高考数学大一轮复习 第十一章 统计与统计案例 111学案 理 北师大版Word格式.docx
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(5)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.( ×
(6)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( ×
题组二 教材改编
2.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是( )
A.总体B.个体
C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本
答案 A
解析 由题目条件知,5000名居民的阅读时间的全体是总体;
其中1名居民的阅读时间是个体;
从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本,样本容量是200.
3.某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35~49岁的有280人,50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )
A.33,34,33B.25,56,19
C.20,40,30D.30,50,20
答案 B
解析 因为125∶280∶95=25∶56∶19,
所以抽取人数分别为25,56,19.
4.某班共有52人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知3号,29号,42号学生在样本中,那么样本中还有一个学生的学号是( )
A.10B.11C.12D.16
答案 D
解析 从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13,所以样本中还有一个学生的学号是16,故选D.
题组三 易错自纠
5.从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是( )
A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43
C.1,2,3,4,5D.2,4,6,16,32
解析 间隔距离为10,故可能的编号是3,13,23,33,43.
6.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.
答案 1800
解析 分层抽样中各层的抽样比相同.样本中甲设备生产的产品有50件,则乙设备生产的产品有30件.在4800件产品中,甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3,所以乙设备生产的产品的总数为1800件.
题型一 简单随机抽样
1.某班级有男生20人,女生30人,从中抽取10人作为样本,其中一次抽样结果是:
抽到了4名男生,6名女生,则下列命题正确的是( )
A.这次抽样中可能采用的是简单随机抽样
B.这次抽样一定没有采用系统抽样
C.这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率
D.这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率
解析 利用排除法求解.这次抽样可能采用的是简单随机抽样,A正确;
这次抽样可能采用系统抽样,男生编号为1~20,女生编号为21~50,间隔为5,依次抽取1号,6号,…,46号便可,B错误;
这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率,C和D均错误,故选A.
2.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08B.07C.02D.01
解析 由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
3.利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为
,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意知
=
,得n=28,所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为
,故选C.
思维升华应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:
一是抽签是否方便;
二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
(2)在使用随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
题型二 系统抽样
典例
(1)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:
分钟)的茎叶图如图所示:
13
3
4
5
6
8
9
14
1
2
7
15
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )
A.3B.4C.5D.6
解析 由题意知,将1~35号分成7组,每组5名运动员,成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组,故由系统抽样法知,共抽取4名.故选B.
(2)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11B.12C.13D.14
解析 由
=20,即每20人抽取1人,所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
=12.
引申探究
1.若本例
(2)中条件不变,若号码“5”被抽到,那么号码“55”________被抽到.(填“能”或“不能”)
答案 不能
解析 若55被抽到,则55=5+20n,n=2.5,n不是整数.故不能被抽到.
2.若本例
(2)中条件不变,若在编号为[481,720]中抽取8人,则样本容量为________.
答案 28
解析 因为在编号[481,720]中共有720-480=240人,又在[481,720]中抽取8人,
所以抽样比应为240∶8=30∶1,又因为单位职工共有840人,所以应抽取的样本容量为
=28.
思维升华
(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.
(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.
(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.
跟踪训练将参加夏令营的600名学生按001,002,…,600进行编号.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,则三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26,16,8B.25,17,8
C.25,16,9D.24,17,9
解析 由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N+)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤300,得k≤
,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;
令300<
3+12(k-1)≤495,得
<
k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17;
第Ⅲ营区被抽中的人数为50-25-17=8.
题型三 分层抽样
命题点1 求总体或样本容量
典例
(1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n等于( )
A.9B.10C.12D.13
解析 ∵
,∴n=13.
(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,其中甲种产品有18件,则样本容量n等于( )
A.54B.90C.45D.126
解析 依题意得
×
n=18,解得n=90,即样本容量为90.
命题点2 求某层入样的个体数
典例
(1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师的人数为( )
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A.90B.100C.180D.300
解析 由题意得抽样比为
,
∴该样本中的老年教师的人数为900×
=180.
(2)(2017·
重庆一诊)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题:
今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣( )
A.104人B.108人
C.112人D.120人
解析 由题意可知,这是一个分层抽样的问题,其中北乡可抽取的人数为300×
=300×
=108,故选B.
思维升华分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量:
按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:
根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.
(3)确定是否应用分层抽样:
分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.
跟踪训练
(1)(2017·
南昌一模)某校为了了解学生学习的情况,采用分层抽样的方法从高一1000人,高二1200人,高三n人中抽取81人进行问卷调查,已知高二被抽取的人数为30,那么n等于( )
A.860B.720
C.1020D.1040
解析 分层抽样是按比例抽样的,
所以81×
=30,解得n=1040.
(2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________.
答案 200,20
解析 该地区中小学生总人数为
3500+2000+4500=10000,
则样本容量为10000×
2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2000×
2%×
50%=20.
五审图表找规律
典例(12分)某单位有2000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表所示:
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
80
200
中年
120
160
240
600
青年
280
720
1200
320
480
1040
2000
(1)若要抽取40人调查身体状况,则应怎样抽样?
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?
(3)若要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解,则应怎样抽样?
抽取40人调查身体状况
↓(观察图表中的人数分类统计情况)
样本人群应受年龄影响
↓(表中老、中、青分类清楚,人数确定)
要以老、中、青分层,用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓(讨论单位发展与薪金调整)
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响
↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚,人数确定)
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层,用分层抽样
要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解
↓可认为全运会是大众体育盛会,一个单位人员对情况了解相当)
将单位人员看作一个整体
↓(从表中数据看总人数为2000)
人员较多,可采用系统抽样
规范解答
解
(1)按老年、中年、青年分层用分层抽样法抽取,[1分]
抽取比例为
.[2分]
故老年人、中年人、青年人各抽取4人,12人,24人.[4分]
(2)按管理、技术开发、营销、生产分层用分层抽样法抽取,[5分]
,[6分]
故管理、技术开发、营销、生产各部门分别抽取2人,4人,6人,13人.[8分]
(3)用系统抽样,
对全部2000人随机编号,号码从0001~2000,每100号分为一组,从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码,然后将这个号码分别加100,200,…,1900,共20人组成一个样本.
[12分]
1.(2018·
广东茂名月考)在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1=p2<
p3B.p2=p3<
p1
C.p1=p3<
p2D.p1=p2=p3
解析 由随机抽样的知识知,三种抽样中,每个个体被抽到的概率都相等,故选D.
2.打桥牌时,将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后,开始按次序搬牌,对任何一家来说,都是从52张总体中抽取一个13张的样本,则这种抽样方法是( )
A.系统抽样B.分层抽样
C.简单随机抽样D.非以上三种抽样方法
解析 符合系统抽样的特点,故选A.
3.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )
解析 在抽样过程中,个体a每一次被抽中的概率是相等的,因为总体容量为10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为
,故选A.
4.将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001,002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个样本编号为( )
A.700B.669C.695D.676
解析 由题意可知,第一组随机抽取的编号为015,
分段间隔数k=
=20,由题意知抽出的这些号码是以15为首项,20为公差的等差数列,则抽取的第35个样本编号为15+(35-1)×
20=695.
5.某工厂的一、二、三车间在11月份共生产了3600双皮靴,在出厂前检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c成等差数列,则二车间生产的产品数为( )
A.800B.1000
C.1200D.1500
解析 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的
,根据分层抽样的性质可知,二车间生产的产品数占产品总数的
,所以二车间生产的产品数为3600×
=1200.故选C.
6.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为( )
A.7B.9
C.10D.15
解析 由系统抽样的特点知,抽取号码的间隔为
=30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+(n-1)×
30,解得n=10.所以做问卷B的有10人.
7.(2018·
湖南怀化模拟)某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率,现用分层抽样的方法从4300人中抽取一个样本,这4300人中青年人1600人,且中年人人数是老年人人数的2倍,现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查,在抽取的样本中青年人有320人,则抽取的样本中老年人的人数为( )
A.90B.180C.270D.360
解析 设老年人有x人,从中抽取y人,则1600+3x=4300,得x=900,即老年人有900人,则
得y=180.故选B.
8.(2017·
雅礼中学月考)某中学教务处采用系统抽样方法,从学校高三年级全体1000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查.现将1000名学生从1到1000进行编号,求得间隔数k=20,即分50组每组20人.在第一组中随机抽取一个号,如果抽到的是17号,则第8组中应抽取的号码是( )
A.177B.157C.417D.367
解析 根据系统抽样的特点可知,抽取出的编号成首项为17,公差为20的等差数列,所以第8组应抽取的号码是17+(8-1)×
20=157.
9.(2017·
江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取________件.
答案 18
∴应从丙种型号的产品中抽取
300=18(件).
10.(2017·
潍坊模拟)某高中在校学生有2000人.为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山的比赛活动.每人都参与而且只能参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的
.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________.
答案 36
解析 根据题意可知,样本中参与跑步的人数为200×
=120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×
=36.
11.200名职工年龄分布如图所示,从中随机抽取40名职工作样本,采用系统抽样方法,按1~200编号,分为40组,分别为1~5,6~10,…,196~200,若第5组抽取号码为22,则第8组抽取号码为________.若采用分层抽样,40岁以下年龄段应抽取________人.
答案 37 20
解析 将1~200编号分为40组,则每组的间隔为5,其中第5组抽取号码为22,则第8组抽取的号码应为22+3×
5=37;
由已知条件得,200名职工中40岁以下的职工人数为200×
50%=100,设在40岁以下年龄段中应抽取x人,则
,解得x=20.
12.某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取__________名学生.
答案 60
解析 根据题意,应从一年级本科生中抽取的人数为
300=60.
13.(2017·
宁夏中卫二模)某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况,决定对该市参加2017年高三第一次全省统一考试(后称统考)的32所学校进行抽样调查.将参加统考的32所学校进行编号,依次为1到32,现用系统抽样法抽取8所学校进行调查,若抽到的最大编号为31,则最小编号是( )
A.3B.1C.4D.2
解析 根据系统抽样的特点可知,总体分成8组,组距为
=4,若抽到的最大编号为31,则最小编号是3.
14.某校共有学生2000名,各年级男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为________.
一年级
二年级
三年级
女生
373
男生
377
370
答案 16
解析 由题意可知二年级女生有380人,那么三年级的学生人数应该是2000-373-377-380-370=500,即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×
=16.
15.(2018·
泉州质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动,如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度,有1人对户外运动持“不喜欢”态度,有3人对户外运动持“一般”态度,那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( )
A.36人B.30人C.24人D.18人
解析 设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x,x,3x,由题意可得3x-x=12,x=6,
∴持“喜欢”态度的有6x=36(
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