鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解Word文档下载推荐.docx

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解〔（52+44）-（4+2）+（52-44）-（4-2）〕十2

=20-2=10（只）

〔（52+44）-（4+2）-

-（52-44）-（4-2）]-2

=12-2=6（只）

兔（答略）

鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一。

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有

趣的问题。

书中是这样叙述的：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔

各几何？

”这四句话的意思是：

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；

从

下面数，有94只脚。

问笼中各有几只鸡和兔？

算这个有个最简单的算法。

（总脚数-总头数*2）12=兔子数总头数-兔子数=鸡数

解释：

让兔子和鸡都抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数*2只，由于鸡只有2只脚,

所以笼子里只剩下兔子的，再除以2就是兔子数。

别说兔子和鸡不听话，现实中也没人鸡

兔同笼。

假设法：

假设全是鸡：

2X35=70（只）比总脚数少的：

94—70=24（只）

兔：

24-（4-2）=12（只）鸡：

35—12=23（只）假设法（通俗）假设鸡和兔子都听指

挥那么，让所有动物抬起一只脚，笼中站立的脚：

94-35=59（只）然后再抬起一只

脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：

59-35=24

（只）兔：

24吃=12（只）鸡：

35-12=23（只）

一元一次方程法解：

设兔有x只，则鸡有（35-x）只。

4x+2（35-x）=944x+70-2x=94

2x=24x=24吃x=1235-12=23答：

兔子有12只，小鸡有23只。

二元一次方程法解：

设鸡有x只，兔有y只ox+y=352x+4y=94（x+y=35）X2=2x+2y=70（2x+2y=70）-（2x+4y=94）=（2y=24）y=12把y=12代入（x+y=35）x+12=35x=35-12

x=23。

答：

中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。

这本书浅显易懂，有许多有趣的

算术题，比如鸡兔同笼”问题：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

题目中给出了鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只

脚的鸡。

鸡兔总的脚数是35X2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。

现

在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开

一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，

因此兔子数：

24吃=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。

我们来总结一下这道题的

解题思路：

如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，

把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将

所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。

概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数）十（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。

类似地，也可以假设全是兔子。

我们也可以采用列方程的办法：

设兔子的数量为x，鸡的数量为y那

么：

x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：

兔子有12只，鸡有23只。

详细解法

一，基本问题"

鸡兔同笼"

是一类有名的中国古算题。

最早出现在《孙子算经》中.许多小

学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"

假设法"

来求解。

因此很

有必要学会它的解法和思路•

例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只

解：

我们设想，每只鸡都是"

金鸡独立"

，一只脚站着；

而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。

现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是244吃=122（只）.在122这

个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。

因此从122减去总头数88，剩

下的就是兔子头数122-88=34（只），有34只兔子.当然鸡就有54只。

答：

有兔子34

只，鸡54只。

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数吃-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数

上面的解法是《孙子算经》中记载的。

做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！

能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题

转化成这类问题时，"

脚数"

就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。

因此，我们对这类问题给出一种一般解法

例1.如果设想88只都是兔子，那么就有4X88只脚，比244只脚多了88X4-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88X4-244）十（4-2）=54（只）.说明我们设想的88只"

兔子"

中，有54只不是兔子。

而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数X总头数-

总脚数）十（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是"

鸡"

那么共有脚2$8=176

（只），比244只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，68吃=34（只）.说明设想中的"

有34只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数X总头

数）十（兔脚数-鸡脚数）.

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为"

.

现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。

例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。

问红，蓝铅笔各买几支？

以吩"

作为钱的单位•我们设想，一种"

有11只脚，一种"

有19只脚，它们共有16个头，280只脚。

现在已经把买铅笔问题，转化成"

问题了.利用上面算兔数

公式，就有蓝笔数=（19X16-280）-（19-11）=24弋=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：

买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。

对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性•例2中的"

19与11之和是30.

我们也可以设想16只中，8只是"

8只是"

根据这一设想，脚数是8X（11+19）=240

（支）。

比280少40.40-（19-11）=5（支）。

就知道设想中的8只"

应少5只，也就是"

（蓝铅笔）数是3.30X8比19X6或11X16要容易计算些。

利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。

例如，设想16只中，"

兔数"

为10,"

鸡数"

为6，就有脚数19X0+11X5=256.比280少24.24-（19-11）=3,就知道设

想6只"

要少3只。

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面

再举四个稍有难度的例子。

例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。

甲打字用了多少小时？

我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30W=5（份），

乙每小时打30T0=3（份）.现在把甲打字的时间看成"

兔"

头数，乙打字的时间看成"

头

数，总头数是7."

的脚数是5,"

的脚数是3，总脚数是30,就把问题转化成"

问题了。

根据前面的公式"

数=（30-3X7）-（5-3）=4.5,"

数=7-4.5=2.5,也就是甲打

字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。

甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。

四年后（2002

年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄

的3倍时，是公元哪一年？

4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"

头数，弟的年龄看作"

头数。

25是"

总头数"

.86是"

总脚数"

根据公式，兄的年龄是（25X4-86）-（4-3）=14（岁）.1998年，兄年龄是14-4=10（岁）.

父年龄是（25-14）X4-4=40（岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄

是（40-10）-（3-1）=15（岁）.这是2003年。

公元2003年时，父年龄是兄年龄的3

倍.

例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现在这三种小虫共18

只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

解：

因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从

腿的数目来考虑，可以把小虫分成"

8条腿"

与"

6条腿"

两种。

利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=（118-6X18）-（8-6）=5（只）.因此就知道6条腿的小虫共18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。

再利用一次公式蝉数=（13X2-20）-

（2-1）=6（只）.因此蜻蜓数是13-6=7（只）.答：

有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。

例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，

做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？

对2道，3道，4道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对

181-1X7-5X6=144（道）.由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）吃=2.5）.这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5,总脚数=144，总头数=39.对4道题的有（144-2.5X39）-（4-2.5）=31（人）.答：

做对4道题的有31人。

习题一1.龟鹤共有100个头，350只脚.龟，鹤各多少只？

2•学校有象棋，跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动。

象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？

3.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？

4.某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多。

那么2元，5元，10元各有多少张？

5.一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接

着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天？

6.摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3千米），一段平路（4千米），一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的；

有的是由一段上坡路（3千米），一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的。

已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？

7.用1

元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？

二，"

两数之差"

的问题鸡兔同笼中的总头数是"

两数之和"

如果把条件换成"

又应该怎样去解呢

例7买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。

已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？

解一：

如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.（680-8M0）

-（8+4）=30（张），这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。

因此8分邮票有40+30=70（张）.答：

买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。

也可以用任意假设一个数的办法.

解二：

譬如，假设有20张4分，根据条件"

8分比4分多40张"

那么应有60张8分。

以"

分"

作为计算单位，此时邮票总值是4X20+800=560.比680少，因此还要增加邮票。

为了保持

"

差"

是40,每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是（680-4X20-800）-

（4+8）=10（张）.因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.

例8一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。

倘若下雨，雨天比晴天多3天，工程要多

少天才能完成。

类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，

雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有（150-8X3）*（10+8）=7（天）.雨天是7+3=10天，总共7+10=17（天）.答：

这项工程17天完成。

请注意，如果把"

雨天比晴天多3天"

去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17,知道其一，就能推算出另一个。

这说明了例7,例8与上一节

基本问题之间的关系.总脚数是"

又应该怎样去解呢

例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？

假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28吃=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4吃=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍。

兔的只数是（100+28吃）-

（2+1）=38（只）.鸡是100-38=62（只）.答：

鸡62只，兔38只。

当然也可以去掉

兔28詔=7（只）.兔的只数是（100-28詔）-（2+1）+7=38（只）.也可以用任意假设一

个数的办法。

假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是4>

50-2X50=100,比

28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）•为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡，

少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是（100-28）

-（4+2）=12（只）.兔只数是50-12=38（只）.

另外，还存在下面这样的问题：

总头数换成"

总脚数也换成"

.例10

古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；

七言绝句是四句诗，每句都是七个字。

有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少

首？

如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差13>

5>

4+20=280

（字）.每首字数相差7X4-5>

4=8（字）.因此，七言绝句有280-（28-20）=35

（首）•五言绝句有35+13=48（首）.答：

五言绝句48首，七言绝句35首。

解二：

假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20>

23=460

（字），28>

0=280（字），五言绝句的字数，反而多了460-280=180（字）.与

题目中"

少20字"

相差180+20=200（字）.说明假设诗的首数少了。

为了保持相差13

首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要

比假设增加200吒=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.七言绝句有

10+25=35（首）.在写出"

公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于

例7,例9和例10三个问题，当然也可以这样假设。

现在来具体做一下，把列出的计算式子与"

公式对照一下，就会发现非常有趣的事

例7,假设都是8分邮票，4分邮票张数是（680-8>

40）-（8+4）=30（张）.

例9，假设都是兔，鸡的只数是（100>

4-28）-（4+2）=62（只）.

例10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（20X13+20）十（28-20）=35（首）.首

先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与"

公式比较，这三个算式只是

有一处"

-"

成了"

+"

.其奥妙何在呢当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程

组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。

例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如

有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻

璃瓶破损了几只？

如果没有破损，运费应是400元。

但破损一只要减少1+0.2=1.2

（元）•因此破损只数是（400-379.6）十（1+0.2）=17（只）.答：

这次搬运中破损了

17只玻璃瓶。

请你想一想，这是"

同一类型的问题吗例12有两次自然测

验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；

第二次15道题，答

对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比

第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？

解一：

如果小明第一次测验24

题全对，得5X24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是8>

6-2X（15-6）=30

（分）•两次相差120-30=90（分）.比题目中条件相差10分，多了80分。

说明

假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次

答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。

两者两差数就可减少

6+10=16（分）.（90-10）-（6+10）=5（题）.因此第一次答对题数要比假设（全对）

减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.第一次得分5X19-1X

（24-19）=90.第二次得分8X11-2X（15-11）=80.答：

第一次得90分，第二次得

80分。

解二：

答对30题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一

题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答

错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.如果答错9题都是第一次，要从满分

中扣去6X9.但两次满分都是120分。

比题目中条件"

第一次得分多10分"

要少了6X9+10.因此，第二次答错题数是（6X9+10）-（6+10）=4（题）•第一次答错9-4=5（题）.第

一次得分5X（24-5）-1X5=90（分）.第二次得分8X（15-4）-2X4=80（分）.

习题二

1•买语文书30本，数学书24本共花83.4元。

每本语文书比每本数学书贵0.44元。

每本语

文书和数学书的价格各是多少？

2•甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。

问每种茶叶各买多少千克？

3•一辆卡车运矿石，晴天每天可运16次，雨天每天只能运11次.一连运了若干天，有晴天，也有雨天。

其中雨天比晴天多3天，但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天？

4•某次数学测验共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分。

小华得了76分.问小华做对了几道题？

5.甲，乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；

若不中，甲失2分，乙失3分。

每人各

射10发，共命中14发.结算分数时，甲比乙多10分。

问甲，乙各中几发？

6.甲，乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地。

已知两人同时分别从甲，乙

两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5

千米，求两人的速度。

？

三，从"

三"

到"

二"

和"

是两种东西，实际上还有三种

或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西。

从这两个例子的解法，

也可以看出，要把"

三种"

转化成"

二种"

来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法。

例13学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.

其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。

已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支