数学分析复旦第三版答案Word文档格式.docx

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f（x0?

h）

h

解

（1）lim

⑵⑶

lim

lim?

（x?

x0））?

x0?

2f（x0）

2．⑴用定义求抛物线y?

2x2?

3x?

1的导函数；

⑵求该抛物线上过点（?

1,?

2）处的切线方程；

⑶求该抛物线上过点（?

2,1）处的法线方程；

⑷问该抛物线上是否有（a,b），过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？

解

（1）因为

2（x?

3（x?

1?

（2x?

1）

4x?

3。

3?

2?

x，所以

（2）由于（3）由于

f（?

1）?

1，切线方程为y?

[x?

1）]?

2）?

5，法线方程为y?

1?

5

[x?

2）]?

75

（4）抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴，即斜率为无穷大，由

（1）可

知不存在x，使得f（x）?

，所以这样的点（a,b）不存在。

3．设f（x）为（?

?

）上的可导函数，且在x?

0的某个邻域上成立

f（1?

sinx）?

3f（1?

8x?

（x），

其中?

（x）是当x?

0时比x高阶的无穷小。

求曲线y?

处的切线方程。

解记f（x）?

由lim

f（x）x

f（x）在（1,f

（1））

可得limf（x）?

2f

（1）?

0，即f

（1）?

0f（1?

sinx），

8x?

（x）

x

8

与

，

f（1?

f

（1）sinx?

lim?

3lim?

4f

（1）?

0x?

0sinxx?

sinxx?

得到f

（1）?

2。

于是曲线y?

f（x）在（1,f

（1））处的切线方程为y?

2（x?

1）。

4．证明：

从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反

射光必定经过它的另一个焦点。

（见图4.2.5）

证设椭圆方程为

xa

22

yb

1，a?

b?

0，焦点坐标为

a?

b

c,0）,c?

假设（x0,y0）为椭圆

上任意一点，当y0斜率为tan?

bx0ay0

0时结论显然成立。

现设y0?

0，则过此点的切线

y0x0?

c

，（x0,y0）与焦点（?

c,0）连线的斜率为tan?

，和

此连线与切线夹角的正切为k

x0a

tan?

tan?

1tan?

利用c2

a?

y0b

1代入计算，得到

y0

k?

x0?

c1?

y0

bx0ay0?

bx0

222

ay0?

bx0?

cx0b

22222

（a?

b）x0y0?

acy0

ab?

cx0y0?

b

cy0

cay0

（x0,y0）与另一焦点（c,0）连线的斜率为tan?

，此连线与切线

夹角的正切为

21?

2

cbx0

cx0b?

ay0?

ab

k

由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。

5．证明：

双曲线xy

a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三

角形的面积恒为2a。

证假设（x0,y0）为双曲线上任意一点，则x率为yx

y0?

a

，过这一点的切线斜

a

x0

y0x0

，切线方程为

y?

y0?

（x?

x0），

易得切线与两坐标轴的交点为（0,2y0）和（2x0,0）。

切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为

s?

12

（2y0）（2x0）?

2x0y0?

2a

6．求函数在不可导点处的左导数和右导数。

⑴y⑶y

|sinx|；

⑵y

cosx

e?

|x|；

f（x）?

|sinx|

⑷y?

|ln（x?

1）|.

解

（1）对y，当x?

f?

（0）?

|sin?

x|?

|sin0|

0?

sin?

sin?

1，?

1，

f?

所以x?

0是不可导点。

又由于函数y是周期为?

的函数，所有不可导点为x?

k?

（2）y

为x?

2k?

（k?

z），且f?

（k?

）?

1，?

1。

，由

（1）可知不可导点

z），且经计算得到

（2k?

|x|

，f?

（3）y?

e

不可导点只有x?

0，且

e

f（0）?

1

1，f（0）?

（4）y?

ln（x?

1）f?

limf?

ln（?

|ln（?

1）|?

ln1?

ln1

ln（?

7．讨论下列函数在x

⑴⑶

|x|1?

asiny?

0,

1x

0处的可导性：

（a?

0）x?

0,x?

0;

⑵⑷

x2,y?

ax?

b,

ex2,y?

0.

xex,

ax,

解

（1）?

|?

sin

1

|?

x|asgn（?

x）sin1?

，所以函数

0可导。

（2）如果函数在x?

0可导，则必须在x?

0连续，由f（0?

可得b?

0。

当b?

0时，f

（0）?

0，f?

【篇二：

复旦数学真题有答案】

bc,y?

ac,z?

c?

ab，65、已知是不完全相等的任意实数。

若

则x,y,z的值______________________。

a、都大于0；

b、至少有一个大于0；

c、至少有一个小于0；

d、都不小于0

x66、已知关于x的方?

6x?

（a?

2）|x?

3|?

9?

2a?

0有两个不同的实数根，则系

数a的取值范围是_____________________________。

a、a?

0或a?

2；

b、a?

0；

n）1

c、a?

2或a?

d、a?

2x4的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式的67、在二项式

有理项的项数为_____________。

a、2；

b、3；

c、4；

d、5

68、设1和2为平面上两个长度为1的不共线向量，且它们和的模长满足

|a1?

|a2|?

。

则（2a1?

5a2）?

（3a1?

a2）?

____________。

1a、2；

2；

b、

11c、2；

11d、2

69、在复平面上，满足方程zz?

z?

3的复数z所对应的点构成的图形是________。

a、圆；

b、两个点；

c、线段；

d、直线

70、在如图所示的棱长均为1的正四面体abcd中，点m和n分别是边ab和cd的中点。

则线段mn的长度为__________。

c、；

b、2；

d、2

2y71、过抛物线?

2px（p?

0）的焦点f作直线交抛物线于a、b两点，o为抛物线

的顶点。

则三角形△abo是一个________。

a、等边三角形；

b、直角三角形；

c、不等边锐角三角形；

d、钝角三角形

72、设f（x）的定义域是全体实数，且f（x）的图形关于直线x?

a和x?

b对称，其中a?

b。

则f（x）是_____________。

a、一个以b?

a为周期的周期函数；

c、一个非周期函数；

b、一个以2b?

2a为周期的周期函数d、以上均不对。

100

（1?

x）73、二项式的展开式中系数之比为33：

68的相邻两项是

_______________。

a、第29、30项；

b、第33、34项；

c、第55、56项；

d、81、82项74、方|x?

3|

（x2?

15）/（x?

2）

=1有___________解。

c、三个；

d、四个。

a、一个；

b、两个；

bx?

cx?

d的图像关于原点对称的充分必要条a?

075、已知，函数

件是_________。

a、b?

b、b?

0,c?

c、c?

d?

d、b?

76、设?

an?

是正数数列，其前n项和为sn，满足：

对所有的正整数n，an与2的

sn?

an

等差中项等于sn与2的等比中项，则n?

4n=____________。

1c、2；

1d、4

a、0；

b、1；

77、四十个学生参加数学奥林匹克竞赛。

他们必须解决一个代数学问题、一个

___________。

a、5；

b、6；

c、7；

d、8

2x

78、方程3x?

0的实根______。

a、不存在；

b、有一个；

c、有两个；

d、有

三个。

79、当不等式tan（cos4?

4a4?

0关于x有有限个解时，a的取值是________________。

a、全体实数；

法确定。

b、一个唯一的实数；

c、两个不同的实数；

d、无

xx?

yx?

80、方程组?

1有___________解。

1）x?

8y?

4a

81、设a是一个实数，则方程组?

3）y?

3a?

1解的情况为__________。

a、无论a取何值，方程组均有解；

b、无论a取何值，方程组均无解；

c、若方程组有解，则仅有一组解；

d、方程组有可能无解。

82、在如图所示的三棱柱中，点a，bb1的中点以及b1c1的中点所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分，问小部分的体积和大部分的体积比为_______。

1a、3；

4b、7；

11

c、17；

13d、23

852

则f（x）有性质：

________。

83、设

a、对任意实数x，f（x）总是大于0；

c、当x0时，f（x）?

b、对任意实数x，f（x）总是小于0；

d、以上均不对。

x2y2

112384、椭圆的焦点为f1和f2，点p在椭圆上，若pf1的中点在y轴上，

则|pf1|是|pf2|的____________。

a、3倍；

b、5倍；

c、7倍；

d、9倍。

85、5个不同元素ai（i=1,2,3,4,5）排成一列，规定a1不许排第一，a2不许排第二，不同的排法共有_________________。

a、64种；

b、72种；

c、78种；

d、84种。

2k?

86、设某个多边形?

的顶点在复平面中均为形式为1?

z的点，其

中|z|?

则点z=0有性质：

a、一定是多边形?

上的点；

b、一定不是多边形?

d、恰恰为多边形?

的边界点。

c、不一定是多边形?

87、一批衬衣中有一等品和二等品，其中二等品率为0.1。

将这批衬衣逐件检测后放回，在连续三次检测中，至少有一件是二等品的概率为_____________。

a、0.271；

b、0.243;

c、0.1；

d、0.081

x1x2x3

xx3是方程x3?

0的三个根，x2，88、设x1，则行列式3

a、—4；

b、—1；

c、0；

x3x1

x1x2

=_______。

ax?

x（ax?

1）x

g（x）?

0,a?

12ax?

1为__________。

89、设，则函数和

a、f（x）和g（x）均为奇函数；

b、f（x）和g（x）均为偶函数；

d、f（x）是奇函数但g（x）是偶函数

c、f（x）是偶函数但g（x）是奇函数；

90、设a=?

99

a、2a；

是一个二阶方阵，则100个a的乘积a100=____________。

b、2

a；

c、3a；

d、3a

91、三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有_____________个。

a、20；

b、26；

c、30；

d、36

92、如图所示；

正方形abcd的面积设为1，e和f分别是ab和bc的中点，则图中阴影部分的面积是________________。

1a、2；

2c、3；

3b、4；

2d、5

93、设a?

{a1,a2,a3}是由三个不同元素所组成的集合，且t是a的子集族满足性质：

空集和a属于t，并且t中任何两个元的交集和并集还属于t。

问所有可能的t的个数为_______。

a、29；

b、33；

c、43；

d、59

f,f1691294、设分别为椭圆的左、右焦点，且点p是椭圆上的一点。

9

b、4；

9c、5；

a、3；

3d、2

95、若空间三条直线两两成异面直线，则与a,b,c都相交的直线有______________。

a、0条；

条。

b、1条；

c、多于1的有限条；

d、无穷多

96、已知一个三角形的面积为4，且它的外接圆半径为1。

设a,b,c分别为这个

u?

111?

abc且v?

，则u和v的关系为

三角形的三条边的边长，令

__________。

u?

vu?

v