四川省宜宾市叙州区第一中学届高三高考适应性考试数学理试题.docx
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四川省宜宾市叙州区第一中学届高三高考适应性考试数学理试题
2019年四川省叙州区一中高考适应性考试
数学(理科)试题
第I卷(选择题,共60分)
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.)
1.设为虚数单位.若复数是纯虚数,则复数在复面上对应的点的坐标为
A.B.
C.D.
2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.2B.1C.D.
3.若变量满足不等式组,且的最大值为7,则实数的值为
A.1B.C.D.
4.若实数,满足,,则“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的的值满足
A.B.C.D.
6.如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()
A.13134B.67C.200D.250
7.已知函数,将图像上所有点的
横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再向右平移个单位得到的图
像,若为偶函数,则的一个值为
A.B.C.D.
8.在中,三内角的对边分别为,且,,则角的大小是
A.或B.C.D.
9.如图,在正方体中,点在线段上运动,则下列判断中正确的是()
①平面平面;
②平面;
③异面直线与所成角的取值范围是;
④三棱锥的体积不变.
A.①②B.①②④C.③④D.①④
10.将边长为的正方形沿对角线折起,则三棱锥的外接球体积为()
A.B.C.D.
11.已知椭圆的左右焦点分别为,过左焦点作斜率为2的直线与椭圆交于两点,的中点是,为坐标原点,若直线的斜率为,则的值是
A.2B.C.D.
12.若函数的图像和直线有四个不同的公共点,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
13.如果的展开式中各项系数之和为256,则展开式中的系数是__________.
14.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.
15.如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交两边于两点,且,,则的最小值为__________.
16.的内角所对的边分别为,已知,,则的最小值为__________.
三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)
17.(本大题满分12分)
在中,内角的对边分别为,,三边成等比数列,且面积为1,在等差数列中,,公差为.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列满足,设为数列的前项和,求的取值范围.
18.(本大题满分12分)
某工厂共有男女员工500人,现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下:
每月完成合格产品的件数(单位:
百件)
频数
10
45
35
6
4
男员工人数
7
23
18
1
1
(1)其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关?
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
女员工
合计
(2)为提高员工劳动的积极性,工厂实行累进计件工资制:
规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的,计件单价为1元;超出件的部分,累进计件单价为1.2元;超出件的部分,累进计件单价为1.3元;超出400件以上的部分,累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率,在该厂男员工中选取1人,女员工中随机选取2人进行工资调查,设实得计件工资(实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资)不少于3100元的人数为,求的分布列和数学期望.
附:
,
.
19.(本大题满分12分)
如图,在三棱锥中,底面是边长为4的正三角形,,底面,点分别为,的中点.
(1)求证:
平面平面;
(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成
的角的正弦值为?
若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由.
20.(本大题满分12分)
已知抛物线的焦点为,准线为,抛物线上存在一点,过点作,垂足为,使是等边三角形且面积为.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点是圆与抛物线的一个交点,点,当取得最小值时,求此时圆的方程.
21.(本大题满分12分)
已知函数(其中,为自然对数的底数,).
(1)若,求函数的单调区间;
(2)证明:
当时,函数有两个零点,且.
(二)选考题:
共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,过点的直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(1)若点的直角坐标为,求直线及曲线的直角坐标方程;
(2)若点在上,直线与交于两点,求的值.
23.设函数.
(1)当时,求关于的不等式的解集;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
2019年四川省叙州区一中高考适应性考试
数学(理科)试题答案
一.选择题
1.D2.C3.A4.C5.C6.B7.B8.A9.B10.C11.D12.D
二.填空题
13.25214.15.16.
17解:
(1)∵,,,
∴,.
(2)∵,
∴
∵是关于n的增函数,
∴.
18.
(1)
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
48
2
50
女员工
42
8
50
合计
90
10
100
因为的观测值,
所以有的把握认为“生产能手”与性别有关.
(2)当员工每月完成合格产品的件数为3000件时,
得计件工资为元,
由统计数据可知,男员工实得计件工资不少于3100元的概率为,
女员工实得计件工资不少于3100元的概率为,
设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为,1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为,则,,
的所有可能取值为,,,,
,
,
,
,
所以的分布列为
0
1
2
3
故.
19.
(1)证明:
∵,为的中点,
∴
又平面,平面,∴
∵
∴平面
∵平面
∴平面平面
(2)解:
如图,由
(1)知,,,点,分别为的中点,
∴,∴,,又,
∴两两垂直,分别以方向为轴建立坐标系.
则,,,,
设,
所以
,,设平面的法向量,则
,,令,则,,
∴
由已知或(舍去)
故;故线段上存在点,使得直线与平面所成的角的正弦值为,
此时为线段的中点.
20.解:
(1)如图所示,
∵等边的面积为,
设边长为,
∴,∴,∴
∵,∴
所以抛物线的方程是.
(2)法一:
设的坐标为,因为抛物线:
的焦点,
,
,
所以当且仅当时取等号,即当取最小值时,点坐标为把点坐标代入圆的方程可得.
法二:
设的坐标为,因为抛物线:
的焦点,
,
,
所以,当且仅当时取等号,
即当取最小值时,点坐标为
把点坐标代入圆的方程可得.
21.
(1)
令得或
所以函数的单调递增区间为,,单调递减区间为
(2)当时,恒成立,
所以在递减,在递增
则为函数极小值点
又因为对于恒成立
对于恒成立
对于恒成立
所以当时,有一个零点,当时,有一个零点
即,
且,
所以
下面再证明即证
由得
又在上递减,于是只需证明,
即证明
将代入得
令
则
因为为上的减函数,且
所以在上恒成立
于是为上的减函数,即
所以,即成立
综上所述,
22.
(1)曲线:
化为直角坐标方程为:
过点直线的直角坐标方程为:
(2)将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立可得:
则(其中、为方程的两根)
又点在上,则,
故
23.
(1)因为,
所以的解集为.
(2)因为,所以,
(3)即,则,
所以.
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