全国百强校广西南宁二中学年高一下学期期末考试数学理试题.docx
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全国百强校广西南宁二中学年高一下学期期末考试数学理试题
绝密★启用前
【全国百强校】广西南宁二中2016-2017学年高一下学期期末考试数学(理)试题
试卷副标题
考试范围:
xxx;考试时间:
66分钟;命题人:
xxx
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项.
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
评卷人
得分
一、选择题(题型注释)
1、直线的倾斜角为()
A. B. C. D.
2、在等差数列中,,且,则等于( )
A.-3 B.-2 C.0 D.1
3、已知且,则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
4、设是两条不同的直线,是两个不同的平面,给出下列四个命题中错误的是( )
A.若,则; B.若,则;
C.若,则; D.若,则.
5、在中,角所对的边分边为,已知,则此三角形的解的情况是( )
A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定
6、若直线与圆的两个交点关于直线对称,则的值分别为( )
A. B. C. D.
7、已知向量与的夹角为,且,若,且,则实数的值为( )
A. B. C.6 D.13
8、已知某个几何体的三视图如下图所示(单位:
)可得这个几何体的表面积是( )
A. B. C. D.
9、从原点引圆的切线为,当变化时切点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
10、已知正实数满足,则的最小值( )
A.2 B.3 C.4 D.
11、已知点,点是圆上的动点,点是圆上的动点,则的最大值是( )
A. B.2 C.3 D.
12、如图是棱长为4的正方体,点为棱的中点,若三棱锥的四个顶点都在球表面上,则球的表面积是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
评卷人
得分
二、填空题(题型注释)
13、若实数满足,则的最小值为__________.
14、设为两两不重合的平面,为两两不重合的直线,给出下列四个命题:
①若,则; ②若,则;
③若,则 ④若,则
其中正确结论的编号为__________.(请写出所有正确的编号)
15、已知向量 若 ,则 的值为__________.
16、如图,正四面体P-ABCD中,D,E分别是AB及PC的中点,则直线与PD所成的角的余弦值为__________.
评卷人
得分
三、解答题(题型注释)
17、在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且
(1)求角C的大小;
(2)若 ,且三角形ABC的面积为,求的值.
18、已知数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求的前项和
19、如图所示,四棱锥中,四边形是直角梯形,底面,为的中点,点在上,且.
(1)证明:
平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20、已知曲线
若,过点的直线交曲线于两点,且,求直线的方程;
若曲线表示圆,且直线与圆交于两点,是否存在实数,使得以为直径的圆过原点,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
21、如图,在三棱柱中,平面平面, 为的中点.
求证:
平面;
求二面角的余弦值.
22、已知数列的前项和,函数对一切实数总有,数列满足
分别求数列、的通项公式;
若数列满足,数列的前项和,若存在正实数,使不等式对于一切的恒成立,求的取值范围.
参考答案
1、B
2、A
3、D
4、B
5、C
6、A
7、B
8、B
9、D
10、B
11、B
12、C
13、1
14、①③④
15、
16、
17、
(1);
(2)5.
18、
(1) ;
(2).
19、(I)见解析;(II),
20、
(1)或 (即)
(2)
21、
(1)见解析
(2)
22、
(1)
(2)
【解析】
1、直线互为斜截式,得
∴直线的斜率为,设倾斜角为θ
则tanθ=,∴θ=
故选B.
2、根据题意,设等差数列的公差为d,首项为a1,
若,则有+4d=9,
又由,则2(+2d)=(+d)+6,
解可得d=3,=−3;
故选:
A.
3、已知a>b>c且a+b+c=0,
则a>0,c<0,
对于A:
令a=1,b=0,c=−1,不成立,
对于B:
令b=0,不成立,
对于C:
c<0,由a>b得:
ac 对于D: 由b>c,都乘以a,得到ab>ac, 故选: D. 4、对于①,假设n⊂β,α∩β=l,因为n∥α,所以n∥l,又m⊥α, 所以m⊥l,而n∥l,所以m⊥n,正确; 对于②,若m∥n,n∥α,则m∥α或m⊂α,故错误; 对于③,若m∥n,n⊥β,则m⊥β,又m∥α,所以在平面α内一定存在一条直线l,使m∥l, 而m⊥β,所以l⊥β,l⊂α,则α⊥β,正确; 对于④,由面面平行的判定定理,可以判断出是正确的。 故真命题有3个。 故选B. 5、由三角形正弦定理可知无解,所以三角形无解,选C. 6、试题分析: 由题知两直线互相垂直,可得斜率积为,则,又圆上两点关于直径对称即直线过圆心点,可得.故本题选A. 考点: 1.两直线间的位置关系;2.直线与圆的位置关系,3.圆的性质. 【规律点睛】本题主要考查两直线间的位置关系,直线与圆的位置关系,圆的性质及数形结合的数学思想方法.与圆有关的题型一般两种方法: 代数法和几何法.代数法运算较为繁琐,多利用数形结合运用几何法.几何法求圆的方程或相关题目中,要根据图形的几何意义确定圆心和半径,此法用到初中有关圆的性质.如①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆圆心三点共圆. 7、 ,选B. 8、由三视图确定的几何体是四棱锥P-ABCD,且侧面PBC与底面ABCD垂直, 所以 点睛: 三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图. 9、 选D. 10、. 当且仅当,即,时的最小值为3. 故选B. 点睛: 本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时,应具备三个条件: 一正二定三相等.①一正: 关系式中,各项均为正数;②二定: 关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等: 含变量的各项均相等,取得最值. 11、设圆圆心为 ,圆圆心为,则 其中为A关于直线对称点,所以选B. 点睛: 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如型的最值问题,可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题;②形如型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如型的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题. 12、. 根据三视图知几何体是: 三棱锥D−ABC为棱长为4的正方体一部分,直观图如图所示: ∵该多面体的所有顶点都在球O, ∴由正方体的性质得,球心O到平面ABC的距离d=2, 由正方体的性质可得, , 设△ABC的外接圆的半径为r, 在△ABC中,由余弦定理得, ∴,则, 由正弦定理可得,,则r=, 即球O的半径, ∴球O的表面积, 故选: C. 点睛: 本题考查了球与几何体的问题,是高考中的重点问题,要有一定的空间想象能力,这样才能找准关系,得到结果,一般外接球需要求球心和半径,首先应确定球心的位置,借助于外接球的性质,球心到各顶点距离相等,这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心,过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等,然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线(这两个多边形需有公共点),这样两条直线的交点,就是其外接球的球心,再根据半径,顶点到底面中心的距离,球心到底面中心的距离,构成勾股定理求解,有时也可利用补体法得到半径,例: 三条侧棱两两垂直的三棱锥,可以补成长方体,它们是同一个外接球. 13、试题分析: 不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部,顶点为,当过点时取得最小值1 考点: 线性规划问题 14、①由平行的传递性可知: 若,则正确; ②由面面平行的判定定理知,还需要为两条相交直线,不然无法得到面面平行,不正确; ③由面面平行的性质可知,正确; ④若, 则由知, ⊂且 ⊂,由 ⊂及∥,∩=, 得∥,同理∥,故∥,故命题④正确。 答案为①③④. 15、 所以 16、 连接CD,取CD中点为O,连接AO,OE,则有,则,或其补角即为所求; 设正四面体的棱长为2,则,,. 在中,由余弦定理可得: . 故答案为. 17、试题分析: (1)利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦,整理可求得sinC,进而求得C. (2)利用三角形面积求得ab的值,利用余弦定理求得a2+b2的值,最后求得a+b的值. 试题解析: (1)由a=2csinA及正弦定理得,sinA=2sinCsinA. ∵sinA≠0,∴sinC=. ∵△ABC是锐角三角形,∴C=. (2)∵C=,△ABC面积为, ∴absin=,即ab=6.① ∵c=,∴由余弦定理得a2+b2-2abcos=7,即a2+b2-ab=7.② 由②变形得(a+b)2=3ab+7.③ ③得(a+b)2=25,故a+b=5. 18、试题分析: (1)首先利用Sn与an的关系: 当n=1时,a1=S1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1;结合已知条件等式推出数列{an}是等比数列,由此求得数列{an}的通项公式; (2),利用裂项求和即可. 试题解析: (1)当时,由及,得,即,解得. 又由,① 可知,② ②-①得,即.且时,适合上式, 因此数列是以为首项,公比为的等比数列,故 . (2)由 (1)及 ,可知, 所以, 故 . 19
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