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自旋和角动量
第六章自旋和角动量
非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。
用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。
但是,更进一步的实验事实发现,还有许多现象,如光谱线在磁场中的分裂,光谱线的精细给构等,用前面几章的理论无法解择,根本原因在于,以前的理论只涉及轨道角动量。
新的实验事实表明,电子还具有自旋角动量。
在非相对论量子力学中,自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。
本章只是根据电子具有自旋的实验事实,在定薛谔方程中硬加入自旋。
本章的理论也只是局限在这样的框架内。
以后在相对论量子力学中,将证明,电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。
电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒,只有轨道角动量与自旋角动量之和,总角动量才是守恒量。
本章将先从实验上引入自旋,分析自旋角动童的性质,建立包含自旋在内的非相对论量子力学方程—泡利方程。
然后讨论角动量的藕合,并进一步讨论光错线在场中的分裂和精细结构,此外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。
§6.1电子自旋
施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一,如图6.1.1,由K源射出的处于s态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场,照射到底片PP上,结果发现射线束方向发生偏转,分裂成两条分立的线.这说明氢原子具有磁矩,在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转.由于这是处于s态的氢原子,轨道角动量为零,s态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生,这是一种新的磁矩.另外,由于实验上只发现只有两条谱线,因而这种磁矩在磁场中只有两种取向,是空间量子化的,而且只取两个值。
假定原子具有的磁矩为M,则它在沿z方向的外磁场中的势能为
U=-M=Mcos(6.1.1)
为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
按(6.1.1)式,原子在z方向所受的力是
Fz=-=Mcos(6.1.2)
实验证明,这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos=+1和-1两个值。
为了解释旋特恩一格拉赫实验,乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电子具有自旋角动量的说法,他们认为:
(1)每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间的任意方向取为z方向,则
Sz=±/2(6.1.3)
(2)每个电子均具有自旋磁矩Ms,它与自旋角动量之间的关系是
Ms=-(SI)或Ms=-(CGS)(6.1.4.)
式中(SI)表示国际单位,CGS表示CGSE单位。
由于在许多量子力学参考书及文献中常用CGSE单位,为方便读者,我们主要用CGSE单位但将SI单位的结果也写在这里。
(6.1.4)式中,电子带的电荷是—e,质量是m。
由于s取值量子化,因此,Ms在空间任意方向上的投影也只能取两个值。
(SI)或(CGS)(6.1.5)
MB是玻尔磁子。
由(6.1.5)式可见,电子自旋磁矩和自旋角动量之比是
(SI);(CGS)(6.1.6)
这个比值称为电子自旋的回转磁比率。
另外,由于轨道角动量和轨道磁矩满足
(SI);(CGS)(6.1.7)
因而轨道运动的回转磁比率是(SI),或(CGS)。
自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。
自旋是电子的一种固有的属性。
千万不要认为,电子自旋是因为电子在作机械的自转引起。
可以证明,如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球,由于电子的半径约为2.810-13cm,要想使它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子,则它的表面旋转速度将超过光速。
这当然是不可能的。
(请读者自己证明)电子自旋是一个新的自由度,与电子的空间运动完全无关。
电子自旋是电子的内禀属性.电子的自旋磁矩是内禀磁矩。
事实上,随着人们认识的深入,越来越发现对于某些粒子,除了时空自由度还有其他的自由度。
例如质子和中子,除时空、自旋外,还有同位旋。
夸克则还具有“味”和“色”等自由度。
不过,自旋自由度是除时空自由度外的第一个新发现。
值得指出的是,电子自旋角动量与轨道角动量不同,电子自旋的取值是±,而不是的整数倍。
电子自旋的g因子是2,轨道的为1.当然,自然界中也存在着自旋取整数值的粒子。
我们在全同粒子一章中再作讨论。
§6.2电子的自旋算符和自旋函数
电子具有自旋,这个新的自由度具有下述特色:
(1)它是个内禀的物理量,不能用坐标、动量、时间等变量表示。
(2)它完全是一种量子效应,没有经典的对应量。
也可以说,当时,自旋效应消失这可以从(6.1.3)式看出。
(3)它是角动量,满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向的投影只取±两个值。
根据电子自旋的上述特点,可以找出自旋算符的矩阵表示,以及自旋算符的本征函数。
首先,自旋既然是个物理量,在量子力学中,它应该用线性厄米算符表示。
其次,既然是算符,它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。
由于自旋具有角动量性质,而角动量算符J满足的对易关系是
(6.2.1)
在量子力学中,千万不要有一种误解,即角动量就是,只是轨道角动量,是角动量的一种,它也满足(6.2.1)式。
在量子力学中,角动量的定义是通过对易子给出的。
按定义,凡满足对易关系(6.2.1)式的算符称为角动量。
自旋既然是角动量,自旋算符必须满足
(6.2.2)
写成分量形式是
(6.2.3)
由于在空间中任意方向的投影只能取±两个值。
因此,任意选定x、y、z坐标后,、、三个算符的本征值都是±;、、的值都是,即
(6.2.4)
(6.2.5)若将任何角动量平方算符的本征值记为,称为角动量量子数,则自旋角动量量子数s满足
(6.2.6)为方便起见,引入算符,令
(6.2.7)
即
,,(6.2.8)
由公式(6.2.2)及(6.2.7)式可得满足的对应关系是
(6.2.9)写成分量形式是
(6.2.10)
由(6.2.7)式可见,、、的本征值为,而且
===1(6.2.11)
定义任何算符和的反对易关系为
(6.2.12)
由(6.2.10)式得
=(6.2.13)同理,
(6.2.14)(6.2.15)
、、之间相互反对易。
现在来找在特定表象下,、、算符的矩阵形式。
由于与对易(或称与对易),在它们的共同表象中,的矩阵必然是
(6.2.16)
这是因为只有两个本征值,因而它对应的矩阵只能是2×2的矩阵,而且在自身表象中,对应对角矩阵,且矩阵对角线上的元素就是它的本征值。
由于(6.2.7)式,的矩阵是
(6.2.17)
为求出、在表象的矩阵形式,注意与反对易,与也只能是矩阵,令
(6.2.18)
a、b、c、是待求的矩阵元。
由于厄米,因此也厄米,在(6.2.18)式中必有,再由
==0(6.2.19)
得
(6.2.20)
又因,故有
(6.2.21)
即=1,,若取,则
(6.2.22)
利用(6.2.17)式、(6.2.22)及(6.2.10)式,可求得为
(6.2.23)
综合上述,最后得出
,(6.2.24)相应地
,(6.2.25)
表示式(6.2.24)的、、称为泡利矩阵。
应该指出,泡利矩阵只是满足算符对易关系(6.2.9)式,在表象中给出的一种可能的矩阵。
它不是唯一的。
在(6.2.21)式中,泡利矩阵固定了,这只是一种最方便的取法,而不是唯一的取法。
事实上,只取定,只固定了z轴,在x-y平面中没有确定,还具有相角不确定性。
角度是相角不确定性的反映。
泡利矩阵选定了,是一种特定的选择。
另外,还应该指出,泡利矩阵非常有用。
因为任何2×2的厄米矩阵都可以表示为单位矩阵及、、三个矩阵的线性组合。
这些矩阵在处理自旋问题以及相对论性的狄拉克方程中特别有用。
例1试在(,)的共同表象中求算符、、对应的矩阵。
解注意z本来就是空间中任意给定的方向,如果将原来的二轴看成新的x轴,仍保持右手坐标系,则原来的x轴变为新的y轴,原来的y轴变为新的z轴,在这个新的坐标系,或者说,在新的表象中、、对应的矩阵是
,(6.2.26)同样的方法还可以用来求出(,)共同表象中、、对应的矩阵。
再来求电子自旋算符对应的本征函数,在表象中,由本征及
可见5,的本征函数为
公式省略
它们分别对应于h12及一h12两个本征值。
介和告是两个彼此正交而且各自归一的本征函数。
由于电子自旋算符可用(6.2.25)式表示,因此电子自旋算符的函数G也可以表示成2X2的矩阵
7~(6.2.30)
表示。
包含自旋在内的电子波函数可表示为
公式省略(6.2.31)
其中
jb,(x,y,z,t)~O(x,y,-,h12,t)(6.2.32)
322叻:
〔x,y,x,t〕=少(x,yz,一方/2,t)(6.2.33)
电子波函数(6.2.31)式的归一化必须同时对空间积分和对自旋求和,即
f(6.2.34)
由沪所给出的概率密度
(6.2.35)
表示在:
时刻,在{x,y,x}点周围单位体积内找到电子的几率。
其中!
0112和10"{’分别表示在(x,y,x)点周围单位体积内找到自旋人和自旋S,誉的电子的几率。
在略去自旋和轨道运动之间的相互作用的条件下,(6-2.32)及(6.2.33)式的必:
和叭对r有相同的函数形式。
如果存在自旋一轨道藕合,必,和沪:
对r的函数形式可以不同。
算符G在自旋态中的平均值是
公式省略
(6.2.36)
当然,如果只对自旋作平均,而不对空间作平均,则(6.2.36)式简化为
公式省略(6.2.37)
最后,应该特别强调指出,本节的讨论只适用于自旋为112的体系,比如电子。
对于自旋取其他数值的粒子,比方自旋为1.自旋算符要用3X3矩阵表示。
但可仿照本节的方法另行讨论。
§6.5两个角动量的耦合
在同一个原子内,电子既有自旋角动量,也有轨道角动量,因此很自然地,总要讨论两个角动量之问的耦合。
对于由多个粒子组成的体系,只要粒子具有角动量,总存在角动量之间藕合的问题。
而且,有许多问题,在耦合后得出的总角动量表象中讨论会更方便。
1.角动量升降算符
在讨论两个角动量耦合之前,先介绍一些角动量算符的基本性质.这些性质对角动量运算会带来许多方便。
设为角动量算符,满足对易子
(6.5.1)
对和的共同本征函数,的本征值是l(l+1),的本征值是m,l和m是角动量量子数和相应的角动量z分量的量子数。
显然,在(,)的共同表象中,和的矩阵元分别是
()=l(l+1)(6.5.2)()=m(6.5.3)
引入算符和,令
=+(6.5.4)
=-(6.5.5)
则有
=
=
=(6.5.6)
即
(6.5.7)
(6.5.8)
(6.5.8)表明,也是的本征函数,但本征值为(m+1)。
因此与,最多只能相差一个常数,即有
=(6.5.9)
同理,可以证明
(6.5.10)
(6.5.11)
(6.5.12)
,.和是待定的常数。
为了求出和,注意到矩阵元
(6.5.13)
(6.5.14)
又因
(6.5.15)
(6.5.16)
即
l(l+1)=(6.5.17)
=
另外,由于和是厄米的,所以有
=
=
=(6.5.18)
将(6.5.18)式代入(6.5.17)式,得
l(l+1)=
或者写成
(6.5.19)
即
(6.5-20)
由(6.5.9),(6.5.12)及(6.5.20)式,我们最后得出
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