中考数学压轴题专题12 二次函数背景下的相似三角形解析版.docx
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中考数学压轴题专题12 二次函数背景下的相似三角形解析版.docx
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中考数学压轴题专题中考数学压轴题专题12二次函数背景下的相似三角形解二次函数背景下的相似三角形解析版析版专题12二次函数背景下的相似三角形教学重难点1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度;2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式;3.能根据题目中的条件,画出与题目相关的图形,继而帮助解题;4.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法;5.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。
【备注】:
1.此部分知识点梳理,根据第1个图先提问引导学生回顾学过的二次函数的对称轴,可以再黑板上举例让学生画图;2.再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些特殊的二次函数,部分地方让学生独立完成,如果学生有困难,可以举实际例子让学生画图总结得出;3.和学生一起分析二次函数背景下相似三角形的基本考点,为后面的例题讲解做好铺垫。
建议时间6分钟左右。
几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0,)(,0)(,)()特殊的二次函数:
下图中1.函数y=-ax+bx特殊在:
经过坐标原点2.函数y=-ax+2ax+c特殊在:
已知对称轴3.函数y=ax-2ax-3a特殊在:
已知与X轴交点二次函数背景下的相似三角形考点分析:
1.先求函数的解析式,然后在函数的图像上探求符合几何条件的点;2.简单一点的题目,就是用待定系数法直接求函数的解析式;3.复杂一点的题目,先根据图形给定的数量关系,运用数形结合的思想,求得点的坐标,继而用待定系数法求函数解析式;4.还有一种常见题型,解析式中由待定字母,这个字母可以根据题意列出方程组求解;5.当相似时:
一般说来,这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题,再由边的数量关系转化到三角形的相似问题;6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。
【备注】:
1.以下每题教法建议,请老师根据学生实际情况参考;2.在讲解时:
不宜采用灌输的方法,应采用启发、诱导的策略,并在读题时引导学生发现一些题目中的条件(相等的量、不变的量、隐藏的量等等),使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思;3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题,并采用讲练结合;注意边讲解边让学生计算,加强师生之间的互动性,让学生参与到例题的分析中来;4.例题讲解,可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目,边讲边让学生书写,每个问题后面有答案提示;5.引导的技巧:
直接提醒,问题式引导,类比式引导等等;6.部分例题可以先让学生自己试一试,之后再结合学生做的情况讲评;7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理,建议每题7分钟,选讲例题在时间足够的情况下讲解。
1.(2020长宁、金山区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx2+mx+n经过点B(6,1),C(5,0),且与y轴交于点A
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标;
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点,过点P作PQOA,交线段OA的延长线于点Q,如果PAB45求证:
PQAACB;(3)若点F是线段AB(不包含端点)上的一点,且点F关于AC的对称点F恰好在上述抛物线上,求FF的长【整体分析】
(1)将点B、C代入抛物线解析式yx2+mx+n即可;
(2)先证ABC为直角三角形,再证QAP+CAB90,又因AQPACB90,即可证PQAACB;(3)做点B关于AC的对称点B,求出BB的坐标,直线AB的解析式,即可求出点F的坐标,接着求直线FF的解析式,求出其与AB的交点即可【满分解答】解:
(1)将B(6,1),C(5,0)代入抛物线解析式yx2+mx+n,得解得,m,n5,则抛物线的解析式为:
yx2x+5,点A坐标为(0,5);
(2)AC,BC,AB,AC2+BC2AB2,ABC为直角三角形,且ACB90,当PAB45时,点P只能在点B右侧,过点P作PQy轴于点Q,QAB+OAB180PAB135,QAP+CAB135OAC90,QAP+QPA90,QPACAB,又AQPACB90,PQAACB;(3)做点B关于AC的对称点B,则A,F,B三点共线,由于ACBC,根据对称性知点B(4,1),将B(4,1)代入直线ykx+5,k,yABx+5,联立解得,x1,x20(舍去),则F(,),将B(6,1),B(4,1)代入直线ymx+n,得,解得,yBBx5,由题意知,kFFKBB,设yFFx+b,将点F(,)代入,得,b,yFFx,联立解得,F(,),则FF【点睛】本题考查了待定系数法求解析式,轴对称的性质,相似三角形的判定,交点坐标的求法等,解题关键是牢固掌握轴对称的性质,并能够灵活运用2.(2020控江中学一模)已知在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点A、B(点A在点B的左侧),且AB=6.
(1)求这条抛物线的对称轴及表达式;
(2)在y轴上取点E(0,2),点F为第一象限内抛物线上一点,联结BF、EF,如果,求点F的坐标;(3)在第
(2)小题的条件下,点F在抛物线对称轴右侧,点P在轴上且在点B左侧,如果直线PF与y轴的夹角等于EBF,求点P的坐标.【整体分析】
(1)先将抛物线表达式化为顶点式,得出对称轴x=1,再根据抛物线与x轴两交点的距离为6,可以得出A,B两点的坐标,进而可求出解析式.
(2)利用S四边形OEFB=SOEF+SOBF列方程求解.(3)找出两等角所在的三角形,构造一组相似三角形求解.【满分解答】解:
(1)将化为一般式得,这条抛物线的对称轴为x=1.又抛物线与轴交于点A、B(点A在点B的左侧),且AB=6,根据对称性可得A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(4,0).将A点坐标代入解析式,可解得m=所求抛物线的解析式为.
(2)设点F的坐标为(t,t2+t+4),如图1可知S四边形OEFB=SOEF+SOBF=2t+4(t2+t+4)=10,解得,t=1或t=2,点F的坐标为或.(3)假设直线PF与y轴交于点H,抛物线与y轴交于点C,连接CF,则根据题意得FHC=EBF,由
(2)得点F的坐标为(2,4),又点C坐标为(0,4),CFx轴,过点F作FGBE于点G,有CFHGFB.在BEF中,根据已知点坐标可以求得BE=BF=2,EF=2,根据面积法可求得FG=,BG=设直线FP的解释式为y=kx+b,则OH=b,CH=4-b,解得b=.将点F的坐标(2,4)代入FP的解析式可得,k=,即FP的解析式为y=x+,令y=0,可得P点坐标为(-1,0).【点睛】此题属于二次函数的综合题,熟练掌握二次函数图像与性质是关键与基础,另外涉及面积问题注意运用割补法;对于角度相等的存在性问题一般通过转化为相似来解决.二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略:
1.根据题意,先求解相关点的坐标和相关线段的长度;2.待定系数法求解相关函数的解析式;3.相似三角形中,注意寻找不变的量和相等的量(角和线段);4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时,注意利用相似三角形的转化求解;5.根据题目条件,注意快速、正确画图,用好数形结合思想;6.注意利用好二次函数的对称性;7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。
1.(2019虹口区二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax2+bx+8与x轴相交于点A(2,0)和点B(4,0),与y轴相交于点C,顶点为点P点D(0,4)在OC上,联结BC、BD
(1)求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标;
(2)点E为第一象限内抛物线上一点,如果COE与BCD的面积相等,求点E的坐标;(3)点Q在抛物线对称轴上,如果CDBCPQ,求点Q的坐标【答案】解:
(1)将点A(2,0),B(4,0)代入yax2+bx+8,得:
,解得:
,抛物线的表达式为yx2+2x+8yx2+2x+8(x1)2+9,点P的坐标为(1,9)
(2)当x0时,yx2+2x+88,点C的坐标为(0,8)设点E的坐标为(x,x2+2x+8)(0x4),SCOESBCD,8x44,解得:
x2,点E的坐标为(2,8)(3)过点C作CMx轴,交抛物线对称轴于点M,如图所示点B(4,0),点D(0,4),OBOD4,ODB45,BD4,BDC135点C(0,8),点P(1,9),点M的坐标为(1,8),CMPM1,CPM45,CP,点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方,CPQCDB135CDBCPQ,即,解得:
PQ2,点Q的坐标为(1,11)【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及相似三角形的性质,解题的关键是:
(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;
(2)利用三角形的面积公式,找出关于x的一元一次方程;(3)利用相似三角形的性质,求出PQ的长度2.(2019广西模拟)如图,抛物线yax2+4x+c过点A(6,0)、B(3,),与y轴交于点C联结AB并延长,交y轴于点D
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求ADC的面积;(3)点P在线段AC上,如果OAP和DCA相似,求点P的坐标【答案】解:
(1)将A(6,0),B(3,)代入yax2+4x+c,得,解得,a,c6,该抛物线解析式为:
yx2+4x6;
(2)将A(6,0),B(3,)代入ykx+b,得,解得,k,b3,yABx+3,当x0时,y3,D(0,3),OD3,在抛物线yx2+4x6中,当x0时,y6,C(0,6),OC6,DCOC+OD9,A(6,0),OA6,SADCDCOA27;(3)由
(2)知,OCOA6,AOC为等腰直角三角形,OACOCA45,ACOA6,如图所示,连接OP,过点P作PHOA于H,则PHA为等腰直角三角形,当DCAOAP时,即,AP4,HPHAAP4,OHOAHA2,P(2,4);当DCAPAO时,即,PA,HPHA,OHOAAH,P(,),综上所述,点P的坐标为(2,4)或(,)【点睛】本题考查了待定系数法求解析式,在二次函数图象中求三角形的面积,三角形相似的判定等,解题的关键是对于两个三角形在只有一组角相等时要分类讨论相似情况3.(2019黄浦区二模)如图,已知抛物线yax2+bx+c经过原点O(0,0)、A(2,0),直线y2x经过抛物线的顶点B,点C是抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,联结BC、OC、AB,过点C作CEx轴,分别交线段OB、AB于点E、F
(1)求抛物线的表达式;
(2)当BCCE时,求证:
BCEABO;(3)当CBABOC时,求点C的坐标【答案】解:
(1)抛物线yax2+bx+c经过原点O(0,0)、A(2,0),对称轴为x1,直线y2x经过抛物线的顶点B,B(1,2),设ya(x1)2+2,抛物线经过原点O(0,0),a2,y2x2+4x
(2)BCCE,BEFCBE,CEx轴,BEFBOA,B(1,2),A(2,0),BOABAO,CBEBEFBOABAO,BCEABO;(3)记CE与y轴交于点M,过点B作BNCE,垂足为点N设C(m,2m2+4m)BEFBOC+ECO,BFECBA+BCE,又CBABOC,BEFBFE,ECOBCE,tanECOtanBCECEx轴,x轴y轴,OMCBNC90,m11(舍),【点睛】本题是二次函数的综合问题,解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式,相似三角形的判定与性质、
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