34 简单线性规划第2课时 教案高中数学必修五北师大版.docx
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34简单线性规划第2课时教案高中数学必修五北师大版
第2课时 简单线性规划
知能目标解读
1.了解线性规划的意义,掌握目标函数的约束条件,二元线性规划、可行域、最优解等基本概念.
2.掌握用图解法求方程及解线性规划问题的一般方法及步骤.
重点难点点拨
重点:
线性规划的有关概念理解及线性目标函数最值的求解方法.
难点:
线性目标函数最值(即最优解)求法.
学习方法指导
一、简单线性规划的几个概念
1.目标函数:
我们把要求最大值或最小值的函数z=ax+by+c叫做目标函数.如果目标函数是关于变量的一次函数,则又称该目标函数为线性目标函数.
2.约束条件:
目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件.如果约束条件是关于变量的一次不等式(组),又称线性约束条件.
3.线性规划问题:
在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题,称为线性规划问题,也称为二元线性规划问题.
4.可行解:
线性规划问题中,满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解.
5.可行域:
由所有可行解组成的集合称为可行域.
6.最优解:
可行域内使目标函数取最大值或最小值的解称为最优解,最优解一定在可行域里面,一般在边界处取得,最优解不一定只有一个,它可以有无数个.
二、目标函数的最值问题
在求目标函数z=ax+by+c的最值时,根据y的系数的正负,可分为以下两种情形求最值.
1.求目标函数z=ax+by+c,b>0的最值.
在线性约束条件下,当b>0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为:
(1)作出可行域;
(2)作出直线l0:
ax+by=0;
(3)确定l0的平移方向,若把l0向上平移,则对应的z值随之增大;若把l0向下平移,所对应的z值随之减小,依可行域判定取得最优解的点.
(4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.
2.求目标函数z=ax+by+c,b<0的最值.
在线性约束条件下,当b<0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为:
(1)作出可行域;
(2)作出直线l0:
ax+by=0;
(3)确定l0的平移方向:
若把l0向上平移,所得相应z值随之减小;若把l0向下平移,所对应的z值随之增大,依可行域判定取得最优解的点.
(4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.
注意:
确定最优解的方法:
①将目标函数的直线平移,最先通过或最后通过的顶点便是最优解;②利用围成可行域的直线的斜率来判断,若围成可行域的直线l1,l2,…,ln的斜率分别为k1 知能自主梳理 对于变量x、y的约束条件,都是关于x、y的一次不等式,称为.z=f(x,y)是欲达到的最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫做,当f(x、y)是x,y的一次解析式时,z=f(x、y)叫做. 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,称为;满足线性约束条件的解(x,y)叫做;由所有可行解组成的集合叫做;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做. [答案] 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 线性规划问题 可行解 可行域最优解 思路方法技巧 命题方向 求线性目标函数的最值问题 x-4y≤-3 [例1] 设Z=2x+y,式中变量x,y满足条件3x+5y≤25,求Z的最大值和最小值. x≥1 [分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于x,y的一次式,所以此问题是简单线性规划问题,使用图解法求解. [解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域),如图所示. 把Z=2x+y变形为y=-2x+Z,得到斜率为-2,在y轴上的截距为Z,随Z变化的一族平行直线. 由图可看出,当直线Z=2x+y经过可行域上的点A时,截距Z最大,经过点B时,截距Z最小. x-4y+3=0 解方程组,得A点坐标为(5,2), 3x+5y-25=0 x=1 解方程组,得B点坐标为(1,1), x-4y+3=0 所以Zmax=2×5+2=12,Zmin=2×1+1=3. [说明] 由本题的求解可以发现,解线性规划问题的关键是准确地作出可行域,准确地理解Z的几何意义,线性规划最优解一般是在可行域的边界处取得. x+y≤6, 变式应用1 (2011·大纲文,4)若变量x、y满足约束条件x-3y≤-2,则z=2x+3y x≥1, 最小值为( ) A.17B.14C.5D.3 [答案] C [解析] 本题主要考查了简单的线性规划问题,线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入目标函数,即可求出最小值,注意各直线的斜率之间的关系. x+y≤6, 由x-3y≤-2,作出可行域如图 x≥1. 作出l0: 2x+3y=0,在可行域内平移l0,显然当l0过A点时z=2x+3y取最小值. x-3y=-2 联立得A(1,1) x=1 ∴z=2x+3y的最小值为2×1+3×1=5. 命题方向 利用线性规划问题求取值范围 [例2] 已知二次函数f(x)=ax2-c(a≠0)满足-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,试求f(3)的取值范围. [分析] 本题看似不是线性规划问题,但经过思考、提取信息可以看成一个简单的线 -4≤a-c≤-1 性规划问题求解.否则直接用不等式知识求解,容易出现由求出a,c的范围, -1≤4a-c≤5 进而确定f(3)的范围而发生错误. [解析] ∵f(x)=ax2-c(a≠0), f (1)=a-c ∴ ,又∵-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5, f (2)=4a-c -4≤a-c≤-1 ∴,作出其可行域如图所示. -1≤4a-c≤5 根据题意可得目标函数f(3)=9a-c,作直线l: 9a-c=0,当直线l向下平移时,所对应的f(3)=9a -c的函数值随之增大,∴当直线l经过可行域的顶点B时,f(3)=9a-c取得最大值.解方程组 a-c=-4 ,得B(3,7), 4a-c=5 ∴f(3)max=9×3-7=20.当直线l向上平移时,所对应的f(3)=9a-c的函数值随之减小, a-c=-1 ∴当直线l经过可行域的顶点A时,f(3)=9a-c取得最小值.解方程组, 4a-c=-1 得A(0,1),∴f(3)min=9×0-1=-1, ∴f(3)的取值范围为[-1,20]. 变式应用2 (2012·抚州市统考)已知f(x)=4(a-3)x+b-2a,x∈[0,1],若f(x)≤2恒成立,求t=a+b的最大值. f(0)=b-2a≤2 [解析] 函数f(x)类似一次函数,由此可得,, f (1)=b+2a-12≤2 b≤2a+2 即, b≤-2a+14 作出可行域,如图中阴影部分所示,作直线l0: a+b=0,当直线l0向下平移时,所对应的t=a+b的值随之减小,当直线l0向上平移时,所对应的t=a+b的值随之增大.所以当直线经过可行域的顶点M时,t=a+b取得最大值,又M(3,8),所以tmax=3+8=11,所以t=a+b的最大值是11. 探索延拓创新 命题方向 求非线性目标函数的最值问题 x-y+2≥0 [例3] 已知x+y-4≥0,求: 2x-y-5≤0 (1)z=x2+y2-10y+25的最小值; (2)z=的范围. [分析] (1)其中z=x2+y2-10y+25=(x-0)2+(y-5)2的几何意义为平面区域内的点(x,y)到(0,5)距离的平方; (2)z==2·的几何意义为平面区域内的点(x,y)与(-1,-)连线斜率的2倍.关键将目标函数进行变形找到其几何意义,再利用数形结合知识求解. [解析] (1)作出可行域,如图. A(1,3),B(3,1),C(7,9). (1)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到点M(0,5)的距离的平方,过M作AC的垂线,易知垂足在AC上,故 |MN|===. |MN|2=,所以z=x2+y2-10y+25的最小值为. (2)z=2·表示可行域内点(x,y)与定点Q(-1,-)连线斜率的2倍. ∵kQA=,kQB=,故z的范围是[,]. [说明] 1.对形如z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x,y)与点(a,b)间的距离的平方最值问题. 2.对形如z=(ac≠0)型的目标函数,可先变形为z=·的形式,将问题转化为求可行域内的点(x,y)与(-,-)连线斜率的倍的范围、最值等.注意斜率不存在的情况. y≥0 变式应用3 已知实数x,y满足不等式组x-y≥0,求ω=的取值范围. 2x-y-2≥0 [解析] 作出可行域如图所示. 因为表示可行域中的点(x,y)与点(-1,1)连线的斜率.显然可行域内A点与点(-1,1)连线斜率最小,并且斜率没有最大值,最大值始终小于1,所以kmin==-,kmax不存在,所以ω=的取值范围是[-,1). 名师辨误做答 3x+2y≤10 [例4]设变量x,y满足条件x+4y≤11,求S=5x+4y的最大值. x∈Z,y∈Z x>0,y>0 [误解] 依约束条件画出可行域如图所示,如先不考虑x、y为整数的条件,则当直线5x+4y=S过点A()时,S=5x+4y取最大值,Smax=. 因为x、y为整数,而离点A最近的整点是C(1,2),这时S=13,所要求的最大值为13. [辨析] 显然整点B(2,1)满足约束条件,且此时S=14,故上述解法不正确. 对于整点解问题,其最优解不一定是离边界点最近的整点. 而要先对边界点作目标函数t=Ax+By的图像, 则最优解是在可行域内离直线t=Ax+By最近的整点. [正解] 依约束条件画出可行域如上述解法中的图示,作直线l: 5x+4y=0,平行移动直线l经过可行域内的整点B(2,1)时,Smax=14. 课堂巩固训练 一、选择题 x≤2 1.若x,y满足约束条件y≤2,则目标函数z=x+2y的取值范围是( ) x+y≥2 A.[2,6]B.[2,5]C.[3,6]D.[3,5] [答案] A x≤2 [解析] 画出不等式组y≤2表示的可行域为如图所示的△ABC. x+y≥2 作直线l: x+2y=0,平行移动直线l,当直线l经过可行域内的点B(2,0)时z取最小值2,当直线l经过可行域内的点A(2,2)时,z取最大值6,故选A. x≥1, 2.(2011·天津文,2)设变量x,y满足约束条件 x+y-4≤0,则目标函数z=3x-y的最大值 x-3y+4≤0, 为( ) A.-4B.0C.D.4 [答案] D [解析] 本题考查了利用线性规划求最值,线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域,则区域端点的值为目标函数的最值,求出交点坐标代入目标函数即可. x≥1, 由x+y-4≤0, x-3y+4≤0, 作出可行域如图: 当直线z=3x-y过点A(2,2)点时z有最大值.z最大值=3×2-2=4. 0≤x≤ 3.(2011·广东理,5)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组y≤2给定. x≤y 若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=·
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