离散数学答案5.docx
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离散数学答案5
第十四章部分课后习题参考答案
5、设无向图G有10条边,3度与4度顶点各2个,其余顶点的度数均小于3,问G至少有多少个顶点?
在最少顶点的情况下,写出度数列、
。
解:
由握手定理图G的度数之和为:
3度与4度顶点各2个,这4个顶点的度数之和为14度。
其余顶点的度数共有6度。
其余顶点的度数均小于3,欲使G的顶点最少,其余顶点的度数应都取2,
所以,G至少有7个顶点,出度数列为3,3,4,4,2,2,2,
.
7、设有向图D的度数列为2,3,2,3,出度列为1,2,1,1,求D的入度列,并求
,
.
解:
D的度数列为2,3,2,3,出度列为1,2,1,1,D的入度列为1,1,1,2.
8、设无向图中有6条边,3度与5度顶点各1个,其余顶点都是2度点,问该图有多少个顶点?
解:
由握手定理图G的度数之和为:
设2度点
个,则
,
,该图有4个顶点.
14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的?
对可图化的数列,试给出3种非同构的无向图,其中至少有两个时简单图。
(1)2,2,3,3,4,4,5
(2) 2,2,2,2,3,3,4,4
解:
(1)2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数,不可图化;
(2) 2+2+2+2+3+3+4+4=16,是偶数,可图化;
18、设有3个4阶4条边的无向简单图G1、G2、G3,证明它们至少有两个是同构的。
证明:
4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3,度数之和为8,因而度数列为2,2,2,2;3,2,2,1;3,3,1,1。
但3,3,1,1对应的图不是简单图。
所以从同构的观点看,4阶4条边的无向简单图只有两个:
所以,G1、G2、G3至少有两个是同构的。
20、已知n阶无向简单图G有m条边,试求G的补图
的边数
。
解:
21、无向图G如下图
(1)求G的全部点割集与边割集,指出其中的割点和桥;
(2)求G的点连通度
与边连通度
。
解:
点割集:
{a,b},(d)
边割集{e2,e3},{e3,e4},{e1,e2},{e1,e4}{e1,e3},{e2,e4},{e5}
=
=1
23、求G的点连通度
、边连通度
与最小度数
。
解:
、
、
28、设n阶无向简单图为3-正则图,且边数m与n满足2n-3=m问这样的无向图有几种非同构的情况?
解:
得n=6,m=9.
31、设图G和它的部图
的边数分别为
和
,试确定G的阶数。
解:
得
45、有向图D如图
(1)求
到
长度为1,2,3,4的通路数;
(2)求
到
长度为1,2,3,4的回路数;
(3)求D中长度为4的通路数;
(4)求D中长度小于或等于4的回路数;
(5)写出D的可达矩阵。
解:
有向图D的邻接矩阵为:
,
(1)
到
长度为1,2,3,4的通路数为0,2,0,0;
(2)
到
长度为1,2,3,4的回路数为0,0,4,0;
(3)D中长度为4的通路数为32;
(4)D中长度小于或等于4的回路数10;
(4)出D的可达矩阵
第十六章部分课后习题参考答案
1、画出所有5阶和7阶非同构的无向树.
2、一棵无向树T有5片树叶,3个2度分支点,其余的分支点都是3度顶点,问T有几个顶点?
解:
设3度分支点
个,则
,解得
T有11个顶点
3、无向树T有8个树叶,2个3度分支点,其余的分支点都是4度顶点,问T有几个4度分支点?
根据T的度数列,请至少画出4棵非同构的无向树。
解:
设4度分支点
个,则
,解得
度数列111111113344
4、棵无向树T有
(i=2,3,…,k
)个i度分支点,其余顶点都是树叶,问T应该有几片树叶?
解:
设树叶
片,则
,解得
评论:
2,3,4题都是用了两个结论,一是握手定理,二是
5、n(n≥3)阶无向树T的最大度
至少为几?
最多为几?
解:
2,n-1
6、若n(n≥3)阶无向树T的最大度
=2,问T中最长的路径长度为几?
解:
n-1
7、证明:
n(n≥2)阶无向树不是欧拉图.
证明:
无向树没有回路,因而不是欧拉图。
8、证明:
n(n≥2)阶无向树不是哈密顿图.
证明:
无向树没有回路,因而不是哈密顿图。
9、证明:
任何无向树T都是二部图.
证明:
无向树没有回路,因而不存在技术长度的圈,是二部图。
10、什么样的无向树T既是欧拉图,又是哈密顿图?
解:
一阶无向树
14、设e为无向连通图G中的一条边,e在G的任何生成树中,问e应有什么性质?
解:
e是桥
15、设e为无向连通图G中的一条边,e不在G的任何生成树中,问e应有什么性质?
解:
e是环
23、已知n阶m条的无向图G是k(k≥2)棵树组成的森林,证明:
m=n-k.;
证明:
数学归纳法。
k=1时,m=n-1,结论成立;
设k=t-1(t-1
)时,结论成立,当k=t时,无向图G是t棵树组成的森林,任取两棵树,每棵树任取一个顶点,这两个顶点连线。
则所得新图有t-1棵树,所以m=n-(k-1).
所以原图中m=n-k
得证。
24、在图16.6所示2图中,实边所示的生成子图T是该图的生成树.
(1)指出T的弦,及每条弦对应的基本回路和对应T的基本回路系统.
(2)指出T的所有树枝,及每条树枝对应的基本割集和对应T的基本割集系统.
(a) (b)
图16.16
解:
(a)T的弦:
c,d,g,h
T的基本回路系统:
S={{a,c,b},{a,b,f,d},{e,a,b,h},{e,a,b,f,g}}
T的所有树枝:
e,a,b,f
T的基本割集系统:
S={{e,g,h},{a,c,d,g,h},{b,c,d,g,h},{f,d,g}}
(b)有关问题仿照给出
25、求图16.17所示带权图中的最小生成树.
(a) (b)
图16.17
解:
注:
答案不唯一。
37、画一棵权为3,4,5,6,7,8,9的最优2叉树,并计算出它的权.
38.下面给出的各符号串集合哪些是前缀码?
A1={0,10,110,1111} 是前缀码
A2={1,01,001,000} 是前缀码
A3={1,11,101,001,0011} 不是前缀码
A4={b,c,aa,ac,aba,abb,abc} 是前缀码
A5={b,c,a,aa,ac,abc,abb,aba} 不是前缀码
41.设7个字母在通信中出现的频率如下:
a:
35% b:
20%
c:
15% d:
10%
e:
10% f:
5%
g:
5%
用Huffman算法求传输它们的前缀码.要求画出最优树,指出每个字母对应的编码.并指出传输10n(n≥2)个按上述频率出现的字母,需要多少个二进制数字.
解:
a:
01 b:
10 c:
000 d:
110 e:
001 f:
1111 g:
1110
W(T)=5*4+5*4+10*3+10*3+15*3+20*2+35*2=255
传输10n(n≥2)个按上述频率出现的字母,需要255*10n-2个二进制数字.
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