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0非正非负,是一个中性数
2.数轴:
规定了原点、正方向和单位长度的直线.
(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数,如
.
(2)在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
3.相反数:
只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0.
(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.
(2)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“
”号即可.
(3)多重符号的化简:
数字前面“
”号的个数若有偶数个时,化简结果为正,若有奇数个时,化简结果为负.
4.绝对值:
(1)代数意义:
一个正数的绝对值是它本身;
一个负数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0.数a的绝对值记作
(2)几何意义:
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.
要点二、有理数的运算
1.法则:
(1)加法法则:
①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.
(2)减法法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b).
(3)乘法法则:
①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.②任何数同0相乘,都得0.
(4)除法法则:
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.即a÷
b=a·
(b≠0).
(5)乘方运算的符号法则:
①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;
②正数的任何次幂都是正数,0的任何非零次幂都是0.
(6)有理数的混合运算顺序:
①先乘方,再乘除,最后加减;
②同级运算,从左到右进行;
③如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
“奇负偶正”口诀的应用:
(1)多重负号的化简,这里奇偶指的是“-”号的个数,例如:
-[-(-3)]=-3,
-[+(-3)]=3.
(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时,这里奇偶指的是负因数的个数,正负指结果中积的符号,例如:
(-3)×
(-2)×
(-6)=-36,而(-3)×
6=36.
(3)有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时,指数为奇数,则幂为负;
指数为偶数,则幂为正,例如:
,
2.运算律:
(1)交换律:
①加法交换律:
a+b=b+a;
②乘法交换律:
ab=ba;
(2)结合律:
①加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c);
②乘法结合律:
(ab)c=a(bc)
(3)分配律:
a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有:
(1)数轴比较法;
(2)法则比较法:
正数大于0,0大于负数,正数大于负数;
两个负数,绝对值大的反而小;
(3)作差比较法.(4)作商比较法;
(5)倒数比较法.
要点四、科学记数法、近似数及精确度
1.科学记数法:
把一个大于10的数表示成
的形式(其中
,
是正整数),此种记法叫做科学记数法.例如:
200000=
2.近似数:
接近准确数而不等于准确数的数,叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞,这里的6300㎞就是近似数.
一般采用四舍五入法取近似数,只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
3.精确度:
一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位,精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
(1)精确度是指近似数与准确数的接近程度.
(2)精确度有两种形式:
①精确到哪一位.②保留几个有效数字.这两种的形式的意义不一样,一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小,例如精确到
米,说明结果与实际数相差不超过
米,而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
1.若一个有理数的:
(1)相反数;
(2)倒数;
(3)绝对值;
(4)平方;
(5)立方,等于它本身.则这个数分别为
(1)________;
(2)________;
(3)________;
(4)________;
(5)________.
【答案】
(1)0;
(2)1和-1;
(3)正数和0;
(4)1和0;
(5)-1、0和1
【解析】根据定义,把符合条件的有理数写全.
【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念.
举一反三:
【高清课堂:
有理数专题复习357133概念的理解与应用】
【变式】
(1)
的倒数是 ;
的相反数是 ;
的绝对值是 .
-(-8)的相反数是;
的相反数的倒数是_____.
(2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定上涨记为正,则-5.8元的意义是_;
如果这种油的原价是76元,那么现在的卖价是.
(3)上海浦东磁悬浮铁路全长30km,单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为m/min.
(4)若a、b互为相反数,c、d互为倒数,则
____.
(5)近似数0.4062精确到位,近似数5.47×
105精确到位,近似数3.5万精确到位,3.4030×
105精确到千位是.
【答案】
;
-8;
2
(2)降价5.8元,70.2元;
(3)
(4)3;
(5)万分;
千;
3.40×
105
2.如果(x-2)2+|y-3|=0,那么(2x-y)2005的值为().
A.1B.-1C.22006D.32005
【思路点拨】利用非负数的性质,求出
的值再代入计算.
【答案】A
【解析】因为(x-2)2,|y-3|都是非负数,且(x-2)2+|y-3|=0,所以由非负数的性质先求出x=2,
y=3的值,代入得:
(2x-y)2005=12005=1.
【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性.
3.在下列两数之间填上适当的不等号:
________
【思路点拨】根据“a-b>0,a-b=0,a-b<0分别得到a>b,a=b,a<b”来比较两数的大小.
【答案】<
【解析】法一:
作差法
由于
,所以
法二:
倒数比较法:
因为
所以
【总结升华】比较大小常用的有五种方法,要根据数的特征选择使用.
【变式】比较大小:
________0.001;
(2)
________-0.68
(1)<
(2)>
类型二、有理数的运算
4.
(1)(﹣12)﹣5+(﹣14)﹣(﹣39)
(2)﹣32÷
(﹣3)2+3×
(﹣2)+|﹣4|
(4)
(5)
【答案与解析】
解:
(1)(﹣12)﹣5+(﹣14)﹣(﹣39)
=﹣12﹣5﹣14+39
=﹣31+39
=8
=﹣9÷
9﹣6+4
=﹣1﹣6+4
=﹣3
=
×
60﹣
60
=10﹣25﹣8
=﹣23
=﹣
[(﹣
)÷
(﹣
)﹣32]
[2﹣32]
[﹣30]
=24
【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序,先乘方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里边的,同级运算从左到右依次进行计算,然后利用各种运算法则计算,有时可以利用运算律来简化运算.
【变式】计算:
(2)
【答案】解:
=-16+4-3×
1
=-15
类型三、数学思想在本章中的应用
5.
(1)数形结合思想:
有理数a在数轴上对应的点如图所示,则a,-a,1的大小关系.
A.-a<a<1B.1<-a<aC.1<-a<aD.a<1<-a
(2)分类讨论思想:
已知|x|=5,|y|=3.求x-y的值.
(3)转化思想:
计算:
(1)将-a在数轴上标出,如图所示,得到a<1<-a,所以大小关系为:
a<1<-a.
所以正确选项为:
D.
(2)因为|x|=5,所以x为-5或5
因为|y|=3,所以y为3或-3.
当x=5,y=3时,x-y=5-3=2
当x=5,y=-3时,x-y=5-(-3)=8
当x=-5,y=3时,x-y=-5-3=-8
当x=-5,y=-3时,x-y=-5-(-3)=-2
故(x-y)的值为±
2或±
8
(3)原式=
【总结升华】在解题中合理利用数学思想,是解决问题的有效手段.数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化,具体化;
分类讨论中注意分类的两条原则:
分类标准要统一,而且分类要做到不重不漏;
转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”,将“未知”转化为“已知”.
【变式】若a是有理数,|a|-a能不能是负数?
为什么?
当a>0时,|a|-a=a-a=0;
当a=0时,|a|-a=0-0=0;
当a<0时,|a|-a=-a-a=-2a>0.
所以,对于任何有理数a,|a|-a都不会是负数.
类型四、规律探索
6.将1,
,…,按一定规律排列如下:
请你写出第20行从左至右第10个数是________.
【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述,然后归纳总结,寻找规律.
【解析】认真观察可知,第1行有1个数,第2行有2个数,第3行有3个数,……,所以第20行有20个数,从第1行到第20行共有1+2+3+…+20=210个数,所以第20行最后一个数的绝对值应是
又由表中可知,凡是分母是偶数的分数是负数,故第20行最后一个数是
,以此类推向前10个,则得到第20行第10个数是
【总结升华】特例助思,探究规律,这类题主要是通过观察分析,从特殊到一般来总结发现规律,并将规律表示出来.
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