一元二次方程知识点和易错点总结Word文件下载.docx
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注意:
1、一元二次方程必须同时满足以下三点:
①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是
2、同时还要注意在判断时,需将方程化成一般形式。
例下列关于x的方程,哪些是一元二次方程?
2
⑴二3:
⑵x26x0;
(3).xx5;
(4)x20;
(5)2x(x3)2x21
x5
知识点二一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为ax2bxc0(a,b,c是已知数,a0)。
其中a,b,c
分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号。
(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一
般形式。
(3)形如ax2bxc0不一定是一元二次方程,当且仅当a0时是一元二次方程。
例1已知关于x的方程m1xm2mix20是一兀二次方程时,则m
知识点三一兀二次方程的解
使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,女口:
当x2时,x23x20所
以x2是x23x20方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
知识点四建立一元二次方程模型
建立一元二次方程模型的步骤是:
审题、设未知数、列方程。
(1)审题过程是找出已知量、未知量及等量关系;
(2)设未知数要带单位;
(3)
建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。
例如图
(1),有一个面积为150川的长方形鸡场,
鸡场一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成,
因式分解法、直接开平方法
知识点一因式分解法解一元二次方程
如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即若pq=O时,则p=0或q=0用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程的右边化为0;
(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
(3)令每个因式分别为0,得两个一元一次方程。
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。
关键点:
(1)要将方程右边化为0;
(2)熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有:
提公式法,公式法(平方差公式,完全平方公式)等。
例用因式分解法解下列方程:
(1)5x24x;
(2)(2x23)250;
(3)x26x952x2。
知识点二直接开平方法解一元二次方程
(3)mxn2cm0,且c0的解是x————-。
m
例用直接开平方法解下列一元二次方程
222
(1)9x2160;
(2)x5160;
(3)x53x1(因式分解)
知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程
形如axbk0k0的方程,既可用因式分解法分解,也可用直接开平方法解。
例运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。
o2
(1)4x5360;
(2)12x30
知识点四用提公因式法解一元二次方程
把方程左边的多项式(方程右边为0时)的公因式提出,将多项式写出因式的乘积形式,然后利用“若pq=O时,则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法,称为提公因式法。
如:
0.01t22t0,将原方程变形为t0.01t20,由此可得出
t0或O.Ot20,即卩t10,t2200
在解方程时,千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子,否则可能丢失原方程的根。
知识点五形如“x2abxb0a,b为常数”的方程的解法。
对于形如“x2abxb0a,b为常数”的方程(或通过整理符合其形式的),
可将左边分解因式,方程变形为xaxb0,则xa0或xb0,即x-ia,x2b。
应用这种方法解一元二次方程时,要熟悉“X2abxb0a,b为常数”型方程的特征。
例解下列方程:
(1)x25x60;
(2)x2x120
配方法
知识点一配方法
解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方,配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
用配方法解一元二次方程x2pxq0,当对方程的左边配方时,一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,还要再减去这个数。
例用配方法解下列方程:
(1)x26x50;
(2)x27x20
知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:
(1)在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数;
(2)把原方程变为xm2n的形式。
(3)若n0,用直接开平方法求出x的值,若n<
0,原方程无解。
x24x30
知识点三用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
当一元二次方程的形式为ax2bxc0a0,a1时,用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)先把二次项的系数化为1:
方程的左、右两边同时除以二项的系数;
(2)移项:
在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数,把原方程
化为xm2n的形式;
(3)若n0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。
(1)3x29x20;
(2)x24x30
用求根公式法解一元二次方程的步骤是:
(1)把方程化为ax2bxc0a0的形式,确定
例用公式法解下列方程
(1)2x23x10;
(2)2xx、210;
(3)x2x250
知识点二选择适合的方法解一元二次方程
直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式,右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程
因式分解要求方程右边必须是0,左边能分解因式;
公式法是由配方法推导而来的,要比配方法简单。
一元二次方程解法的选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法,不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法,因为配方法解题比较麻烦。
例用适当的方法解下列一元二次方程:
/八222
(1)2x392x3;
(2)x8x60;
(3)x2(x1)0
知识点三一元二次方程根的判别式
1)
△=b2
4ac>
0
方程有两个不相等的实数根;
2)
4ac=0
方程有两个相等的实数根;
3)
4acv0
方程没有实数根;
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤:
①把所有一元二次方程化为一般形式;
②确定a,b.c的值;
③计算b24ac的值;
④根据b24ac的符号判定方程根的情况。
例不解方程,判断下列一元二次方程根的情况:
(1)2x23x50;
(2)9x230x25;
(3)x26x100
知识点四根的判别式的逆用
在方程ax2bxc0a0中,
(1)方程有两个不相等的实数根b24ac>
(2)方程有两个相等的实数根b24ac=0
(3)方程没有实数根b24acv0
逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围,但不能忽略二次项系数不为0这一条件。
例m为何值时,方程2m1x24mx2m30的根满足下列情况:
(1)有两个不相等的实数;
(2)有两个相等的实数根;
(3)没有实数根;
若Xi,X2是一元二次方程ax2bxc0a0的两个根,则有x1x2-,x1x2-
aa
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系:
(1)
X1
X2
2小
x22x1x2
⑵丄
1x1x2
X2X1x2
(X1
a)(X2
a)
X1X2aX1
X2a
(4)
1X1
X21
=
X1X22=X1
x224x1x2
例已知方程2x25x30的两根为Xi,X2,不解方程,求下列各式的值
(1)XiX2;
(2)XiX2。
知识点六根据代数式的关系列一元二次方程
利用一元二次方程解决有关代数式的问题时,要善于用一元二次方程表示题中的数量关系
(即列出方程),然后将方程整理成一般形式求解,最后作答。
例当X取什么值时,代数式x2x60与代数式3x2的值相等?
一元二次方程的应用
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤
(1)审题,
(2)设未知数,(3)列方程,(4)解方程,(5)检验,(6)作答
找出题中的等量关系。
知识点二用一元二次方程解与增长率(或降低率)有关得到问题
增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法:
(1)若基数为a,增长率x为,则一次
增长后的值为alx,两次增长后的值为alx2;
(2)若基数为a,降低率x为,则一次降
例某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨,设这两年的年平均增长率为x,列出
关于x的方程为
知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题
与市场经济有关的问题:
营销问题、水电问题、水利问题等。
与利润相关的常用关
系式有:
(1)每件利润=销售价-成本价;
(2)利润率=(销售价一进货价)*进货价X100%
(3)销售额二售价X销售量
例某商店如果将进货价为8元的商品每件10元售出,每天可售200件,现在采取提高售价,减少进货价的方法增加利润,已知这种商品每涨价元,其销量减少10件。
(1)要使每天获得700元,请你帮忙确定售价。
(2)当售价定为多少时,能使每天获得的利润最多?
并求出最大利润。
易错知识辨析:
(1)判断一个方程是不是一元二次方程,应把它进行整理,化成一般形式后再进行判断,
(2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式
(3)用配方法时二次项系数要化1.
(4)用直接开平方的方法时要记得取正、负
一元二次方程测试题
、选择题
1、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m-3m+2=0有一个根为0,贝Um的值等于()
45万吨提升到50万吨,
2、巴中日报讯:
今年我市小春粮油再获丰收,全市产量预计由前年的
设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x,则可列方程为(
3、
4、
A.45
已矢口a,
A.n2
22
2x50B.45(1x)50C.50(1x)45D.45(1
b是关于x的一元二次方程x2nx1
B.n22C.
n22
2x)
0的两实数根,则式子-
a
D.n22
50
-的值是()
b
已知a、b、c分别是三角形的三边,
则方程
(a+b)x+2cx+(a+b)
=0的根的情况
A.没有实数根
B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
5、
已知是方程的两根,且,贝U的值等于
A.—5
6、
已知方程有一个根是,则下列代数式的值恒为常数的是(
A.
8、
关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是(
9、某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全
班共送了2450张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为()
Ax(x1)
2450B、x(x1)2450
C、
2x(x1)2450D
、x(x1)2450
10、若关于x的-
一兀二次方程k1xx
k2
0的一个根为1,
则k的值为()
A.—1
B.0C
.1
D.
0或1
11、设是方程的两个实数根,则的值为(
)
A.2006
B.2007C.2008
D.2009
2
12、对于一元二次方程ax+bx+c=O(a^0),下列说法:
1若a+c=0,方程ax2+bx+c=O必有实数根;
2若b2+4ac<
0,则方程ax+bx+c=O一定有实数根;
3若a-b+c=0,则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根;
4若方程ax2+bx+c=O有两个实数根,贝U方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根.
其中正确的是()
A.①②B.①③C.②③D.①③④
二、填空题
1、若一元二次方程x2—(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b,则a+b=.
2、设Xi,X2是一元二次方程x2+4x—3=0的两个根,贝UX;
x;
=.
3、方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是
4、已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,求的值为.
5、在等腰△ABC中,三边分别为、、,其中,若关于的方程有两个相等的实数根,则△ABC
的周长为.
6、已知关于的一元二次方程(为常数).设Xi,X2为方程的两个实数根,且,则K的值
为.
7、已知m、n是方程x2003x20040的两根,则(n2004n2005)与
(m2004m2005)的积是
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