山东省莱芜市学年第一学期期末考试高三数学试题.docx
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山东省莱芜市学年第一学期期末考试高三数学试题
山东省莱芜市2017-2018学年第一学期期末考试
高三数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,本试卷为文理合卷,注明(文)的文科做,注明(理)的理科做,不注明文理都做。
共150分,考试时间为120分钟。
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
3.第Ⅰ卷不交,请妥善保存,只交第Ⅱ卷和答题卡。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的。
1.已知全集=()
A.{0,1}B.{0}C.{1}D.
2.已知处的导数值为()
A.-1B.1C.D.-
3.已知上减函数,则满足的实数的取值范围是()
A.(-,1)B.(2,+)
C.(-,1)(2,+)D.(1,2)
4.(文)若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=,则b=()
A.(-1,2)B.(-3,6)
C.(3,-6)D.(-3,6)或(3,-6)
(理)已知向量a=,则a与b的夹角为()
A.B.
C.D.
5.已知一个几何体的三视图(由单位正方形组成)
如图,则这个几何体的体积是()
A.7B.8
C.9D.10
6.若,则的
值为()
A.B.C.D.
7.在等差数列的值为()
A.12B.14C.16D.18
8.函数的图象经过原点,且它的导函数的图象是如图所示的一条直线,则的图象不经过()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
9.已知函数,则函数图象的一条对称轴方程是()
A.B.C.D.
2,4,6
10.设a,b,c均为正数,且则()
A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c
11.已知两条直线m,n,两个平面,给出下面四个命题:
①②
③④
其中正确命题的序号是()
A.①③B.②④C.①④D.②③
12.定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质:
(1)2*2006=1;
(2)(2n+2)*2006=3[(2n)*2006],则2010*2006的值是()
A.31002B.31003C.31004D.31005
二、填空题:
本大题共4个小题,每小题4分,共计16分。
把答案填在题中横线上。
13.设是奇函数,则使的x的取值范围是。
14.已知数列的前n项和为Sn,且有=
。
15.在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边。
若a=2,则边长c=。
16.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1,
过A点作平面A1BD的垂线,垂足为点H,
有下列三个命题:
①点H是△A1BD的中心;
②AH垂直于平面CB1D1
③AC1与B1C所成的角是90°
其中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)。
三、解答题:
本大题共6小题,满分74分。
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
17.(本小题满分12分)已知函数的定义域为集合A,函数的定义域为集合B
(1)当m=3时,求;
(2)若,求实数m的值。
18.(本小题满分12分)已知向量。
(1)求函数的最小正周期与单调递减区间;
(2)当时,求函数的值域。
19.(本小题满分12分)电视台某广告公司特约播放两部片集,其中片集甲每片播放时间为20分钟,广告时间为1分钟,收视观众为60万;片集乙每片播放时间为10分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万,广告公司规定每周至少有6分钟广告,而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间)。
(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集,才能使收视观众最多。
(2)在获得最多收视观众的情况下,片集甲、乙每集可分为给广告公司带来的a和b(万元)的效益,若广告公司本周共获得1万元的效益,记为效益调和指数,求效益调和指数的最小值。
(取)
20.(本小题满分20分)如图,在三棱锥S—ABC中,SC⊥平面ABC,点P、M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,∠ACB=90°,直线AM与直线SC所成的角为60°。
(1)求证:
平面MAP⊥平面SAC。
(2)(文)求二面角M—AC—B的平面角的正切值;
(理)求二面角M—AB—C的平面角的余弦值;
(3)(文)求多面体PMABC的体积。
(理)求AP和CM所成角的余弦值。
21.(本小题满分12分)已知由正数组成的两个数列,如果是关于x的方程的两根。
(1)求证:
为等差数列;
(2)已知分别求数列的通项公式;
(3)求数。
22.(本小题满分14分)
设定义在R上的函数同时满足下列三个条件:
①函数的图象关于点(2,0)对称;
②(理科)
(文科)函数的图象过点P(3,-6)
③函数处取得极值,且||=4
(1)求的表达式;
(2)求过点P(-3,6)与函数的图象相切的直线方程;
(3)(理科做)若
山东省莱芜市2017-2018学年第一学期期末考试
高三数学试题参考答案
一、选择题
2,4,6
1.B2.D3.C4.B(文)A(理)5.C6.C7.A8.A9.B10.B11.B12.C
二、填空题:
13.(0,1)14.3·15.16.①②③
三、解答题:
17.解:
…………………………2分
(1)当m=3时,,………………3分
则CRB=,…………………………5分
…………………………7分
(2),
∴有42+2·4-m=0,解得m=8,……………………10分
此时B={x|-2 18.解: = ………………………………5分 (1)的最小正周期为π,………………6分 单调递减区间为………………9分 (2)由……………………10分 的值域为……………………………………12分 19.解: (1)设片集甲、乙分别播放x、y集设片集甲、乙分别播放x、y集 则有………………………………3分 要使收视观众最多,则只要Z=60x+20y最大即可. 如图作出可行域, 易知满足题意的最优解为 (2,4),……………………4分 故电视台每周片集甲播出2集,片集乙播出4集,其收视人观众最多,……………7分 (2)由题意得: 2a+4b=1 =11.64………………………………15分 所以效益调和指数的最小值为11.64. ……………………12分 20.(I)∵SC⊥平面ABC,SC⊥BC,又∵∠ACB=90° ∴AC⊥BC,AC∩SC=C,BC⊥平面SAC,…………1分 又∵P,M是SC、SB的中点 ∴PM∥BC,PM⊥面SAC,∴面MAP⊥面SAC,…………1分 (II)(文科)∵AC⊥平面SAC,∴面MAP⊥面SAC.…………3分 ∴AC⊥CM,AC⊥CB,从而∠MCB为二面角M—ACB的平面角, ∵直线AM与直线PC所成的角为60° ∴过点M作MN⊥CB于N点,连结AN, 则∠AMN=60°.……………………4分 在△CAN中,由勾股定理得 在Rt△AMN中, =………………6分 在Rt△CNM中, 故二面角M—AB—C的正切值为.…………………………8分 (理科)如图以C为原点建立如图所示空间直角坐标系C—xyz. 则 ……………………4分 设平面MAB的一个法向量为,则 由 取z=……………………6分 取平面ABC的一个法向量为 则 由图知二面角M—AB—C为锐二面角, 故二面角M—AB—C的余弦值为………………8分 其他方法可参考本解法相应给分。 (3)(文科)多面体PMABC就是四棱锥A—BCPM VPMABC=BA—PMBC= ………………12分 (理科)………………9分 ∴AP与CM所成角的余弦值为………………12分 21.(证明)由: 的两根得 ………………2分 是等差数列……………………4分 (2)由 (1)知 ………………5分 ……………………6分 又符合上式,……………………7分 ……………………8分 (3)① ② ①—②得 ………………10分 ……………………12分 22.解: (1)的图象关于点(2,0)对称 关于(0,0)对称 ∴函数为奇函数……………………1分 ∴………………2分 ①……………………4分 又∵(文科)函数图象过点(3,-6),则-6=27a+3c② (理科) 化简得② ∴由①②解得 ……………………(文科)7分 ………………(理科)6分 (2)∵ 设切点坐标为 ∴切线方程为 即, 由于P(-3,6)在函数图像上,为此方程一根, 解之得………………(文科)10分 ……………………(理科)9分 ∴过点P(-3,6)与函数的图象相切的切线方程为: ………………(文科)14分 ……………………(理科)11分
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