新人教A版高中数学空间向量与立体几何名师精编单元测试.docx
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新人教A版高中数学空间向量与立体几何名师精编单元测试
2018届新人教A版空间向量与立体几何单元测试
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
分卷I
一、选择题(60分)
1.若平面α的一个法向量n=(4,1,1),直线l的一个方向向量a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为( )
A.-B. C. D.
2.已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1,-1,-1),且β与α不重合,则( )
A.α∥βB.α⊥β
C.α与β相交不垂直 D.以上都不对
3.在正三棱柱ABCA1B1C1中,若,则AB1与C1B所成角的大小为( )
A.60° B.90° C.105° D.75°
4.直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,设平面A1BC1∩平面ABC=l,则A1C1与l的距离为( )
A.1B. C. D.
5.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,E、F分别是BB1、CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为( )
A. B. C. D.
6.如图,在60°的二面角α-AB-β内,ACβ,BDα,AC⊥AB于A,BD⊥AB于B,且AC=AB=BD=1,则CD的长为…( )
A.3 B. C.2 D.
7.D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于()
A.B.
C.D.
8.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角的余弦值为( )
A. B. C.D.
9.已知空间四边形ABCD,连结AC、BD,设M、G分别是BC、CD的中点,则等于( )
A. B.3
C.3 D.2
10.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则( )
A.l∥α B.l⊥α
C.lα D.l与α斜交
11.已知A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4),则△ABC的面积为( )
A. B.C. D.
12.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角为( )
A. B. C. D.不能确定
分卷II
二、20分(填空题)
13.【题文】[2014泉州模拟]如图,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈,〉=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.
14.已知平面α的一个法向量为n=(1,1,1),原点O(0,0,0)在平面α内,则点P(4,5,3)到α的距离为________.
15.已知向量n=(6,3,4)和直线l垂直,点A(2,0,2)在直线l上,则点P(-4,0,2)到直线l的距离为_____.
16.已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=________,y=________.
三、70分(解答题)
17.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,BD1交平面ACB1于点E,求证:
(1)BD1⊥平面ACB1;
(2).
18.如图,ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,,
(1)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值;
(2)求SC与平面ABCD所成的角的余弦值.
19.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),求P(3,5,0)到l的距离.
20.已知P是正方形ABCD平面外一点,M、N分别是PA、BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求证:
直线MN∥平面PBC.
21.已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),
求:
a+b,a-b,3a+2b.
22.若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=,求二面角APBC的余弦值.
答案解析部分(共有22道题的解析及答案)
一、选择题
1、解析:
cos〈a,n〉=
∴l与α所成角的余弦值为
答案:
D
2、解析:
=(0,1,-1),=(1,0,-1),
n=(-1,-1,-1)(0,1,-1)
=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0,
n=(-1,-1,-1)(1,0,-1)=-1×1+0+(-1)(-1)=0,
∴n⊥,n⊥.
∴n也为α的一个法向量.又α与β不重合,∴α∥β.
答案:
A
3、解析:
取AC中点O,建立如下图所示的坐标系.
设AB=a,则B(,0,0),C1(0,,),A(0,,0),B1(,0,),
∴
=0.
∴AB1与C1B所成角为90°.
答案:
B
4、C
5、解析:
建立如图所示坐标系,则A1(a,0,a),D1(0,0,a),A(a,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,a),E(a,a,),F(0,,0).
设平面A1D1E的法向量为n=(x,y,z),则,,即(x,y,z)(-a,0,0)=0,(x,y,z)(0,a,)=0,
∴-ax=0,ayz=0.
∴x=0,.
∴n=(0,,z).
∴
.
答案:
C
6、解析:
∵
∴
∴
答案:
D
7、思路分析:
.
答案:
A
8、解析:
方法一:
∵
∴
而
同理,.
设直线AM与CN所成的角为α,则
方法二:
如图,把D点视作原点O,分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则A(1,0,0),M(1,,1),C(0,1,0),N(1,1,).
∴=(1,,1)-(1,0,0)=(0,,1),
=(1,1,)-(0,1,0)=(1,0,).
故=0×1+×0+1×=.
设直线AM与CN所成的角为α,则
∴cosα
答案:
D
绿色通道:
空间两条直线之间的夹角是不超过90°的角,因此,如果按公式计算分子的数量积为一个负数,则应当取其绝对值,使之变为正值,这样求得的角为锐角,这一说明在以后很多计算问题中经常被用到.
9、解析:
答案:
B
10、解析:
∵u=-2a,∴u∥a.∴l⊥α.
答案:
B
11、解析:
∵=(1,1,1),=(2,1,3),
∴,,.
∴.
∴.
∴.
答案:
D
12、解析:
∵|a|=|b|,
∴(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=0.
∴a+b与a-b垂直,夹角为.
答案:
C
二、填空题
13、【答案】(1,1,1)
【解析】设PD=a,
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
P(0,0,a),E(1,1,),
∴=(0,0,a),=(-1,1,).
由cos〈,〉=,∴=a,
∴a=2.∴E的坐标为(1,1,1).
14、解析:
=(4,5,3),点P到平面α的距离为
答案:
15、解析:
=(6,0,0),
因为点A在直线l上,n与l垂直,
所以点P到直线l的距离为
答案:
16、解析:
∵l1∥l2,∴
∴x=-14,y=6.
答案:
-14 6
三、解答题
17、证明:
(1)我们先证明BD1⊥AC:
∵,,
∴
.
∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1,于是BD1⊥平面ACB1.
(2)设底面正方形的对角线AC、BD交于点M,则,即对于空间任意一点O,设,,,,则上述等式可改写成2(m-b)=d1-b1或b1+2m=d1+2b.记.此即表明,由e向量所对应的点E分线段B1M及D1B各成λ(=2)之比.所以点E既在线段B1M面ACB1上又在线段D1B上,所以点E是D1B与平面ACB1的交点,此交点E将D1B分成2与1之比,即D1E:
EB=2:
1,即.
18、解:
(1)因为AD、AB、AS是三条两两互相垂直的线段,故以A为原点,以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系,则A(0,0,0)、D(,0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1),=(,0,0)是平面SAB的法向量.设面SCD的法向量n=(1,λ,μ),则
n=(1,λ,μ)(,1,0)=+λ=0,∴λ=-.
n=(1,λ,μ)(-,0,1)=-+μ=0,
∴.
∴n=(1,-,).
如以θ表示欲求二面角的值,则cosθ=cos〈,n〉,
n=(,0,0)(1,-,)=,||=,
∴,.
∴.
∴面SCD与面SBA所成二面角的正切值为.
(2)∵是平面ABCD的法向量,先求与之间的夹角φ.
∵,
∴,
∴.
∴所求余弦值为.
启示:
对于
(2)也可借助坐标计算线面角.像棱没有给出的二面角大小计算问题,用向量法解答十分方便.
19、解:
∵=(-2,-6,2),
∴n=(-2,-6,2)(-3,0,4)=14,
|n|=
∴点P到直线l的距离为
20、证明
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