全等三角形.docx

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全等三角形

三角形

一、认识三角形

（一）三角形的概念、性质

【例1】如图，图中一共有________个三角形，其中以AE为边的三角形有_________个，

它们分别是____________________．

【例2】如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）

A、两点之间线段最短B、两点确定一条直线

C、三角形的稳定性D、垂线段最短

练习

1、图中一共有多少个三角形，请用符号将他们表示出来

2、如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（   ） 

A、两点之间线段最短    B、矩形的对称性

C、矩形的四个角都是直角  D、三角形的稳定性

（二）三角形的三边关系

【例1】下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（  ）

A、1cm，2cm，3cm      B、3cm，4cm，5cm

C、5cm，7cm，13cm     D、7cm，7cm，15cm 

【例2】如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是（）

 A、6

【例3】已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为（   ） 

A、9 B、12 C、15  D、12或15

【例4】已知三角形三边长为a，b，c，且丨a+b-c丨+丨a-b-c丨=10，求b的值

练习

1、长为10、7、5、3的四跟木条，选其中三根组成三角形有____________种选法

2、已知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3，5，x为边能组成____________个三角形

3、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是______________

4、已知a,b,c为△ABC的三边,则化简|a+b–c|+|b–c–a|-丨c-a-b丨的结果是_____________

5、已知三角形的两边长分别为9和2

（1）求三角形的周长范围；

（2）若周长是偶数，求第三边的长。

6、P是△ABC内一点,说明PA+PB+PC>（AB+BC+AC）

（三）三角形的内角、外角

【例1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，求∠β的度数

【例2】如图所示，AE∥BD，∠1=95°，∠2=28°，求∠C的度数

【例3】三角形的三个内角之比为2∶2∶3，则此三角形为（）

A、锐角三角形B、钝角三角形

C、直角三角形D、等边三角形

练习

1、把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角_______度．

第1题第2题

2、如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（　　）

A、∠2＞∠1＞∠3B、∠1＞∠3＞∠2

C、∠3＞∠2＞∠1D、∠1＞∠2＞∠3

3、在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，则此三角形是（）

A、锐角三角形B、直角三角形

C、钝角三角形D、等腰三角形

4、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数

（四）与三角形有关的线

1、高

【例1】如图，△ABC的高AD、BE交于点O，则△AOB中，BO边上的高为_______；

△ADC中，AD边上的高为________；

若AD=4cm，BC=8cm，AC=6cm，则BE=______cm

练习

1、如图，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C，AC与BD交于E，那么

（1）△ADE的边DE上的高是______；AE上的高是______；

（2）若AE=5，DE=2，CD=，求AB的长。

2、中线、等分线

【例】如图所示,AD是△ABC的中线,E为BC边上的三等分点，若用表示△ABD的面积,

用表示△ACD的面积,表示△ACE的面积，则、与的大小关系是（）

A、＞B、=2

C、2=3D、以上三种情况都可能

练习

1、如图，AD、AE分别是△ABC的中线、高，且AB=5，AC=3，则

（1）△ABD与△ACD的周长的差是_______；

（2）△ACD与△ABD的面积关系为________；

（3）若在BC边上有一点F，使得△ABF=2△ACF,

且△ABF的周长比△ACF大4，则BC=_______

3、角平分线

【例】如图，若上∠1=∠2、∠3=∠4，下列结论中错误的是（    ） 

A、AD是△ABC的角平分线 B、CE是△ACD的角平分线 

C、∠3=∠ACB  D、CE是△ABD的角平分线 

练习

1、如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，CF⊥AD于H．下面判断：

①AD是△ABE的角平分线；

②BE是△ABD的边AD上的中线；

③CH是△ACD的边AD上的高；

④AH是△ACF的角平分线和高．其中正确的有               

（    ） 

A．1个      B．2个    C．3个      D．4个 

2、如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝118°，

则∠A的大小是_________

4、三角形的中位线

【例1】如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．

【例2】如图所示，在□ABCD中，点O为对角线AC，BD的中点，OE∥BC交CD于E，

若OE=3cm，则AD的长为（）．

A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm

【例3】如图，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．试说明：

（1）DE∥BC．

（2）DE=（BC-AC）．

练习

1、如图所示，在直角△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．

（五）多边形及其内角和

知识点总结：

1、n边形的内角和等于180°（n-2）；边数每增加1，内角和增加180°；

2、多边形的外角和等于360°，多边形的外角和与边数无关；

3、正n边形的每个外角等于；

4、n边形的每个顶点有n-3条对角线，对角线总条数为

【例1】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形有_______条边

【例2】一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）

A．内角和增加360°B．外角和增加360°

C．对角线增加一条D．内角和增加180°

【例3】一个多边形的外角中，最多有______个钝角

练习

1、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，

则图中阴影部分的面积之和为平方单位．

2、小明求一个多边形的内角和时，误将一个外角加进来，最后的结果是2017°，求这个外角的度数。

3、已知m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，

求式子的值

二、全等三角形的判定（基础篇）

（一）全等三角形的性质：

面积、周长相等，对应边、角、线段相等

（二）全等三角形的判定方法：

（1）一般三角形：

边边边（SSS）、边角边（SAS）、角角边（AAS）、角边角（ASA）、

（2）直角三角形：

斜边、直角边（HL）

【例】如图，给出下列四组条件：

①；②；

③；④．

其中，能使的条件共有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

1、边边边（SSS）

【例1】如图，已知AB=AD，CB=CD,那么∠B=∠D吗？

请说明理由？

【例2】如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：

∠B=∠C

练习

1、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：

△ABC≌△DCB

2、边角边（SAS）

【例】已知：

如图所示，AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，求证：

△ABD≌△ACE.

练习

1、如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

2、如图，AC与DB交于点M且AC=DB，△MBC为等腰三角形．

（1）求证：

∠ABC=∠DCB；

3、角角边（AAS）、角边角（ASA）

【例】如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且∠1=∠2，

求证：

BD=CE。

练习

1、如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：

BE=CF．

2、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：

AM=DM；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

（3）若连接MN，试判断MN和BC的关系，说明你的理由

4、斜边、直角边（HL）

【例】1、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

练习

1、如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF。

（1）求证：

Rt△ABE≌△CBF；

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数。

【例5】如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：

AD⊥BC．

练习

1、某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）

A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②③去

2、如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

3、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=90°，则∠C的度数为（）

A．30°B．40°

C．50°D．60°

4、如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）

A、∠B=∠E,BC=EFB、BC=EF，AC=DF

C、∠A=∠D，∠B=∠ED、∠A=∠D，BC=EF

5、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.

恒成立的结论有_______________________

6、如图，以△ABC的AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，BE与CD相交于点F．

（1）求证：

BE=DC；

（2）求∠BFC的度数．

（3）连接AF，试证明AF平分∠DFE。

7、如图：

BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。

求证：

（1）AM=AN；

（2）AM⊥AN。

8、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

求证：