当向右走)
或p假且q假(士兵说假话且应当向左走)
p↔q假,当且仅当p真且q假(士兵说真话且应当向左走)
或p假且q假(士兵说假话且应当向右走)
1.2重言式
1.2.1重言式概念
定义1.2命题公式A称为重言式(tautology),如果对A中命题变元的一切指派均弄真A,因而重言式又称永真式;
A称为可满足式(satisfactableformula),如果至少有一个指派弄真A,否则称A为不可满足式或永假式、矛盾式。
1.2.2逻辑等价式和逻辑蕴涵式
定义1.3当命题公式A↔B为永真式时,称A逻辑等价于B,记为A┝┥B,它又称为逻辑等价式(logicallyequivalent)。
以下是一些重要的逻辑等价式,其中A,B,C表示任意命题公式:
E1┐┐A┝┥A双重否定律
E2A∨A┝┥A幂等律
E3A∧A┝┥A幂等律
E4A∨B┝┥B∨A交换律
E5A∧B┝┥B∧A交换律
E6(A∨B)∨C┝┥A∨(B∨C)结合律
E7(A∧B)∧C┝┥A∧(B∧C)结合律
E8A∧(B∨C)┝┥(A∧B)∨(A∧C)分配律
E9A∨(B∧C)┝┥(A∨B)∧(A∨C)分配律
E10┐(A∨B)┝┥┐A∧┐B德摩根律
E11┐(A∧B)┝┥┐A∨┐B德摩根律
E12A∨(A∧B)┝┥A吸收律
E13A∧(A∨B)┝┥A吸收律
E14A→B┝┥┐A∨B
E15A↔B┝┥(A→B)∧(B→A)
E16A∨t┝┥t
E17A∧t┝┥A
E18A∨f┝┥A
E19A∧f┝┥f
E20A∨┐A┝┥t
E21A∧┐A┝┥f
E22┐t┝┥f,┐f┝┥t
E23A∧B→C┝┥A→(B→C)
E24A→B┝┥┐B→┐A
E25(A→B)∧(A→┐B)┝┥┐A
定义1.4当命题公式A→B为永真式时,称A逻辑蕴涵B,记为A┝B,它又称为逻辑蕴涵式(logicallyimplication)。
我们也列出一些十分重要的逻辑蕴涵式:
I1A┝A∨B,B┝A∨B
I2A∧B┝A,A∧B┝B
I3A∧(A→B)┝B
I4(A→B)∧┐B┝┐A
I5┐A∧(A∨B)┝B,┐B∧(A∨B)┝A
I6(A→B)∧(B→C)┝A→C
I7(A→B)∧(C→D)┝(A∧C)→(B∧D)
I8(A↔B)∧(B↔C)┝A↔C
逻辑等价式与逻辑蕴涵式有如下明显性质。
定理1.1对任意命题公式A,B,C,A'
,B'
,
(1)A┝┥B当且仅当┝A↔B
(2)A┝B当且仅当┝A→B
(3)若A┝┥B,则B┝┥A
(4)若A┝┥B,B┝┥C,则A┝┥C
(5)若A┝B,则┐B┝┐A
(6)若A┝B,B┝C,则A┝C
(7)若A┝B,A┝┥A'
,B┝┥B'
,则A'
┝B'
定理1.2设A为永真式,p为A中命题变元,A(B/p)表示将A中p的所有出现全部代换为公式B后所得的命题公式(称为A的一个代入实例),那么A(B/p)亦为永真式。
定理1.3设A为一命题公式,C为A的子公式(A的一部分,且自身为一公式),且C┝┥D。
若将A中子公式C的某些(未必全部)出现替换为D后得到公式B,那么A┝┥B。
定理1.2常被称为代入原理(ruleofsubstitution),简记为RS。
定理1.3常被称为替换原理(ruleofreplacement)简记为RR。
△1.2.3对偶原理
定义1.5设公式A仅含联结词┐,∧,∨,A*为将A中符号∧,∨,t,f分别改换为∨,∧,f,t后所得的公式,那么称A*为A的对偶(dual)。
显然A与A*互为对偶,即(A*)*=A
定理1.4设公式A中仅含命题变元p1,…,pn,及联结词┐,∧,∨,那么
A┝┥┐A*(┐p1/p1,…,┐pn/pn)
这里A*(┐p1/p1,…,┐pn/pn)表示在A*中对p1,…,pn分别作代入┐p1,…,┐pn后所得的公式。
定理1.5设A,B为仅含联结词┐,∧,∨和命题变元p1,…,pn的命题公式,且满足A┝B,那么有B*┝A*。
进而当A┝┥B时有A*┝┥B*。
常把B*┝A*,A*┝┥B*称为A┝B和A┝┥B的对偶式。
练习1.2
1、试判定以下各式是否为重言式:
(1)(p→q)→(q→p)
(2)┐p→(p→q)
(3)q→(p→q)
(4)p∧q→(p↔q)
(5)(p→q)∨(r→q)→((p∨r)→q)
(6)(p→q)∨(r→s)→((p∨r)→(q∨s))
解
(1)否
(2)是
(3)是
(4)是
(5)否
(6)否
2、试用真值表验证E6,E8,E10,E11,E23。
证
(1)E6(A∨B)∨C↔A∨(B∨C)
A
B
C
A∨B
(A∨B)∨C
B∨C
A∨(B∨C)
E6
(2)E8A∧(B∨C)↔(A∧B)∨(A∧C)
A∧(B∨C)
A∧B
A∧C
(A∧B)∨(A∧C)
E8
(3)E10┐(A∨B)↔┐A∧┐B
┐(A∨B)
┐A
┐B
┐A∧┐B
E10
(4)E11┐(A∧B)↔┐A∨┐B
┐(A∧B)
┐A∨┐B
E11
(5)E23(A∧B→C)↔(A→(B→C))
A∧B→C
B→C
A→(B→C)
E23
3、不用真值表,用代入、替换证明E12,E13,E24。
证
(1)E12:
A∨(A∧B)┝┥A
A∨(A∧B)┝┥(A∧t)∨(A∧B)据E17用RR
┝┥A∧(t∨B)对E8用RS
┝┥A∧t据E16用RR
┝┥A据E17
(2)E13:
A∧(A∨B)┝┥A
A∧(A∨B)┝┥(A∨f)∧(A∨B)据E18用RR
┝┥A∨(f∧B)对E9用RS
┝┥A∨f据E19用RR
┝┥A据E18
(3)E24:
A→B┝┥┐B→┐A
┐B→┐A┝┥┐┐B∨┐A对E14用RS
┝┥B∨┐A据E1用RR
┝┥┐A∨B对E4用RS
┝┥A→B据E14
4、试用真值表验证I3,I4,I5,I6。
证
(1)I3A∧(A→B)→B
A→B
A∧(A→B)
A∧(A→B)→B
(2)I4(A→B)∧┐B→┐A
(A→B)∧┐B
I4
(3)I5┐A∧(A∨B)→B┐B∧(A∨B)→A
┐A∧(A∨B)
┐A∧(A∨B)→B
┐B∧(A∨B)
┐B∧(A∨B)→A
(4)I6(A→B)∧(B→C)→(A→C)
A→C
(A→B)∧(B→C)
I6
5、不用真值表,用代入、替换证明I7,I8。
证
(1)I7:
(A→B)∧(C→D)┝(A∧C)→(B∧D)
(A→B)∧(C→D)┝┥(┐A∨B)∧(┐C∨D)
(A∧C)→(B∧D)┝┥(┐A∨┐C)∨(B∧D)
┝┥(┐A∨┐C∨B)∧(┐A∨┐C∨D)
由于
(┐A∨B)∧(┐C∨D)┝(┐A∨┐C∨B)∧(┐A∨┐C∨D)
故(A→B)∧(C→D)┝(A∧C)→(B∧D)。
(2)I8:
(A↔B)∧(B↔C)┝(A↔C)
(A↔B)∧(B↔C)┝┥(A→B)∧(B→A)∧(B→C)∧(C→B)
┝┥((A→B)∧(B→C))∧((C→B)∧(B→A))
┝(A→C))∧(C→A)
┝┥(A↔C)
6、用三种不同方法证明下列逻辑等价式:
(1)A↔B┝┥(A∧B)∨(┐A∧┐B)
(2)A→(B→C)┝┥B→(A→C)
(3)A→(A→B)┝┥A→B
(4)A→(B→C)┝┥(A→B)→(A→C)
证
(1)证法1:
A↔B
(A∧B)∨(┐A∧┐B)
证法2:
A↔B┝┥(A→B)∧(B→A)
┝┥(┐A∨B)∧(┐B∨A)
┝┥(┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A)
┝┥(A∧B)∨(┐A∧┐B)
证法3:
先证A↔B┝(A∧B)∨(┐A∧┐B)(a)
设α为任一指派,使α(A↔B)=1,那么α(A)=α(B)=1或α(A)=α(B)=0,从而α(A∧B)=1或α(┐A∧┐B)=1,即α((A∧B)∨(┐A∧┐B))=1。
(a)得证;
再证(A∧B)∨(┐A∧┐B)┝A↔B(b)
设α为任一指派,使α(A↔B)=0,那么α(A)=1,α(B)=0,或者α(A)=0,α(B)=1,从而α(A∧B)=0且α(┐A∧┐B)=0,即α((A∧B)∨(┐A∧┐B))=0。
(b)得证。
(2)证法1:
B→(A→C)
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