计算机数学基础离散数学部分Word文件下载.docx
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掌握谓词演算的等价式和重言蕴含式.并进行谓词公式的等价演算.
8.了解前束范式的概念,会求公式的前束范式的方法.
若一个谓词公式F等价地转化成
,那么
就是F的前束范式.前束范式仍然是谓词公式.
9.了解谓词逻辑推理的四个规则.会给出推理证明.
谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充,命题演算中基本等价式,重言蕴含式以及P,T,CP规则在谓词演算中仍然使用.谓词逻辑的推理演算引入了US规则(全称量词指定规则),UG规则(全称量词推广规则),ES规则(存在量词指定规则),EG规则(存在量词推广规则)等.
集合论部分
1.理解集合、元素、集合的包含、子集、相等,以及全集、空集和幂集等概念,熟练掌握集合的表示方法.
具有确定的,可以区分的若干事物的全体称为集合,其中的事物叫元素.
集合的表示方法:
列举法和描述法.
注意:
集合的表示中元素不能重复出现,集合中的元素无顺序之分.
掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念.
注意:
元素与集合,集合与子集,子集与幂集,空集与所有集合的关系:
空集是惟一的,它是任何集合的子集.
集合A的幂集P(A)=
,A的所有子集构成的集合.若|A|=n,则|P(A)|=2n.
2.熟练掌握集合A和B的并、交,补集A补集总相对于一个全集).差集A-B,对称差等运算,并会用文氏图表示.
掌握集合运算律(运算的性质).
3.掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法.
集合的运算问题:
其一是进行集合运算;
其二是运算式的化简;
其三是恒等式证明.
证明方法有二:
(1)要证明A=B,只需证明A是B的子集,又B是A的子集;
(2)通过运算律进行等式推导.
4.了解有序对和笛卡儿积的概念,掌握笛卡儿积的运算.
有序对就是有顺序二元组,如<
x,y>
,x,y的位置是确定的,不能随意放置.
有序对<
a,b>
<
b,a>
,以a,b为元素的集合{a,b}={b,a};
有序对(a,a)有意义,而集合{a,a}是单元素集合,应记作{a}.
集合A,B的笛卡儿积A×
B是一个集合,规定A×
B={<
x,y>
xA,yB},是有序对的集合.笛卡儿积也可以多个集合合成,A1×
A2×
…×
An.
5.理解关系的概念:
二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图,掌握关系的集合运算和求复合关系、逆关系的方法.
二元关系是一个有序对集合,
,记作xRy.
关系的表示方法有三种:
集合表示法,
关系矩阵:
RA×
B,R的矩阵
.
关系图:
R是集合上的二元关系,若<
ai,bj>
R,由结点ai画有向弧到bj构成的图形.
空关系是唯一、是任何关系的子集的关系;
全关系
;
恒等关系
,恒等关系的矩阵MI是单位矩阵.
关系的集合运算有并、交、补、差和对称差.
复合关系
复合关系矩阵:
(按布尔运算);
有结合律:
(RS)T=R(ST),一般不可交换.
逆关系
逆关系矩阵满足:
6.理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示),掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图,充分条件),知道关系闭包的定义和求法.
注:
(1)关系性质的充分必要条件:
R是自反的;
R是反自反的;
R是对称的;
R是反对称的;
R是传递的.
(2)IA具有自反性,对称性、反对称性和传递性.EA具有自反性,对称性和传递性.故IA,EA是等价关系.具有反自反性、对称性、反对称性和传递性.IA也是偏序关系.
7.理解等价关系和偏序关系概念,掌握等价类的求法和作偏序集哈斯图的方法.知道极大(小)元,最大(小)元的概念,会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界.
等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系.
知道等价关系图的特点和等价类定义,会求等价类.
一个子集的极大(小)元可以有多个,而最大(小)元若有,则惟一.且极元、最元只在该子集内;
而上界与下界可以在子集之外.由哈斯图便于确定任一子集的最大(小)元,极大(小)元.
8.理解函数概念:
函数(映射),函数相等,复合函数和反函数.理解单射、满射和双射等概念,掌握其判别方法.
函数是一种特殊的关系.集合A×
B的任何子集都是关系,但不一定是函数.函数要求对于定义域A中每一个元素a,B中有且仅有一个元素与a对应,而关系没有这个限制.
二函数相等是指:
定义域相同,对应关系相同,而且定义域内的每个元素的对应值都相同.
函数有:
单射——若
满射——f(A)=B或
使得y=f(x);
双射——单射且满射.
复合函数
即
.
复合成立的条件是:
.一般
,但
反函数——若f:
AB是双射,则有反函数f-1:
BA,
,
关系概念与其性质,等价关系和偏序关系,函数.
图论部分
1.理解图的概念:
结点、边、有向图,无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理.
图是一个有序对<
V,E>
,V是结点集,E是联结结点的边的集合.
掌握无向边与无向图,有向边与有向图,混合图,零图,平凡图、自回路(环),无向平行边,有向平行边等概念.
简单图,不含平行边和环(自回路)的图、
在无向图中,与结点v(V)关联的边数为结点度数
(v);
在有向图中,以v(V)为终点的边的条数为入度
-(v),以v(V)为起点的边的条数为出度
+(v),deg(v)=deg+(v)+deg-(v).
无向完全图Kn以其边数
有向完全图以其边数
了解子图、真子图、补图和生成子图的概念.
生成子图——设图G=<
V,E>
,若EE,则图<
是<
的生成子图.
知道图的同构概念,更应知道图同构的必要条件,用其判断图不同构.
重要定理:
(1)握手定理设G=<
,有
(2)在有向图D=<
中,
(3)奇数度结点的个数为偶数个.
2.了解通路与回路概念:
通路(简单通路、基本通路和复杂通路),回路(简单回路、基本回路和复杂回路).会求通路和回路的长度.基本通路(回路)必是简单通路(回路).
了解无向图的连通性,会求无向图的连通分支.了解点割集、边割集、割点、割边等概念.了解有向图的强连通强性;
会判别其类型.
设图G=<
,结点与边的交替序列为通路.通路中边的数目就是通路的长度.起点和终点重合的通路为回路.边不重复的通路(回路)是简单通路(回路);
结点不重复的通路(回路)是基本通路(回路).
无向图G中,结点u,v存在通路,u,v是连通的,G中任意结点u,v连通,G是连通图.P(G)表示图G连通分支的个数.
在无向图中,结点集VV,使得P(G-V)>
P(G),而任意VV,有P(G-V)=P(G),V为点割集.若V是单元集,该结点v叫割点;
边集EE,使得P(G-V)>
P(G),而任意EE,有P(G-E)=P(G),E为边割集.若E是单元集,该边e叫割边(桥).
要知道:
强连通
单侧连通
弱连通,反之不成立.
3.了解邻接矩阵和可达矩阵的概念,掌握其构造方法及其应用.
重点:
图的概念,握手定理,通路、回路以及图的矩阵表示.
4.理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念,掌握欧拉图的判别方法.
通过连通图G的每条边一次且仅一次的通路(回路)是欧拉通路(回路).存在欧拉回路的图是欧拉图.
欧拉回路要求边不能重复,结点可以重复.笔不离开纸,不重复地走完所有的边,走过所有结点,就是所谓的一笔画.
欧拉图或通路的判定定理
(1)无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(即G的所有结点为偶数度);
(2)非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇数度的结点;
(3)连通有向图D含有有向欧拉回路D中每个结点的入度=出度.
连通有向图D含有有向欧拉通路D中除两个结点外,其余每个结点的入度=出度,且此两点满足deg-(u)-deg+(v)=1.
5.理解汉密尔顿通路(回路)、汉密尔顿图的概念,会做简单判断.
通过连通图G的每个结点一次,且仅一次的通路(回路),是汉密尔顿通路(回路).存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图.
汉密尔顿图的充分条件和必要条件
(1)在无向简单图G=<
中,V3,任意不同结点
,则G是汉密尔顿图.(充分条件)
(2)有向完全图D=<
若
,则图D是汉密尔顿图.(充分条件)
(3)设无向图G=<
,任意V1V,则W(G-V1)V1(必要条件)
若此条件不满足,即存在V1V,使得P(G-V!
)>
V1,则G一定不是汉密尔顿图(非汉密尔顿图的充分条件).
6.了解平面图概念,平面图、面、边界、面的次数和非平面图.掌握欧拉公式的应用.
平面图是指一个图能画在平面上,除结点之外,再没有边与边相交.
面、边界和面的次数
等概念.
重要结论:
(1)平面图
(2)欧拉公式:
平面图
面数为r,则
(结点数与面数之和=边数+2)
(3)平面图
会用定义判定一个图是不是平面图.
7.理解平面图与对偶图的关系、对偶图在图着色中的作用,掌握求对偶图的方法.
给定平面图G=〈V,E〉,它有面F1,F2,…,Fn,若有图G*=〈V*,E*〉满足下述条件:
⑴对于图G的任一个面Fi,内部有且仅有一个结点vi*∈V*;
⑵对于图G的面Fi,Fj的公共边ek,存在且仅存在一条边ek*∈E*,使ek*=(vi*,vj*),且ek*和ek相交;
⑶当且仅当ek只是一个面Fi的边界时,vi*存在一个环ek*和ek相交;
则图G*是图G的对偶图.
若G*是G的对偶图,则G也是G*的对偶图.一个连通平面图的对偶图也必是平面图.
8.掌握图论中常用的证明方法.
欧拉图和哈密顿图、平面图的基本概念及判别.
9.了解树、树叶、分支点、平凡树、生成树和最小生成树等概念,掌握求最小生成树的方法.
连通无回路的无向图是树.树的判别可以用图T是树的充要条件(等价定义).
(1)树T是连通图;
(2)树T满足m=n-1(即边数=顶点数-1).
图G的生成子图是树,该树就是生成树.
每边指定一正数,称为权,每边带权的图称为带权图.G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权,记作W(T).最小生成树是带权最小的生成树.
10.了解有向树、根树、有序树、二叉树、二叉完全树、正则二叉树和最优二叉树等概念.了解带权二叉树、最优二叉树的概念,掌握用哈夫曼算法求最优二叉树的方法.
有向图删去边的方向为树,该图为有向树.对非平凡有向树,恰有一个结点的入度为0(该结点为树根),其余结点的入度为1,该树为根树.每个结点的出度小于或等于2的根树为二叉树;
每个结点的出度等于0或2的根树为二叉完全树;
每个结点的出度等于2的根树称为正则二叉树.
有关树的求法:
(1)生成树的破圈法和避圈法求法;
(2)最小生成树的克鲁斯克尔求法;
(3)最优二叉树的哈夫曼求法
树与根树的基本概念,最小生成树与最优二叉树的求法.
代数结构部分
1.二元运算(定义,封闭性)、运算表
2.各种定律(交换、结合、幂等、分配、吸收、消去、幺元、零元、逆元)
3·
代数系统、子代数、积代数(定义、特殊元素、代数常数)
4·
同态与同构(同态等式、证明)
5·
半群、独异点
6·
群、子群、阿贝尔群、生成子群、元素的阶(周期)、循环群(定义与证明)·
环、含幺环、零因子、无零因子环、整环、除环与域
7·
格(两种定义)、分配格、有界格、布尔格(判断)
练习题
数理逻辑部分
(一)
1.填空题
(1)公式(pq)(pq)的成真赋值为__________________;
(2)设p,r为真命题,q,s为假命题,则复合命题(pq)(rs)的真值为________;
(3)设p,q均为命题,在_________________________条件下,p与q的排斥或也可以写成p与q的相容或;
(4)公式(pq)与(pq)(pq)共同的成真赋值为____________;
(5)设A为任意的公式,B为重言式,则AB的类型为______________.
2.将下列命题或语句符号化
(1)
不是无理数是不对的;
(2)小刘既不怕吃苦,又很钻研;
(3)只有不怕困难,才能战胜困难;
(4)只要别人有困难,老王就帮助别人,除非困难解决了;
(5)整数n是偶数当且仅当n能被2整除.
3.求复合命题的真值
p:
2能整除5,q:
旧金山是美国的首都,r:
一年分四季.
(1)((pq)r)(r(pq));
(2)((qp)(rp))((pq)r).
4.判断推理是否正确
设y=2|x|,x为实数.推理如下:
若y在x=0可导,则y在x=0连续.y在x=0连续.所以,y在x=0可导.
5.判断公式的类型
(1)((pq)((pq)(pq)))r;
(2)(p(qp))(rq);
(3)(pr)(qr).
(二)
1.填空题.
(1)设A为含命题变项p、q、r的重言式,则公式A((pq)→r)的类型为___________;
(2)设B为含命题变项p、q、r的矛盾式,则公式B((pq)→r)的类型为___________;
(3)设p、q为命题变项,则(pq)的成真赋值为________________;
(4)设p、q为真命题,r、s为假命题,则复合命题(pr)(q→s)的真值为___________;
(5)矛盾式的主析取范式为_________________;
(6)设公式A含命题变项p、q、r,又已知A的主合取范式为M0M2M3M5,则A的主析取范式为_______________________________.
2.用等值演算法求公式的主析取范式或主合取范式
(1)求公式p→((qr)(p(qr)))的主析取范式;
(2)求公式((p→q))(q→p)的主合取范式;
(3)求公式((pq)(p→q))(q→p)的主析取范式,再由主析取范式求出主合取范式.
3.用真值表求公式(p→q)r的主析取范式
4.将公式p→(q→r)化成与之等值且仅含{,}中联结词的公式.
5.用主析取范式判断(pq)与((pq)((pq))是否等值.
6.用消解原理证明p(pq)(r)(pqr)是矛盾式.
(三)
(1)(AB)B_____________为拒取式推理定律;
(2)(AB)B______________为析取三段论推理定律;
(3)(AB)(BC)_________________为假言三段论推理定律;
(4)(AB)A________________为假言推理定律.
2.判断推理是否正确,并证明之(方法不限)
(1)如果王红学过英语和法语,则她也学过日语.可她没有过日语,但学过法语.所以,她也没学过英语;
(2)若小李是文科学生,则他爱看电影.小李不是文科学生.所以,他不爱看电影.
(3)设y=2|x|,x为实数.推理如下:
若y在x=0可导,则y在x=0连续.y在x=0连续.所以,y在x=0可导.
3.在自然推理系统P中,用直接证明法构造下面推理的证明
(1)前提:
(pq),q→r,r
结论:
p
(2)前提:
p→r,q→s,p,q
rs
4.在自然推理系统P中,用附加前提证明法证明下面推理.
p(qr),s→p,q
r→s
p→q,pr,q→s
s→r
5.在自然推理系统P中,用归谬法证明下面推理.
前提:
p→(q→r),pq
6.在自然推理系统P中,构造下面用自然语言给出的推理.
若小张喜欢数学,则小李或小赵也喜欢数学.若小李喜欢数学,则他也喜欢物理.小张确实喜欢数学,可小李不喜欢物理.所以,小赵喜欢数学.
(四)
1.填空题
2.
(1)设F(x):
x具有性质F,G(x):
x具有性质G.命题“对所有的x而言,若x有性质F,则x就有性质G”的符号化形式为__________________________;
(2)设F(x):
x具有性质G.命题“有的x既有性质F、又有性质G”的符号化形式为__________________________;
(3)设F(x):
x具有性质F,G(y):
y具有性质G.命题“若所有的x都有性质F,则所有的y都有性质G”的符号化形式为__________________________;
(4)设F(x):
y具有性质G.命题“若存在x具有性质F,则所有的y都没有性质G”的符号化性质为__________________________;
(5)设A为任意的一阶逻辑公式,若A中_________________,则称A为封闭的公式;
(6)在一阶逻辑中将命题符号化时,若没指明个体域,则使用________________个体域.
2.用0元谓词将下列命题符号化
(1)只要4不是素数,3就是素数;
(2)只有2是偶数,4才是偶数;
(3)5是奇数当且仅当5不能被2整除.
3.在一阶逻辑中将下列命题符号化
(1)所有的整数,不是负整数,就是正整数,或者是0;
(2)有的实数是有理数,有的实数是无理数;
(3)发明家都是聪明的并且是勤劳的.王前进是发明家.所以,王前进是聪明的并且是勤劳的.
4.在一阶逻辑中,将下列命题符号化
(1)实数不都是有理数;
(2)不存在能表示成分数的无理数.
5.在一阶逻辑中,将下列命题符号化
(1)若x与y都是实数且x>
y,则x+2>
y+2;
(2)不存在最大的自然数.
6.证明题
(1)证明x(F(x)G(x))y(H(y)R(y))为可满足式、但不是永真式;
(2)证明(xF(x)yG(y))yG(y)xF(x)为永真式.
(五)
(1)xyF(x,y)的前束范式为_______________________;
(2)由量词量词分配等值式,x(A(x)B(x))________________;
(3)缩小量词的辖域,x(F(x)B)________________;
(4)公式((yG(x)xF(x))yG(y))xF(x)的类型为_____________________;
(5)取解释I为:
个体域为D={a},F(x):
x具有性质F,在I下xF(x)xF(x)的真值为_________;
(6)前提:
xyF(x,y)
yF(y,y)
以上推理是错误的,某学生却给出了如下证明:
①xyF(x,y)前提引入
②yF(y,y)①
此证明错在_____________________.
2.在有限个体域内消去量词.
(1)个体域D={1,2,3},公式为
xy(F(x)G(y))
(2)个体域D={a,b},公式为
xy(F(x,y)G(y,x))
3.求前束范式.
(1)x(F(x,y)y(G(x,y)zH(x,y,z)));
(2)(xF(x,y)yG(x,y,z))zH(z).
4.在自然推理系统NL中,构造下面推理的证明.
xy(F(x)G(y)),F(a)
xG(x)
x(F(x)y(G(y)H(x))),xF(x)
x(F(x)G(x)H(x))
5.在自然推理系统F中,构造下面用自然语言描述的推理.
火车都比汽车快,汽车都比轮船快,a是火车,b是汽车,c是轮船.所以,a比b快,b比c快.
(六)
(1)设A={2,a,{3},4},B={,4,{a},3},则AB=______________________________;
(2)设A={{{1,2}},{1}},则P(A)=__________________________________________;
(3)设X,Y,Z为任意集合,且XY={1,2,3},XZ={2,3,4},若2Y,则一定有_______;
A.1ZB.2ZC.3ZD.4Z
(4)下列命题中为真的是________________________________________________;
A.{a,{b}}{{a,{b}}}B.P({,{}})C.{a}XaX
D.XY=YX=E.XY=XXY
(5)设[0,1]和(0,1)分别表示实数集上的闭区间和开区间,则下列命题中为真的是
_____________________________________;
A.{0,1}(0,1)B.{0,1}[0,1]
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