量子力学与统计物理习题解答.docx
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量子力学与统计物理习题解答
量子力学与统计物理习题解答
第一章
1.一维运动粒子处于
的状态,式中>0,求
(1)归一化因子A;
(2)粒子的几率密度;
(3)粒子出现在何处的几率最大?
解:
(1)
令,则
由归一化的定义
得
(2)粒子的几率密度
(3)在极值点,由一阶导数
可得方程
而方程的根
;;
即为极值点。
几率密度在极值点的值
;;
由于P(x)在区间(0,1/)的一阶导数大于零,是升函数;在区间(1/,)的一阶导数小于零,是减函数,故几率密度的最大值为,出现在处。
2.一维线性谐振子处于状态
(1)求归一化因子A;
(2)求谐振子坐标小的平均值;
(3)求谐振子势能的平均值。
解:
(1)
由归一化的定义
得
(2)
因被积函数是奇函数,在对称区间上积分应为0,故
(3)
将、代入,可得
是总能量的一半,由能量守恒定律
可知动能平均值
和势能平均值相等,也是总能量的一半。
3.设把宽为的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点,有
试通过具体解定态薛定谔方程,证明势阱中粒子的波函数为
粒子的能量为
证明:
势函数与时间无关,是定态问题。
由于是无限深势阱,粒子不可能到达阱外,因此在阱外
在阱内,波函数满足定态薛定谔方程
上式可变形为
令,则方程化为
该方程的通解为
在边界上,波函数应满足连续性条件,即
将通解代入有
由此可得
A和B不能同时为零,否则解无意义。
,则必有
,则必有
由此可得方程的解为
由归一化条件
可知
解得
故在阱内的波函数为
粒子的能量
波函数的两个表达式还可统一为一个表达式
书中例题与习题的不同是将坐标原点取在势阱的左边界上,其解为
因此只要作坐标平移代换,将坐标原点移到势阱中心,立即可得到习题的结果。
4.带电荷q的一维谐振子在外电场E作用下运动,,试证明粒子的能量和波函数分别为
证明:
势函数与时间无关,是定态问题。
定态薛定谔方程为
上式可改写为
即
作代换,,则方程化为标准的一维谐振子方程
其解为
能量为
代换回去得能量
波函数
我们看一下谐振子所受的力
由F=0可知谐振子的平衡点不再是
而是平移到
作代换,无非是将坐标原点移到新的平衡点,移到新的平衡点后,与标准谐振子的力函数表达式完全相同。
5.有一维势垒如下图所示,自由粒子沿方向向势垒运动,,求粒子的透射系数D。
提示:
写出表达式;令,解出积分限b;利用(2-104)式得D,并注意简化运算。
解:
由
可得
故
6.粒子在三维无限深势阱
中运动,求粒子的波函数和能量。
解:
势能不含时间是定态问题。
在阱外,波函数
在阱内,波函数满足定态薛定谔方程
令,则方程可化为标准形式
令
代入方程有
除以XYZ,可得
要使上式成立,必然有
即
由波函数的连续性可知在边界上
由方程和边界条件可得
由归一化条件可得
;;
或
波函数
能量
第四章
1.试证为和的共同本征函数,并求出相应的本征值。
证明:
满足的本征方程,是的本征函数,本征值是。
满足的本征方程,也是的本征函数,本征值是。
故为和的共同本征函数。
2.设粒子在被限制在半径为的球内运动,其势能函数为
求粒子角动量为零时的波函数和能量。
提示:
利用(4-50)式,注意到,令。
解:
在球外,波函数
在球内,波函数满足定态薛定谔方程
因角动量为零,即,方程变为常微分方程
上式可改写为
令,代入得
进一步改写为
令,代入得标准二阶常微分方程
方程的通解为
在球心,由波函数有限性可知(注意),即
得
在边界上,由波函数连续性可知
即
得
波函数
由归一化条件
可得
波函数
能量
在球心处,波函数
3.氢原子处于基态,求电子出现在距离氢核二倍玻尔轨道半径以外的几率。
解:
4.分别求出氢原子处于2s态和2p态时,电子径向分布几率取最大值时的r值。
这两个r值是否等于相应的波尔轨道半径?
解:
2s态径向分布几率
令
即
得
因
所以、和不是最大点。
因
和是极大值点,但,所以是最大值点。
5.求出氢原子p态电子(l=1)当m=1时的角分布几率,所得结果与旧量子论关于电子沿确定轨道运动的概念是否一致?
解:
若电子沿确定轨道运动,即沿确定空间曲线运动,则电子只应出现在该曲线上。
但上式表明角分布几率与无关,电子不是分布在曲线上,而是分布在空间一个相当宽的区域。
故电子不是沿确定轨道运动,与旧量子论概念不一致。
第五章
1.一维非线性谐振子处于势场,求该非线性谐振子基态的一级近似能量。
解:
无微扰项
为线性谐振子,其基态波函数
微扰项
基态的一级近似能量
因被积函数是奇函数,第一项积分
因被积函数是偶函数,第二项积分
即
3.有两个谐振子组成的耦合谐振子,其能量算符
式中为两谐振子的相互作用能量,可视为。
试证:
(1)此耦合谐振子的零级近似能量
(2)此耦合谐振子第一激发态(N=1)能量的一级修正
证明:
(1)
微扰项
无微扰项
无微扰时的定态薛定谔方程
因算符仅与x1有关、仅与x2有关,可分离变量,令
则前述方程可分离为两个独立的方程
每一个独立的方程描述了一独立的一维谐振子,其能量
总能量
(2)N=1时,耦合谐振子有两种状态,即谐振子1处于第一激发态,谐振子2处于基态
谐振子2处于第一激发态,谐振子1处于基态
两种状态具有同样的能量,是简并的。
微扰矩阵元
由于被积函数是奇函数,在对称区间上积分为0,故
同理
积分
故
同理
代入久期方程有
即
解得
5.一体系的能级为二度兼并,对应的本征函数为、,试证此体系有微扰作用时,体系能量的一级修正
并写出各的表达式。
证明:
由久期方程
可得
展开化简得
代入二次方程求根公式有
式中
;
;
6.对有兼并情况,当零级近似波函数为,已知。
试证能量的一级修正
。
证明1:
两边乘并积分
由厄米算符的性质,积分
故有
由零级近似波函数为的正交归一性
得
证明2:
因
故
由归一化条件知,则
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- 量子力学 统计 物理 习题 解答