新课标高考数学二轮复习专题3三角函数第2讲解三角形文含答案.docx

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新课标高考数学二轮复习专题3三角函数第2讲解三角形文含答案

第2讲　解三角形

正、余弦定理及其简单应用

1.（2015辽宁沈阳一模）在△ABC中,若=3,b2-a2=ac,则cosB的值为（　B　）

（A）（B）（C）（D）

解析:

由正弦定理及=3可得c=3a,

代入b2-a2=ac可得b2=a2,

所以cosB===.

故选B.

2.（2015大连市高三一模）已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则△ABC的面积为（　C　）

（A）（B）1（C）（D）2

解析:

由a2=b2+c2-bc得bc=b2+c2-a2,

所以cosA==.

又A∈（0,π）,

所以A=.

所以S△ABC=bc·sinA=×4×sin=.

故选C.

3.（2015河南省郑州市第二次质量预测）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且（b-c）（sinB+sinC）=（a-c）·sinA,则角B的大小为（　A　）

（A）30°（B）45°（C）60°（D）120°

解析:

由正弦定理及条件等式可得

（b-c）（b+c）=（a-c）·a

所以a2+c2-b2=ac.

所以cosB==.

又B∈（0°,180°）,

所以B=30°.

故选A.

4.（2015河南三市第三次调研）△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinBcosC+csinBcosA=b,则B=　　　　. 

解析:

由asinBcosC+csinBcosA=b及正弦定理得,

sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB.

因为sinB≠0,

所以sinAcosC+cosAsinC=.

即sin（A+C）=,

所以sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=.

所以B=或.

答案:

或

三角恒等变换与解三角形的综合

5.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosC,bcosB,ccosA成等差数列,则B等于（　C　）

（A）（B）（C）（D）

解析:

因为acosC,bcosB,ccosA成等差数列,

所以acosC+ccosA=2bcosB,

根据正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,

即sin（A+C）=2sinBcosB,

又A+B+C=π,

所以sinB=2sinBcosB,

又sinB≠0,

所以cosB=,

又B∈（0,π）,

所以B=,故选C.

6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,S=（b2+c2-a2）,则B等于（　B　）

（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°

解析:

根据正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,

即sin（A+B）=sinC=sin2C,

因为sinC≠0,

所以sinC=1,即C=90°.

由S=（b2+c2-a2）,得bcsinA=（b2+c2-a2）,

即sinA==cosA,

即tanA=1,

又A∈（0°,180°）,

所以A=45°,

所以B=45°.故选B.

7.（2015东北三校第一次联合模拟）已知△ABC的面积为2,且满足0<·≤4,设和的夹角为θ.

（1）求θ的取值范围;

（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）-cos2θ的取值范围.

解:

（1）设△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,

则由已知bcsinθ=2,0

可得tanθ≥1,所以θ∈[,）.

（2）f（θ）=2sin2（+θ）-cos2θ

=1-cos（+2θ）-cos2θ

=1+sin2θ-cos2θ

=2sin（2θ-）+1.

因为θ∈[,）,

所以2θ-∈[,）,

所以2≤2sin（2θ-）+1≤3.

即当θ=时,f（θ）max=3;

当θ=时,f（θ）min=2,

所以所求函数的取值范围是[2,3].

正、余弦定理的实际应用

8.（2015吉林模拟）一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西45°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时（　D　）

（A）5海里（B）5（-1）海里

（C）10海里（D）10（-1）海里

解析:

如图所示,

依题意有∠BAC=45°,∠BAD=75°,

所以∠CAD=30°,∠CDA=15°,

在△ACD中,

由正弦定理得==20,

则AC=20sin15°=5（-）,

在直角三角形ABC中,

得AB=ACsin45°=5（-1）,

于是这艘船的速度是=10（-1）（海里/小时）.

故选D.

9.已知甲船正在大海上航行,当它位于A处时获知,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达.

（1）试问乙船航行速度的大小;

（2）试问乙船航行的方向（试用方位角表示,结果精确到1°）.

解:

（1）设C与B的距离为x海里,

所用时间为=2（小时）,

则x2=AC2+AB2-2AB·ACcos120°

=102+202+2×20×10×

=700,

所以x=10.

v乙==5（海里/小时）,

所以乙船航行速度为5海里/小时.

（2）设∠ACB=θ,则=,=,

则sinθ=,得θ≈41°,

所以乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处救援.

一、选择题

1.（2013湖南卷）在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于（　D　）

（A）（B）（C）（D）

解析:

根据正弦定理,2sinAsinB=sinB,

所以sinA=,

又△ABC为锐角三角形,

所以A=.故选D.

2.（2015广东卷）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cosA=且b

（A）3（B）2（C）2（D）

解析:

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,即4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0⇒（b-2）（b-4）=0,由b

3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若（a2+c2-b2）tanB=ac,则角B的值是（　B　）

（A）（B）或

（C）或（D）

解析:

由（a2+c2-b2）tanB=ac得a2+c2-b2=,

根据余弦定理得cosB=,

所以cosB==,

即tanBcosB=,

即sinB=,

又B∈（0,π）,

所以B=或B=.

故选B.

4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC等于（　A　）

（A）（B）-（C）±（D）

解析:

因为C=2B,

所以sinC=sin2B=2sinBcosB,

根据正弦定理有=,

所以==,

所以cosB==×=.

所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2×-1=.故选A.

5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列.若sinB=,cosB=,则a+c等于（　C　）

（A）（B）（C）3（D）2

解析:

因为a,b,c成等比数列,

所以b2=ac.

又sinB=,cosB=,

所以cosB==.

所以ac=13.

由余弦定理知,

a2+c2-b2=2accosB=2×13×=24.

所以a2+c2=24+b2=24+ac=24+13=37.

所以（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63.

所以a+c==3.选C.

6.（2015丹东一模）如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于（　B　）

（A）30（+1）m（B）120（-1）m

（C）180（-1）m（D）240（-1）m

解析:

如图,∠DAB=15°,

因为tan15°=tan（45°-30°）==2-.

在Rt△ADB中,

又AD=60,

所以DB=AD·tan15°=60×（2-）=120-60.

在Rt△ADC中,

∠DAC=60°,AD=60,

所以DC=AD·tan60°=60.

所以BC=DC-DB=60-（120-60）=120（-1）（m）.

所以河流的宽度BC等于120（-1）m.

故选B.

7.（2015深圳调研）在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2bcosC,则此三角形一定是（　C　）

（A）等腰直角三角形

（B）直角三角形

（C）等腰三角形

（D）等腰三角形或直角三角形

解析:

因为a=2bcosC,

所以由余弦定理得,a=2b·,

整理得b2=c2,则此三角形一定是等腰三角形.故选C.

8.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=（sinB,a+c）,q=

（sinC-sinA,b-a）.若∃λ∈R,使p=λq,则角C的大小为（　C　）

（A）（B）（C）（D）

解析:

因为∃λ∈R,使p=λq,

所以p∥q,

所以有（b-a）sinB-（a+c）（sinC-sinA）=0,

由正弦定理得b2-ab-c2+a2=0,

cosC==.

又C∈（0,π）,

所以C=.故选C.

9.（2015洛阳模拟）在△ABC中,D是BC边上的点,AB=2,AD=,AC=4,∠C=30°,∠BAC>∠B,则BD等于（　B　）

（A）2或4（B）1或3（C）3或2（D）4或1

解析:

在△ABC中,由正弦定理,

得sinB==,

所以∠B=45°或∠B=135°,

又∠BAC>∠B,

所以∠B=45°.

因为AD=,

则在△ABD中,

由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos45°,

即5=8+BD2-2×2×BD×cos45°,

解得BD=1或BD=3.故选B.

10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+b2=mc2（m为常数）,若

tanC（tanA+tanB）=2tanA·tanB,则m的值为（　A　）

（A）2（B）4（C）7（D）8

解析:

因为tanC（tanA+tanB）=2tanAtanB,

所以=tanC.

即=.

所以sinAsinBcosC=sinC·sin（A+B）=sin2C.

由正弦定理,上式可化为abcosC=c2,　　　　　　　①

由余弦定理知,cosC=.②

由①②得,a2+b2=2c2.

因为a2+b2=mc2,

所以m=2.选A.

二、填空题

11.（2015北京卷）在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=　　　　. 

解析:

由正弦定理=,

得=⇒sinB=,

因为a>b,

所以∠B=.

答案:

12.（2015宁夏石嘴山高三联考）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=