数字信号处理研讨DFT近似计算信号频谱Word格式.docx

数字信号处理研讨DFT近似计算信号频谱Word格式.docx

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由于离散非周期序列频谱是周期的，所以在计算时不必用fftshift函数对fft计算的结果进行重新排列。

【序列频谱计算的基本方法】

连续信号，通过其抽样的离散信号，和离散信号的DFT变换存在如下关系：

通过如上关系，我们就可以通过DFT来求信号的频谱。

【仿真结果】

fm=

0.9375

0.9219

0.9141

0.9102

0.9082

【结果分析】

增加DFT的点数可以使频谱更容易观察，即减轻了栅栏效应带来的影响。

频谱的横坐标为归一化频率，所以原信号的峰值第一次应该出现在0.2处，随着DFT点数的增大，频谱表示也越来越精确。

【自主学习内容】

1.归一化频率相关知识。

2.通过matlab计算DFT和matlab的绘图操作。

【阅读文献】

1．数字信号处理

2．补零对有限长序列频谱及DFT的影响。

【发现问题】（专题研讨或相关知识点学习中发现的问题）：

DFT点数的增多是否能提高频谱分辨率？

【问题探究】

虽然DFT点数增加使图像更加细致，但是因为不论DFT点数是多少，抽样点数都是相同的，所以每个频谱所包含的信息相同，频谱分辨率只与抽样点数相关，与DFT点数无关，频谱分辨率相同。

所以不能通过增大DFT点数而减少信息损失。

DFT点数的增多不能提过频率分辨率。

【仿真程序】

k=0:

31;

N=16;

x=sin（0.2*pi*k）;

fori=1:

5

N=2*N;

X=fft（x,N）;

k=0:

N-1;

subplot（5,1,i）;

plot（k/N,abs（X））;

xlabel（'

f/HZ'

）;

ylabel（'

Magnitude'

fm=find（X==max（X））/N;

fm

end

2已知一离散序列为x[k]=AcosΩ0k+Bcos（（Ω0+∆Ω）k）。

用长度N=64的哈明窗对信号截短后近似计算其频谱。

试用不同的A和B的值（如A和B近似相等，A和B差距较大），确定用哈明窗能分辩的最小的谱峰间隔

中c的值。

本题讨论用哈明窗计算序列频谱时的频率分辨率。

第一排是c=4，第二排c=3，远大于教材定义的标准c=2。

无论A/B的比值是多少，区分谱峰毫无压力。

第3排中，c=2是教材定义的标准，A与B接近的时候，区分较为容易，当A/B为1.6的时候，几乎是无法区分，而A/B=4的时候，完全无法区分。

所以说在设计使用哈明窗的时候，如果不同频谱的信号所占比例相差较大，哈明窗的c要比2大。

从第一列可以看出，如果A/B象近的时候，即使c稍小于2，也是可以区分的。

每一列中，A/B的比值是相同的，随着c的减小，谱峰的区别能力很容易看出是降低的。

不同窗函数的屏幕分辨率。

数字信号处理

哈明窗所起的作用？

哈明窗与矩形窗谁的分辨率高？

在仿真的时候c该选用怎样的值？

哈明窗主瓣较宽，分辨率比矩形窗差，但是哈明窗可以使能量集中在主瓣处。

所以哈明窗可以起到减小泄漏的作用。

在开始的时候选用的c为124816，对比效果不明显，发现c的取值过于大，反复尝试确定在2附近多取值，其他值也不可取得过于大，因为c稍大实验现象基本相同，所以没有意义。

N=64;

c_set=[432.221.91.81.5];

A_set=[11.21.64];

B=1;

w0=0.5*pi;

forc_index=1:

length（c_set）

c=c_set（c_index）;

dw=c*2*pi/N;

forA_index=1:

length（A_set）

A=A_set（A_index）;

x=A*cos（w0*k）+B*cos（（w0+dw）*k）;

Xh=fft（x.*hamming（N）'

subplot（length（c_set）,length（A_set）,length（A_set）*（c_index-1）+A_index）;

plot（k,abs（Xh））;

holdon;

title（['

c='

num2str（c）'

;

A/B='

num2str（A）]）;

axis（[1225025]）;

end

3已知一离散序列为x[k]=cos（Ω0k）+0.75cos（Ω1k）,0£

k£

63其中Ω0=0.4π,Ω1=Ω0+π/64

（1）对x[k]做64点FFT,画出此时信号的频谱。

（2）如果

（1）中显示的谱不能分辨两个谱峰，是否可对

（1）中的64点信号补零而分辨出两个谱峰。

通过编程进行证实，并解释其原因。

（3）给出一种能分辨出信号中两个谱峰的计算方案，并进行仿真实验。

分析影响谱峰分辨率的主要因数，进一步认识补零在在频谱计算中的作用。

频谱的横坐标是归一化频率，图示只观察要区别的部分。

每一个列的抽样点相同，每一行DFT点相同。

但看第一列，虽然增加DFT点数，甚至是增加到32768，也不能够区分两个谱峰，所以要想增加频率的分辨率，可以增加抽样点数，第二列和第三列抽样点数分别是128和256，都可以区分两个谱峰。

如何增加频谱分辨率。

数字信号处理。

如何计算所需抽样点数？

可以通过信号频率的差值计算。

1、2、3题讨论的是离散信号频谱的计算问题。

与连续信号频谱计算问题相比较，其计算误差有何不同？

连续信号的频率是非周期的，离散信号的频谱是连续信号频谱的周期话，可能会有混叠误差。

w0=0.4*pi;

dw=pi/64;

w1=w0+dw;

N_set=[64128256];

L_set=[6412825651232768];

forN_index=1:

length（N_set）;

N=N_set（N_index）;

x=cos（w0*k）+0.75*cos（w1*k）;

forL_index=1:

length（L_set）

L=L_set（L_index）;

ifL<

N

continue

X=fft（x,L）;

m=（0:

L-1）*2/L;

subplot（length（L_set）,length（N_set）,（L_index-1）*length（N_set）+N_index）;

plot（m,abs（X））;

axis（[0.380.44040]）;

N='

num2str（N）'

L='

num2str（L）]）;

4试用DFT近似计算高斯信号

的频谱抽样值。

高斯信号频谱的理论值为

通过与理论值比较，讨论信号的时域截取长度和抽样频率对计算误差的影响。

连续非周期信号频谱计算的基本方法。

计算中出现误差的主要原因及减小误差的方法。

如图所示，横轴坐标为角频率，左斜线上的图截取时间相同，垂线上的抽样频率相同，很容易能否看出，增加截取时间和抽样频率都可以减小误差。

连续非周期信号的频谱计算方法。

d=pi;

fsam_set=[124816];

N_set=[1248];

L=64;

forfsam_index=1:

length（fsam_set）;

fsam=fsam_set（fsam_index）;

Tsam=1/fsam;

forN_index=1:

cuttime=N*Tsam;

k=-N/2:

N/2-1;

t=k*Tsam;

x=exp（-d*t.^2）;

X=Tsam*fftshift（fft（x,L））;

w=linspace（-pi*fsam,pi*fsam,L）;

subplot（length（N_set）,length（fsam_set）,fsam_index+length（fsam_set）*（N_index-1））;

plot（w,abs（X））;

G=exp（-w.*w/（4*d））;

plot（w,G,'

r'

cuttime='

num2str（cuttime）'

fsam='

num2str（fsam）]）;

扩展题

5本题研究连续周期信号频谱的近似计算问题。

周期为T0的连续时间周期信号x（t）可用Fourier级数表示为

其中

X（nω0）称为连续时间周期信号x（t）的频谱函数。

称为信号的基频（基波），

称为信号的谐波。

如果信号x（t）函数表达式已知，则可由积分得出信号的频谱。

如果信号x（t）函数表达式未知，或者x（t）函数表达式非常复杂，则很难由积分得信号的频谱。

本题的目的就是研究如何利用DFT近似计算连续时间周期信号的频谱。

（1）若在信号x（t）的一个周期T0内抽样N个点，即

，T为抽样周期（间隔），可获得序列x[k]

试分析序列x[k]的DFT与连续时间周期信号x（t）的频谱X（nω0）的关系；

（2）由

（1）的结论，给出由DFT近似计算周期信号频谱X（nω0）的方案；

（3）周期信号x（t）的周期T0=1，x（t）在区间[0，1]的表达式为

x（t）=20t2（1-t）4cos（12πt）

（a）试画出信号x（t）在区间[0，1]的波形；

（b）若要用6次以内的谐波近似表示x（t），试给出计算方案，并计算出近似表示的误差。

讨论出现误差的原因及减小误差的方法。

【理论推导】

DFT计算所得结果X[m]与连续周期信号频谱X（nω0）的关系。

由于

于是得

令n=m+rN;

m=0,1,2,…Ｎ－１，ｒ为整数，上式可化为

化简可得

对比IDFT

可得

【计算方案】

根据理论推导结果设计近似计算方案。

分析产生误差的主要原因。

DFT是连续信号频谱的周期化，如果频谱信号高频信号较多，就会产生混叠，所以有误差。

如果主要是低频信号，周期话后互补产生影响，就没有误差。

【扩展分析】

如果周期信号x（t）是带限信号，即信号的最高频率分量为Mω0（是正整数），试确定在一个周期内的最少抽样点N，使得在频谱的计算过程当中不存在混叠误差。

与抽样定理给出的结论比较，发表你的看法。

很容易看出，要想不产生混叠，必须N2M+1。

该结论与抽样定理相似。

因为周期信号是一种特殊的连续信号，所以抽样定理对周期信号也是适用的。

在N=16,k=6时，误差最小，最大误差为0.1229，平均误差为0.07187。

无论是减小N和减小k都很大的增大了误差。

为了分别测试N和k对误差的影响，分别设k=6，求不同N时候的误差，N=16，不同k对误差的影响，分别得到了下图（在原程序上稍加改动，所以在仿真程序中不再另写了）

此图可以看出，在N等于13的时候误差有明显的减小。

在k=6的时候，误差有明显的减小。

可见原函数最大的高频分量为6*w0，根据前面推出的理论，N取6*2+1=13点的时侯误差减小。

实验结果符合结论

周期信号的频谱与DFT的关系。

【发现问题】：

原函数最高频分量大约是多少？

根据前面推理，最高频分量为6*w0。

n=1024;

t=linspace（0,1,n）;

N_set=[1216];

H_set=[46];

T0=1;

count=0;

length（N_set）

dT=T0/N;

k=（0:

N-1）*dT;

x=20*k.^2.*（1-k）.^4.*cos（12*pi.*k）;

X=fft（x）;

forH_index=1:

length（H_set）

H=H_set（H_index）;

sum=0;

X1=[X（N-H+1:

N）X（1:

H+1）]/N;

fork=-H:

H;

yt=X1（k+H+1）*exp（j*2*pi*k*t/T0）;

sum=sum+yt;

figure（（N_index-1）*length（H_set）+H_index）;

subplot（1,2,1）;

xt=20*t.^2.*（1-t）.^4.*cos（12*pi.*t）;

plot（t,xt,'

t,sum,'

b'

k='

num2str（H）]）;

subplot（1,2,2）;

plot（t,xt-sum）;

4

de=abs（xt-sum）;

maxde=max（de）;

meande=mean（de）;

title（{['

Diviation:

'

];

['

mean:

num2str（meande,4）'

max:

num2str（maxde,4）]}）;

count=count+1;

deviation（count）=meande;

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