高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲 概率初步Word格式.docx
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高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲 概率初步Word格式.docx
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虽然投掷2次硬币,不见得正面会出现一半,但是,投掷次数越多,正面出现的比例越接近一半(例如无论谁投掷10000次硬币,正面出现的比例都会很接近0.5).(这个特点在概率论中被称为大数定律)
换言之,概率可以展示出大量重复实验结果的规律性.基于此,在17世纪概率刚创始的年代,人们提出了古典概率模型.
古典概率模型
古典概率模型是最简单的概率计算模型,它的想法非常简单,用“条件要求的情况总量”除以“全部情况数量”即可.
古典概型中,第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个”,下面我们先用几个简单例子来看一下古典概型的用法:
1.A、B、C排成一排,共有6种排法,其中A占排头的方法共2种,所以A站排头的概率是
2.从3个男生、2个女生中,随意选出2个人去参加数学竞赛,共有10种方法,其中选出2个男生的方法数有3种,所以选出2个男生的概率是
3.3个男生、2个女生站成一排照相共有120种站法,其中女生互不相邻的站法共72种,所以3男、2女站成一排,女生互不相邻的概率是
上面的例子都比较简单,因为计算概率所需要的两个数都非常好算,接来下我们再看几个例子,从这几个例子中,大家要能体会到古典概型的第二个重要条件——等可能性.
4.从10个红球、1个白球中,随意的取出1个球,取到红球的概率是.
5.投掷两枚硬币,出现2个正面的概率是,出现1正1反的概率是,出现2反的概率是
6.从3个红球、2个白球中,随意取出2个球,取到2个红球的概率是
例4比较简单,在例5中,从硬币的结果看,只有3种情况——“2正、1正1反、2反”,但概率都不是
,因为这3种结果出现的可能性不同,给硬币编上A和B,那么出现1正1反有两种情况“A正B反、A反B正”,而2正和2反都只有1种情况(投掷2枚硬币共4种情况).
而例6和例2是相同的题目(把红球换成男生,白球换成女生即可).
从这3个例子可以看出,在计算概率时,不能简单的看有几种最终结果,因为结果必须是“等可能”才行(例4的结果只有红球和白球两种,但概率显然不相等).为了计算“等可能”的结果,一个简单方法是给每个物体编号,例如例4,假设红球是1号到10号,白球是11号,那么显然共有11种不同取法,其中有10种取到红球,所以概率是
例题1.4个男生、2个女生随机站成一排照相,请问:
(1)女生恰好站在一起的概率是多少?
1/3
(2)女生互不相邻的概率是多少?
2/3(3)男生互不相邻的概率是多少?
「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗?
练习1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖,请问:
(1)关羽站在正中间的概率是多少?
0.2
(2)关羽和张飞相邻的概率是多少?
(3)0.4关羽和张飞中间恰好隔着一个人的概率是多少?
0.3
例题2.一个不透明的袋子里装着2个红球,3个黄球和4个黑球.从口袋中任取一个球,请问:
(1)这个球是红球的概率是多少?
(2)这个球是黄球或者是黑球的概率是多少?
(3)这个球是绿球的概率是多少;
不是绿球的概率是多少?
「分析」首先计算一下取球的总的情况数,再计算问题要求的取球情况数.
练习2、北京数学学校从集训队中随机选出3个人去参加比赛,已知集训队中共有4个男生、3个女生,请问:
(1)选出3个男生的概率是多少?
4/35
(2)选出2男1女的概率是多少?
例题3.一次投掷两个骰子,请问:
(1)两个骰子点数相同的概率是多少?
1/6
(2)两个骰子点数和为5的概率是多少?
(3)两个骰子点数差是1的概率是多少?
「分析」骰子是一个正方体,每个面上的点数从1到6,可以按题目要求枚举一些情况,根据枚举结果总结规律计算最后答案.
练习3、一次投掷3枚硬币,请问:
(1)出现3个正面的概率是多少?
(2)出现1正2反的概率是多少?
例题4.两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各1个,现在从两个盒子中各取一个球,那么它们同色的概率是多少?
不同色的概率是多少?
「分析」任取两球它们颜色的可能情况有多少种?
其中有多少同色情况?
练习4、一个不透明的袋子里装着2个红球、3个黄球和4个黑球.从中任取两个球,请问:
取出2个黑球的概率是多少?
1/6
取出1红1黄的概率是多少?
取出1黄1黑的概率是多少?
概率的独立性
如果两个或多个随机事件的结果互不影响,则称它们相互独立,例如:
A买彩票是否中奖和B买彩票是否中奖是独立的;
甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的;
如果两个随机事件相互独立,那么它们同时发生的概率是它们单独发生
概率的乘积.
例题5.神射手和神枪手两人打靶,已知他们的命中率分别为0.8和0.9,他们每人开一枪,那么他们都命中的概率是多少?
都没命中的概率是多少?
「分析」理解概率独立性,根据独立性解题即可.
需要分步计算的概率问题
有些随机事件,在发生时有先后顺序,这时在计算概率时需要分步计算,这时只要把每步的概率算出来,然后相乘即可,例如:
一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个,从中先取出1个球,然后从剩下的球中再取出一个,那么第一次抽到黑球的概率是
,第二次抽到黑球的概率是,所以两次都抽到黑球的概率是.
在分步拿球的问题中,大家还要注意“无放回拿球”和“有放回拿球”的区别,它关系到每步的概率计算结果.例如:
一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个,从中先取出1个球,然后把它放回去,再从盒子中取出一个,那么两次都抽到黑球的概率是
例题6.3个人进行抽签,已知3个签中只有一个写有“中奖”,3个人先后抽取,那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大?
「分析」分步计算概率即可.
小概率事件之买彩票
彩票市场产生于16世纪的意大利,从古罗马、古希腊开始,即有彩票开始发行.发展到今天,世界上已经有139个国家和地区发行彩票,规模比较大的国家和地区有美国、西班牙、德国、日本、法国、英国、意大利、加拿大、希腊、巴西、泰国、香港、韩国、新加坡、印度、挪威、比利时、澳大利亚、新西兰、南非、俄罗斯、保加利亚等.
发行彩票集资可以说是现代彩票的共同目的.各国、各地区的集资目的多种多样,社会福利、公共卫生、教育、体育、文化是主要目标.以合法形式、公平原则,重新分配社会的闲散资金,协调社会的矛盾和关系,使彩票具有了一种特殊的地位和价值.
目前,彩票的种类随着社会的发展而发展.在不断追求提高彩票娱乐性的过程中,彩票类型已经从以传统型彩票为主发展到传统型彩票、即开型彩票和乐透彩票等多种彩票并存的局面.2011年,全国彩票销售规模首次突破了2000亿元,达到2215亿元,彩票公益金筹集量达634亿元.1987年到2011年,我国累计销售彩票达10951亿元,累计筹集彩票公益金3433亿元.
在我国有两个彩票发行机构,进而形成了以下彩票:
福利彩票:
福利彩票是指1987年以来由中国福利彩票管理中心发行的彩票.福利彩票早期有传统型彩票和即开型彩票,近年来主要有即开型彩票(如刮刮乐)、乐透型彩票(如双色球、36选5)和数字型彩票(如3D)三种,后两种均是电脑型彩票.
体育彩票:
体育彩票是指由1994年3月以来由中国体育彩票管理中心发行的彩票.其种类主要有即开型彩票(如顶呱刮)、乐透型彩票(如大乐透、22选).
截止到2013年世界上中得彩票最大额为一个美国80多岁的老太太,独中5.9亿美元.
作业
1.在一只口袋里装着4个红球,5个黄球和6黑球.从口袋中任取一个球,请问:
(1)这个球是红球的概率有多少?
2/9
(2)这个球是黄球或者是黑球的概率有多少?
7/9
(3)如果从口袋中任取两个球出来,取到两个红球的概率是多少?
2.小高与墨莫做游戏:
由小高抛出3枚硬币,如果抛出的结果中,有2枚或2枚以上的硬币正面朝上,小高就获胜;
否则就墨莫获胜.请问这个游戏公平吗?
3.神射手和神枪手两人打靶,已知他们的命中率均为0.3,他们每人开一枪,那么他们都命中的概率是多少?
4.连续抛掷2个骰子.如果已知点数之和大于9,那么点数之和是12的概率有多大?
5.6名小朋友在操场上做游戏.他们被老师分成3组,每组2个人.请问:
赵倩和孙莉恰好分到了同一组的概率是多少?
例题:
例1.答案:
(1)
(2)
(3)0
详解:
若没有任何要求共有
种排法,
(1)捆绑法:
两个女生捆绑当作一人和其他4名男生一起排队共
种排法,两个女生可互换位置,所以女生站一起的概率是
(2)总的情况去掉
(1)问的情况的即可,所以
,该问用插空法也可以;
(3)男生无法互不相邻,所以该问概率为0.
例2.答案:
(3)0、1
共有9个球每个球都有可能被取到
(1)红球的数量是2个,所以取到红球的概率是
(2)排除法可得:
(3)没有绿球,所以绿球出现的概率是0.一定不是绿球,概率是1.
例3.答案:
(3)
(1)两个骰子点数共有
种情况,其中相同的情况有6种,所以概率为
(2)和为5可以是1+4、2+3、3+2、4+1,共四种,概率为
,(3)按第一个骰子的点数分类,第一个骰子点数为1~6时,第二骰子的点数依次有1、2、2、2、2、1种情况所以概率为
例4.答案:
两个盒子各取一个球放在一起有3×
3=9种取法,同色的情况有黑黑、白白、黄黄三种,所以,同色概率为三分之一,不同色为1-
=
例5.答案:
0.72;
0.02
他们都命中的概率是他们分别命中的概率的乘积,即
都没命中的概率是他们分别没命中的概率的乘积,即
例6.答案:
一样大
先计算第一个人的中奖概率为
,再计算第二个人中奖的概率,首先第一个人要没有中奖概率为
,此时第二个人抽中的概率为
,所以,第二个人中奖的概率为
,综上,两个人中奖的概率一样大.
练习:
1.答案:
0.2;
0.4;
简答:
2.答案:
共有七人选出3人的的选法总数是
种,
(1)选出3男有4种选法,所以,概率为
(2)2男有6种选法,1女有3种选法,2男1女共有18种选法,所以,概率为
3.答案:
(1)每枚硬币出现正面的概率为
,3个正面的概率是
,
(2)投掷3枚硬币可能的情况有:
正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反,共8种,其中1正2反的次数是3次,所以,概率为
4.答案:
任取2球,取法总数为
种,其中2黑的取法有
种,1红1黑取法有2×
3=6种,1黄1黑有3×
4=12种,所以,概率为
,
作业:
6.
答案:
(1);
(2);
(1)任取一个球,全部情况的数量是15,取到红球的数量是4,所以概率是
(2)取到黄球或黑球的数量是11,所以概率是;
(3)任取两个球,全部情况的数量是,取到两个红球的数量是,所以概率是.
7.
公平
每枚硬币正面朝上与反面朝上的概率都是,按照这个游戏规则,小高获胜的概率是:
,墨莫获胜的概率是,这个游戏对于小高和墨莫来说,获胜的概率都是一样的,所以这个游戏是公平的.
8.答案:
9.答案:
点数和大于9的情况有6种:
(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6).其中和为12的概率为
10.答案:
1/5
赵倩与其它另一位同学分到一起的概率都是1/5,所以赵倩与孙莉分到一起的概率是1/5.
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