湖南省岳阳县一中湘阴县一中届高三联考数学文试题.docx
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湖南省岳阳县一中湘阴县一中届高三联考数学文试题
湖南省岳阳县一中、湘阴县一中2015届高三12月联考数学(文)试题
一、选择题:
本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合,则()
A.B.C.D.
2、若且,则是()
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
3、已知等差数列的前项和为,,则()
A.4B.6 C.8 D.10
4、某几何体的三视图如图所示,其中正视图和左视图是边长为2的等边三角形,则该几何体的体积等于()
A.B.
C. D.
5、已知是两个命题,则“为真命题”是“为真命题”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6、已知是周期为4的奇函数,,则()
A.B.C.D.
7、已知向量满足,且,则与的夹角为()
A.B.C.D.
8、已知数列满足,且,其前项和为,则满足不等式的最小整数是()
A.11B.12C.13D.14
9、记曲线与所围成的封闭区域为,若直线与 有公共点,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
10、用表示两数中的最小值,函数的图象关于直线对称,若方程恰有4个不相等的实数根,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共5个小题,共25分,将答案填写在题中的横线上.
11、若直线与圆相交于两点,则弦的长等于.
12、在中,,其面积,则.
13、底面半径为3的圆柱体水槽中有半槽水,现放入两个直径等于水槽底面圆直径的球,若水槽中的水刚好满了,则水槽的高是.
14、若不等式对一切恒成立,则实数的最大值是.
15、已知函数,记,且.
(1)若函数仅有2个零点,则实数的取值范围是.
(2)若函数的零点个数为,则满足的所有的值为.
三、解答题:
本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16、(本小题满分12分)
已知向量,函数,且其图象的两条相邻对称轴之间的距离是.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求在区间上的最大值和最小值.
17、(本小题满分12分)
如图,在各棱长都相等的直三棱柱中,分别为的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
18、(本小题满分12分)
山区一林场2013年底的木材存量为30万立方米,森林以每年20﹪的增长率生长.从今年起每年年底要砍伐1万立方米的木材,设从今年起的第年底的木材存量为万立方米.
(Ⅰ)试写出与的关系式,并证明数列是等比数列;
(Ⅱ)问大约经过多少年,林场的木材总存量达到125万立方米?
(参考数据:
)
19、(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)解不等式;
(Ⅱ)当时,恒成立,求实数的取值范围.
20、(本小题满分13分)
各项均为正数的数列,其前项和为,且满足,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列前项和为,且满足.
问为何值时,数列为等差数列;
(Ⅲ)求证:
.
21、(本小题满分13分)
设函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)判断函数在区间上的零点个数.
岳阳县一中湘阴县一中高三月考联考试卷
数学(文)
时量:
150分钟分值:
150分
命题:
湘阴一中周建山审题:
湘阴一中舒新平、冯元
参考答案
一、选择题:
本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合,则(B)
A.B.C.D.
2、若且,则是(C)
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
3、已知等差数列的前项和为,,则(C)
A.4B.6 C.8 D.10
4、某几何体的三视图如图所示,其中正视图和左视图是边长为2的等边三角形,则该几何体的体积等于(A)
A.B.
C. D.
5、已知是两个命题,则“为真命题”是“为真命题”的(B)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6、已知是周期为4的奇函数,,则(D)
A.B.C.D.
7、已知向量满足,且,则与的夹角为(A)
A.B.C.D.
8、已知数列满足,且,其前项和为,则满足不等式的最小整数是(C)
A.11B.12C.13D.14
9、记曲线与所围成的封闭区域为,若直线与 有公共点,则实数的取值范围是(B)
A. B.
C. D.
10、用表示两数中的最小值,函数的图象关于直线对称,若方程恰有4个不相等的实数根,则实数的取值范围为(D)
A.B.C.D.
二、填空题:
本大题共5个小题,共25分,将答案填写在题中的横线上.
11、若直线与圆相交于两点,则弦的长等于.
12、在中,,其面积,则.
13、底面半径为3的圆柱体水槽中有半槽水,现放入两个直径等于水槽底面圆直径的球,若水槽中的水刚好满了,则水槽的高是.16
14、若不等式对一切恒成立,则实数的最大值是.
15、已知函数,记,且.
(1)若函数仅有2个零点,则实数的取值范围是.
(2)若函数的零点个数为,则满足的所有的值为.2,3,4
三、解答题:
本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16、(本小题满分12分)
已知向量,函数,且其图象的两条相邻对称轴之间的距离是.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求在区间上的最大值和最小值.
解:
(Ⅰ)由题…3分
又的周期
所以,即………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
又由题意得………………………………………8分
因为,所以
当即时,
当即时,………………………………12分
17、(本小题满分12分)
如图,在各棱长都相等的直三棱柱中,分别为的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
证明:
(Ⅰ)如图示,连接交于点,连接
由题是的中位线
∴且
即且
∴四边形为平行四边形
∴
又平面,平面
∴平面…………………6分
解:
(Ⅱ)∵直三棱柱各棱长都相等,为的中点
∴
∴平面,又平面∴
由(Ⅰ)得
又,是平面内两条相交直线
∴平面
∴是在平面上的射影
∴是与平面所成的角……………………………9分
设直三棱柱的棱长为
在中,
∴
∴直线与平面所成角的正弦值是……………………12分
18、(本小题满分12分)
山区一林场2013年底的木材存量为30万立方米,森林以每年20﹪的增长率生长.从今年起每年年底要砍伐1万立方米的木材,设从今年起的第年底的木材存量为万立方米.
(Ⅰ)试写出与的关系式,并证明数列是等比数列;
(Ⅱ)问大约经过多少年,林场的木材总存量达到125万立方米?
(参考数据:
)
解:
(Ⅰ)由题得
即……………………………………………………2分
所以
因此数列是公比为的等比数列…………………………6分
(Ⅱ)由题
所以,即…………………………8分
所以,即
所以
所以,大约经过9年,林场的木材总存量达到125万立方米…………12分
19、(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)解不等式;
(Ⅱ)当时,恒成立,求实数的取值范围.
解:
(Ⅰ)当时
由得
所以…………………………………………………2分
当时
由得
所以…………………………………………………4分
综上,原不等式的解集是……………………………5分
(Ⅱ)由题意得即在上恒成立
(ⅰ)当时,恒成立,所以………………6分
(ⅱ)当时,原不等式变形为
设
因为当时,
所以在上单调递减
当时,
所以……………………………………………………………9分
(ⅲ)当时,原不等式变形为
又
当时,
所以…………………………………………………12分
综上所述,实数的取值范围是………………………13分
20、(本小题满分13分)
各项均为正数的数列,其前项和为,且满足,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列前项和为,且满足.
问为何值时,数列为等差数列;
(Ⅲ)求证:
.
解:
(Ⅰ)由题①
得②
②①得
即…………………………2分
因为,所以
又时,即
又,
所以………………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)及题意得
即
所以数列是以为首项,以1为公差的等差数列………6分
所以
即
若数列为等差数列,则,即
所以.(此时)……………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)及题意得
………11分
所以
即……………………13分
21、(本小题满分13分)
设函数.
(Ⅰ)求函数的单调性;
(Ⅱ)判断函数在区间上的零点个数.
解:
(Ⅰ)由题得………………2分
当时,;当时,
所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是……5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数在上单调递增,在上单调递减
所以函数在区间上最多有2个零点
而且,…………………6分
(ⅰ)若函数在区间上有2个零点
则,此不等式组无解
所以不存在,使函数在区间上有2个零点………8分
(ⅱ)若函数在区间上仅有1个零点
则,解得
所以当时,函数在区间上仅有1个零点………10分
(ⅲ)若函数在区间上无零点
结合(ⅱ)知,即
则,解得
所以当时,函数在区间上无零点…………………12分
综上所述,当时,函数在区间上有1个零点
当时,函数在区间上无零点……………13分
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