圆锥曲线中的最值和范围问题方法Word格式文档下载.docx
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考点透视】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题,因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决:
(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系;
(2)不等式(组)求解法:
利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围;
(3)函数值域求解法:
把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
(4)利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思;
(5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此,它们的应用价值在于:
①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标;
②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题;
(6)构造一个二次方程,利用判别式0。
★★★突破重难点
范例1】已知动点P与双曲线
1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值,
1且cosF1PF2的最小值为.
的取值范
9(1)求动点P的轨迹方程;
2)若已知D(0,3),M、N在动点P的轨迹上且DMDN,求实数围.
讲解
cos
(1)由题意c=5.设|PF1|+|PF2|=2a(a
F1PF2
222|PF1|2|PF2|2|F1F2|2
2|PF1||PF2|
5),由余弦定理,得
2a210
1.
|PF1||PF2|
又|PF1|·
|PF2|(|PF1||PF2|)2
a,
2当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|?
|PF2|取最大值,2a210此时cosF1PF2取最小值21,令
a
2a2
10
解得a2=9,c5,∴b2=4,故所求P的轨迹方程为
1
9
x
y21.
(2)设N(s,t),M(x,y),则由DM故x=s,y=3+(t-3).
∵M、N在动点P的轨迹上,
DN,可得(x,y-3)=(s,t-3),
t2
消去s可得
又|t|2,
221且(s)2(t33)21且94t33)22t2
|1365|2,解得15
65
1,
2,解得t
135,
6
5,
的取值范围是[,5].
5为了求参数的取值范围,只要列出关于参数的不等式,而建立不等式的方法有多种方法,诸如:
判别式法、均值不等式法、有界性法等等.
【文】已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM||PN|22.记动点P的W.Ⅰ)
故实数
点晴】
轨迹为
(
Ⅱ)
求W的方程;
若A,B是W上的不同两点,
的最小值.
O是坐标原点,求
M,N为焦点的双曲线的右支,
解:
(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以
所求方程为:
x-y=1
(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0,x20-2),B(x0,-x02-2),OAOB=2当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,22
x-y=1中,得:
(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0
有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
代入双曲线方程
依题意可知方程1
x1x2
x1x2
4k2b24(1
2kb
1k2
b22
20
k2)?
(b22)0
解得|k|1,
k1
OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)
22k2+24
2=2+22
k2-1k2-1
=(1+k)x1x2+kb(x1+x2)+b
综上可知OAOB的最小值为2
范例2】给定点A(-2,2),已知B是椭圆
25
y1上的动点,F是右焦点,当
16
AB5BF取得最小值时,试求B点的坐标。
3
解析:
因为椭圆的
35,所以AB
53BF
AB1BF
e
,而1BF为动点e
到左准线的距离。
故本题可化为,在椭圆上求一点B,使得它到A点和左准线的距离之
和最小,过点B作l的垂线,垂点为N,过A作此准线的垂线,垂点为M,由椭圆定义
553
所以,当AB
53BF取得最小值时,B点坐标为(523,2)
点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时,常常用圆锥曲线的定义化
折为直,是一种简便而有效的好方法。
【文】点A(3,2)为定点,点F是抛物线y=4x2
的焦点,点P在抛物线y2=4x上移动,若|PA|+|PF|取得最小值,求点P的坐标。
抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
设P到准线的距离为d,则|PA|+|PF|=|PA|+d。
要使|PA|+|PF|取得最小值,由图3可知过A点的直线与准线垂直时,|PA|+|PF|取得最小值,把y=22
代入y2=4x,得P(1,2)。
【范例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动,Q2
x2
点在椭圆y21上移动,试求|PQ|的最大值。
故先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大,因此要求|PQ|222
的最大值,只要求|O1Q|的最大值.设Q(x,y),则|O1Q|2=x2+(y-4)2①22
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)②
2221将②代入①得|O1Q|2=9(1-y2)+(y-4)28y27
因为Q在椭圆上移动,所以-1y1,故当y12时,O1Qmax33此时PQmax331
点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的
有二次函数等,值得.注.意.的.是.函.数.自.变.量.取.值.范.围.的.考.察.不.能.被.忽.视.
2x2文】设P是椭圆2y21a1短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,a
求|PQ|的最大值。
解:
依题意可设
所以x=a(1-y),|PQ|=a(1-y)+y-2y+1=(1-a)y-2y+1+a
21212
=(1-a)(y-2)-2+1+a.
1-a1-a
P(0,1),Q(x,y),则|PQ|=x2+(y-1)2,又因为Q在椭圆上,22222222
11aa-1因为|y|≤1,a>
1,若a≥2,则|1-a2|≤1,当y=1-a2时,|PQ|取最大值a2-1若1<
a<
2,则当y=-1时,|PQ|取最大值2.【范例4】已知△OFQ的面积为26,OFFQ
(1)设6m46,求OFQ正切值的取值范围;
1)c2
2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),|OF|c,m
当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的方程。
解析:
(1)设OFQ=
|OF||
21|OF||FQ|sin
6m46
(2)
|cos(
)m
26
tan
设所求的双曲线方程为
2yb2
1(a0,b0),Q(x1,y1),则FQ
12|
又∵OFFQ
∴SOFQ
OF||y1|26,
m,∴OFFQ
∴y1
(c,0)
46
m
(x1
c,y1)
(x1c,y1)(x1c)c
1c2
4c,
当且仅当c=4时,
【点晴】
x1
|OQ|x1y19c623c812.
|最小,此时Q的坐标是(6,6)或(6,6)
963c2
b621b216当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时,可通过建立目标函数,求其目标函数的最值,求函数最值的常用方法有:
一元二次函数法、基本不等式法、判
a24x2y2
b212,所求方程为x41y21.
别式法、定义法、函数单调性法等。
文】已知椭圆的一个焦点为
F1(0,-22),对应的准线方程为y92,且离
心率e满足:
32,e,43成等差数列。
(1)求椭圆方程;
2)是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线x
平分,若存在,求出l的倾斜角的范围;
若不存在,请说明理由。
92
22a2
1)解:
依题意e,
∴a=3,c=22,b=1,
又F1(0,-22),对应的准线方程为
∴椭圆中心在原点,所求方程为x2
9y
(2)假设存在直线l,依题意l交椭圆所得弦MN
被x
12平分
∴直线l的斜率存在。
设直线l:
y=kx+mykxm
由2y2
222
消去y,整理得(k2+9)x2+2kmx+m2-9=0
∵l与椭圆交于不同的两点M、N,
2222∴Δ=4km-4(k+9)(m-9)>0即m
km
k29
设M(x1,y1),N(x2,y2)
把②代入①式中得
∴k>3或k<-
(k29)2
4k2
-k-9<
①
k29
②
2k
∴直线l倾斜角
(3,2)
★★★自我提升
2x1.设AB是过椭圆2a则△F1AB的面积最大为(A.bc
2yb2A)B.ab
2.已知A(3,2)、B(-4,
大值为(C)
A.10B.105C.
(k29)
(2,
23)
1(a
0)中心的弦,椭圆的左焦点为F1(-c,
ac
D.b2
0),
0),P是椭圆25
105
D.
1上一点,则|PA|+|PB的|最
3.
已知双曲线
y21,
过其右焦点
F的直线l交双曲线于AB,
若|AB|=5,则
直线l有(B)
1条
2条
C.3条
D.4条
4.
已知点P是抛物线y2=4x
上一点,设
P到此抛物线的准线的距离为
d1,到直线
x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为(C)
A.5B.4C.115(D)11
55
21
6.抛物线y=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为(_1,1)
7.如图,已知A、B是椭圆
1的两个顶点,
C、D是椭圆上两点,且分别在
AB两侧,则四边形ABCD
面积的最大值是122
8.如图3,抛物线y2=4x的一段与椭圆xy1的
43
段围成封闭图形,点
N(1,0)在x轴上,又A、B两点分别在抛物线及椭圆上,且AB//x轴,求△NAB
的周长l的取值范围。
则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上。
2y
4x
由
2x
y2
,得抛物线与椭圆的交点M的横坐标x
易知N为抛物线y2=4x的焦点,又为椭圆的右焦点,抛物线的准线l1:
x=-1,椭圆的右准线l2:
x=4,过A作ACl1于C,过B作BDl2于D,
而|BN|=e|BD|=1|BD|,|AN|=|AC|
y
∴△NAB的周长l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|
=|BC|+1|BD|=|BC|+|BD|-1|BD|
11
=|CD|-|BD|=5-|BD|
215
42|BD|4,即1|BD|
323
解法2:
设两点为A(x1,y1),B(x2,y2),它们的中点为M(x,y),两个对称点连线的方
程为x=-my+b,与方程y2=x联立,得y2+my-b=0
所以y1+y2=-m,即y
5m又因为中点M在直线y=m(x-3)上,所以得M的坐标为,
5m2又因为中点M在直线x=-my+b上,b,
22对于,有=m+4b=10-m>
0,所以10m10。
10.已知A(-2,0),B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB,且满足kPA?
kPB=t(t≠0且t≠-1).
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)当t<
0时,曲线C的两焦点为F1,F2,若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O,求t的取值范围.
(1)
设点
P坐标为(x,y),依题意得
yy22
=ty=t(x-4)
2x2
+
=1,轨迹C的方程为
+=1(x≠2).
4t
(2)当-1<
t<
0时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=2a=4.
在△F1PF2中,|F1F2|=2c=41t,∠F1PF2=120O,由余弦定理得
2222222r1r222
4c=r1+r2-2r1r2cos120=r1+r2+r1r2=(r1+r2)-r1r2≥(r1+r2)-()=3a,
∴16(1+t)≥12,∴t≥-.
41O所以当-≤t<
0时,曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
当t<
-1时,曲线C为焦点在y轴上的椭圆,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=2a=-4t,在△F1PF2中,|F1F2|=2c=41t.∠F1PF2=120O,由余弦定理得
)=3a,
2222222r1
4c=r1+r2-2r1r2cos120=r1+r2+r1r2=(r1+r2)-r1r2≥(r1+r2)-(
∴16(-1-t)≥-12t,∴t≤-4.所以当t≤-4时,曲线上存在点综上知当t<
0时,曲线上存在点
Q使∠F1QF2=120
Q使∠AQB=120O的t的取值范围是
1,0
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- 圆锥曲线 中的 范围 问题 方法
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