完整版考研量子力学复习策略与题型总结毕业论文.docx
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完整版考研量子力学复习策略与题型总结毕业论文
本科学生毕业论文(设计)
题 目考研量子力学复习策略与题型总结
姓 名 覃元
学 号 084090139
院、 系 物理与电子信息学院
专 业 物理学
指导教师(职称/学历) 杜雷鸣
讲师/博士
云南师范大学教务处制
考研量子力学复习策略与题型总结
摘要:
本文主要探讨学习量子力学的学生在考研中如何做到复习有结果,并且围绕题型总结阐述一些重要的复习策略。
给有志于考研考量子力学的同学们提供一些经验总结和策略参考。
题型总结方面将集中在考研常考题目中的一维运动问题和微扰论两大方面展开。
从这两个方面分别例举历年真题的详细解法,分析所涉及知识点,并给出复习策略,做到举一反三。
根据例子阐述进一步提出考研量子力学的复习策略,即“三位一体”的复习策略。
关键词:
物理;量子力学;考研;题目总结;复习策略
量子力学是物理学科的基础课,是物理类和光电工程类专业学生的必修课,量子力学和相对论被认为是近代物理的基础。
量子力学是一门新的物理理论,它通过对物质波粒二像性的理解,引进波函数的描述方法,建立起一个严整的逻辑体系,给复杂的量子微观体系现象以一个自恰的理解和说明,得到了许多崭新的结论。
量子力学预言的现象正不断被证实并取得广泛的应用,量子理论本身也还在不断深化和发展。
量子力学是其他许多物理理论的必备基础,是现代物理工作者和技术人员的一门基本修养。
同时,考研中量子力学量子也很重要。
历年来,如凝聚态物理专业、材料方面专业等把量子力学作为重要考核科目,如中科院凝聚态物理专业、华南理工大学凝聚态物理专业、北京大大学凝聚态物理专业、大连理工大学的材料物理等985院校,此外还有211学校,如云南大学。
在考研经历之后,深刻认识到量子力学是一门较为难学、难理解的课程。
大学里学修读物理相关专业的同学都会有深刻的体会,而该课程考研的要求相比而言就要更高一些。
当然,我们也大不必害怕量子力学,其实量子力学是非常有魅力的学科。
理论物理较为抽象的科目个人觉得第一是电动力学,第二是量子力学,第三是热力学统计物理,第四是理论力学。
然而,量子力学比较锻炼个人思维能力,同时量子力学也是现代科学得以迅猛发展的重要前提。
从上述可知,考研中,量子力学深受各大高校的青睐。
然而,如何复习好量子力学呢?
古语云:
“工欲善其事,必先利其器。
”考研复习到专业课的时候往往时间很仓促,我们不仅要复习公共课,还要腾出时间搞专业。
在此时复习专业课还像复习英语、政治那样用题海战术是不行的。
题海战术有一定好处,但是盲目性太大,有些内容考研直接不涉及,看了也是浪费时间。
因此,若在此时给考研人一点好的复习建议与方法指导,可以说是雪中送炭。
好的复习方法能给我们带来可观的效果,以及一些重点考点的提点对大家是非常有帮助的。
文章围绕一维运动总结出3个例子来拓展与分析提炼出如何复习一维运动相关内容;从微扰论中总结出2个例子探讨出我们所要的复习策略。
最后结合双学位所学知识进行复分策略提炼。
一、一维运动习题总结与分析
(一)例子探讨
以下三个例子是多所高校曾经考过的题目,之所以学则这两个例子是因为这两个题目涵盖了一维运动的主要知识点,不仅可以从横向上把握量子力学里的相关重点内容,而且可以从纵向上形成对比。
具体分析如下:
1、粒子在深度为,宽度为的直角势阱(如图1.3)中运动,求
(1)阱口刚好出现一个束缚态能级(即)的条件;
(2)束缚态能级总数。
并和无限深势阱作比较[4]。
解:
(1)根据题目提示E要求约等于0,我们可以分,,束缚态;,游离态。
定态薛定谔方程得
令
利用潜在条件“束缚态边界条件”就可以先对阱外的波函数方程进行求解
现在对该波函数做进一步处理,利用刚好出现束缚态能级的条件“”
当阱口刚好出现束缚态能级时,
,,因此
阱内波函数可由解出,当,解为
对于一维束缚定态,如果为偶宇称,则每一个都有明确的宇称性。
关于及的连续性,有如下结论:
在取有限值的区域内,及均为连续函数,并取有限值;处,,有可能不连续;处,有可能趋于,有可能不连续[3]。
阱内、外和应该连续,而由可知,处,,将这条件用于式,即得
亦即阱口刚好出现束缚态能级的条件为
这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级。
至此,第一问已经得到解决。
(2)因此,如,
只存在一个束缚态,偶宇称(基态)。
如,
除基态外,阱口将再出现一个能级(奇宇称态),共二个能级,
如,阱口将出现第三个能级(偶宇称),以此类推。
由此可知,对于任何值,束缚态能级总数为:
其中符号[A]表示不超过A的最大整数。
当粒子在宽度为的无限深方势阱中运动时,能级为
则的能级数为
也就是说,如果只计算的能级数,则有限深()势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。
注意后者的每一个能级均一一对应地高于前者的相应能级。
点评:
此类题目属于中等难度题目,需对波函数、薛定谔方程、束缚态、宇称等概念理解透彻,以及关于一维势场中的粒子能量本征态的性质把握好。
考研中该部分倍受欢迎,其处理方法从薛定谔方程入手,并根据题意进行相关求解。
本题考查的知识点主要是:
(1)对束缚态的正确理解以及对束缚态能级个数的求解;
(2)对有限深势阱的理解,求解方程过程的掌握,以及对结果的分析,要掌握无限深方势阱,主要是对本征函数和能量本征值形式的记忆,(3)对直角势阱的定态薛定谔方程的掌握。
解题的过程中需要注意的地方是:
(1)在能量本征方程中,不能直接代入,我们的结果应该是通解的形式;
(2)波函数宇称的分类,不能忽略了任何一种宇称,否则,计算结果不全面。
(3)还要掌握如何界定束缚态能级个数,要注意束缚态能级总数为整数。
2、若粒子从右边入射,求如下图所示一维阶梯势的反射和透射系数[4]。
y
E
V0
0
解:
右边入射,显然
在x>0的区域:
既有入射波,又有反射波,薛定谔方程为
,
解为,
在x<0的区域:
只有透射波。
薛定谔方程为
解为
在x=0处,分别连续,给出
→
反射系数
透射系数
点评:
此类题目计算量大,要加强计算训练,切忌死记硬背,理解为什么在不同区域既有透射波,又有反射波;有点区域只有透射波。
记住此类题目根据已知条件结合薛定谔方程认真求解,得出题目要的结果。
在考研中此类题目变化多端,其处理方法与该题相似。
本题考查的知识点是:
(1)如何确定 (2)反射系数及透射系数公式;(3)分类思想的考察。 容易错需要注意的地方有: (1)在求反射系数和透射系数问题中能根据边条件来确定能量本征方程的解; (2)边界上波函数及其导数的连续性条件;(3)本题型按照常理是有三种情况: 大于,等于和小于,但事实上只存在两种,即大于和等于。 3、④在时间t=0时,一个线性谐振子处于下列归一化的波函数所描写的状态: 式中是谐振子的第n个本征函数。 (1)试求c的数值; (2)写出在t时刻的波函数; (3)在t=0时刻能量的平均值是多少? t=1s时又为多少? [4] 解: (1)有题目所给信息及归一化条件可得: 。 (2)把上述结果及带入波函数,注,可得: (3)在t=0时刻振子的平均值是 由于谐振子的哈密顿量不显含时间,所以能量是守恒量,其平均值不随时间改变, 因而t=1s时振子能量的平均值仍然是 ; 该问题可以根据及厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交,来证明上述结果。 点评: 此类题目较为简单,容易理解透彻,在考研中常以基础题形式出现,但还会用于氢原子处于给定态相关计算,处理方法一致。 以及某体系处于给定态计算相关力学量测值概率等可以用到上述方法。 本题考查知识点为: (1)归一化条件、态叠加原理; (2)波函数的概念理解,波函数的构成为空间和时间,注意不同n值对应不同的数值;(3)力学量的平均值计算方法,以及教材中涉及一维问题的几条定理与推论。 (2)小结 本章知识点总结 1、在一维运动这一章中,若从势的角度考虑,可以更清晰的了解其知识点。 即从各种势出发,掌握相关的知识点。 具体是以下几个方面: (1)一维无限深方势阱 这一部分主要掌握: (a)初值问题(因此需要掌握能量本征方程,能量本征值,能量本征函数,以及波函数的展开,能量本征态,叠加态);(b)归一化(相对概率、Born的概率诠释,四个假设的前提和用途)。 另外,还要掌握离散谱的概念。 (2)一维有限深方势阱 在一维有限深方势阱的相关知识中,需要掌握的概念有: 束缚态、游离态;反射系数、透射系数(这里可以和方势垒的反射和透射进行比较,一起掌握。 )、共振;其中反射系数和透射系数还要求会求解。 (3)δ势 这部分包括δ势阱和δ势垒。 首先要掌握δ函数的性质;然后要掌握δ势的穿透,同样分为反射和透射两种情况,可以对比这进行掌握。 这里还要注意的知识点有: 波函数在势里面,边界条件的限制(波函数连续,但是一阶导数不连续)。 (4)一维谐振子 在其相关的知识点中需要重点掌握的是: Hermite多项式及Hermite多项式的解法。 2、分析考研要点 在掌握了一维运动的出题要点以后,接下来就应该对考研大纲进行分析,归纳出要点,以结合教材对知识点进行完全掌握。 (1)就一维运动而言,考研的要求一般有以下几点 (1)熟练掌握一维薛定谔方程边界条件的确定和处理方法。 (2)熟练掌握一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论,掌握一维有限深方势阱束缚态问题的求解方法。 (3)熟练掌握势垒贯穿的求解方法及其解释。 掌握一维有限深方势阱的反射、透射的处理方法。 (4)熟练掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点及其应用。 (5)了解势的处理方法。 (2)针对以上的考研要求,学习的要点主要是以下几个方面 (1)一维势场的基本性质,即在教材中列出的7个定理 其中需要掌握的基本概念有: 简并、束缚态以及宇称。 这7个定理可能会以证明题的方式考察,或者在综合题型中以隐含方式考到。 因此,不仅要掌握定理的内容,还需要学会怎么证明。 (2)求解一维本征问题 其实无非就是给出不同的一维的势,要求解相应的本征函数,或者不容易求出来的,也要得出相应本征函数的一些性质,简单地说,就是改变能量本征值中V的表达式,便可得到不同本征函数和本征值,其求解的基本步骤就是求解薛定谔方程的一般步骤。 各种不含时间的势,因为不含时间所以就是求本征值问题: 包括方势阱(有限深势阱、无限深势阱)、方势垒(有限深方势垒,包括透射和反射两种),δ势(包括δ势阱和δ势垒,同样各有透射和反射两种),谐振子,前面几种势的复合势。 其中难点在于: 求解微分方程时,应用数学知识和物理条件的结合,从而得出需要的解。 这其中需要考虑的点有: 第一,能量本征方程的求解(或叫做微分方程的求解);第二,物理条件的限制,即波函数通解诠释的限制;第三,归一化问题;第四,波函数的展开问题(涉及测量的假定问题)。 2、浅议微扰论 (1)例子探讨 微扰在考研中几乎为必考内容,以下两个例子为考研真题具有一定代表性,分析求解过程我们可以很容易得到考察的知识点,有助于对考研知识点、重点、难点的把握。 探讨过程如下: 1、当λ为一小量时,利用微扰论求矩阵求的本征值至λ的二次项,本征矢至λ的一次项。 解: 由题目可知: =+ 根据微扰论公式(nk) 可得本征值至λ二次项如下: 由(nk)得: 点评: 量子力学中能够精确求出薛定谔方程解的情况是极少的,在绝大多数情况下,只能近似求解。 所以,求薛定谔方程的近似方法就变得十分重要。 微扰是近似方法中的一种,也是较为简单的一种。 此类
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