高中数学异面直线距离优秀教师用.docx
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高中数学异面直线距离优秀教师用
求异面直线之间距离的常用方法
求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解;或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离,或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离,或转化为求一元二次函数的最值问题,或用等体积变换的方法来解。
方法一、定义法也叫直接法,
根据定义,找出或作出异面直线的公垂线段,再计算此公垂线段的长。
这是求异面直线距离的关键。
该种方法需要考虑两种情况:
一是如两条一面直线垂直,一般采用的方法是找或做:
过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。
若两个直线不垂直,则需要找第三条直线,若第3条直线与两个异面直线都垂直,则平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。
例1已知:
边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角,求异面直线CD与AE间的距离。
思路分析:
由四边形ABCD和CDEF是正方形,得
CD⊥AD,CD⊥DE,即CD⊥平面ADE,过D作DH⊥AE于H,可得DH⊥AE,DH⊥CD,所以DH是异面直线AE、CD的公垂线。
在⊿ADE中,∠ADE=1200,AD=DE=a,DH=。
即异面直线CD与AE间的距离为。
例2如图,在空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F分别是AB、CD的中点.
例2题图
(1)求证:
EF是AB和CD的公垂线;
(2)求AB和CD间的距离;
(3)求EF和AC所成角的大小.
(1)证明:
连结AF,BF,由已知可得AF=BF.
又因为AE=BE,所以FE⊥AB交AB于E.
同理EF⊥DC交DC于点F.
所以EF是AB和CD的公垂线.
(2)在Rt△BEF中,BF=,BE=,
所以EF2=BF2-BE2=2,即EF=.
由
(1)知EF是AB、CD的公垂线段,所以AB和CD间的距离为.
(3)过E点作EG∥AC交BC于G,因为E为AB的中点,所以G为BC的中点.所以∠FEG即为异面直线EF和AC所成的角.
在△FEG中,EF=,EG=,FG=,
cos∠FEG=.
所以∠FEG=45°
所以异面直线EF与AC所成的角为45°.
例3正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,求异面直线AC与BC1的距离。
取BC的中点P,连结PD,PB1分别交AC,BC1于M,N点,
易证:
DB1//MN,DB1⊥AC,DB1⊥BC1,
∴MN为异面直线AC与BC1
的公垂线段,易证:
MN=B1D=a。
例4、正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长为b(b>a).
求:
底面对角线AC与侧棱SB间的距离.
解:
作SO⊥面ABCD于O,则点O是正方形ABCD的中心.
∵SO⊥AC,BO⊥AC,∴AC⊥面SOB.在△SOB中,作OH⊥SB于H①,
根据①、②可知OH是AC与SB的距离.
∵OH·SB=SO·OB,
方法二、转化为线面距离
若a、b是两条异面直线,过b上一点A作a的平行线C,记C与b确定的平面α。
从而,异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。
例1S为直角梯形ABCD所在平面外一点,,SA⊥平面AC,SA=AB=BC=,AD=2,求异面直线SC与AB间的距离.
解:
如图,设F是AD的中点,连结SF、CF,则AB∥CF.故AB∥平面CFS
故直线AB到平面CFS的距离就是异面直线SC与AB间的距离,
在平面SAF内作AE⊥SF,垂足为E,易知AB⊥平面SAF,
故CF⊥平面SAF.
∴CF⊥AE.从而AE⊥平面CFS,
故AE为直线AB到平面CFS的距离,即SC与AB间距离.
在中,易得AE=.
思考,与方法一的思路是否统一?
例2如图,BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内,和棱分别成α、β角,又它们和棱的交点间的距离为d,求两条异面直线BF、AE间的距离。
思路分析:
BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内,∠EAB=α,∠FAB=β,AB=d,在平面Q内,过B作BH‖AE,将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离,即为A到平面BCD间的距离,又因二面角P-AB-Q是直二面角,过A作AC⊥AB交BF于C,即AC⊥平面ABD,过A作AD⊥BD交于D,连结CD。
设A到平面BCD的距离为h。
由体积法VA-BCD=VC-ABD,得
h=
方法三、体积法:
体积法实质也为线面法
本解法是将线线距离转化为线面距离,再将线面距离转化为锥体的高,然后体积公式求之。
例1:
正方体,求AC与BC1的距离
当求AC与BC1的距离转化为求AC与平面A1C1B的距离后,设C点到平面A1C1B的距离为h,则
∵h·(a)2=·a·a2,
∴h=a,即AC与BC1的距离为a。
例2设长方体的三边长为AB=5,BC=4,=3,求AB和之间的距离.
C1
解:
如图4,由AB∥,知AB∥平面.
C
故要求AB和之间的距离,
只要求出AB到平面的距离即可.
连结,
则三棱锥的高也就是AB到平面的距离.
而,即,可求得.
故AB和之间的距离为.
评注:
等体积法是解决距离问题的常用方法,运用它可避免作一些复杂的辅助线,关键是找到容易计算面积的底面。
方法四、转化为面面距离
若a、b是两条异面直线,则存在两个平行平面α、β,且a∈α、b∈β。
求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。
例1 棱长为的正方体中,求两对角线与间的距离.
解:
连结,
∵∥,∥,,
∴平面D∥平面.
连结,则⊥,由三垂线定理,
知⊥.同理,⊥.∴⊥平面.
同理⊥平面D. ∴平面∥平面D.
设与平面D、平面的交点分别为M、N,则MN的长即为平面
与平面D的距离,也就是异面直线与间的距离.
设与的交点为O,连结,,在平面中,⊥,
⊥,则∥.
∵, ∴.同理.
∴. 故与间的距离为.
评注:
把求异面直线间的距离转化为求直线与平面或平面与平面间的距离,是求异面直线间距离时最常用的两种转化手段.
例2已知:
三棱锥S-ABC中,SA=BC=13,SB=AC=14,SC=AB=15,求异面直线AD与BC的距离。
思路分析:
这是一不易直接求解的几何题,把它补成一个易求解的几何体的典型例子,常常有时还常把残缺形体补成完整形体;不规则形体补成规则形体;不熟悉形体补成熟悉形体等。
所以,把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得,因此,将三棱锥补形转化为长方体,设长方形的长、宽、高分别为x、y、z,
则
解得x=3,y=2,z=1。
由于平面SA‖平面BC,平面SA、平面BC间的距离是2,所以异面直线AD与BC的距离是2。
例3正方体,求AC与BC1的距离
解法3:
(转化法)
∵平面ACD1//平面A1C1B,∴AC与BC1的距离等于平面ACD1与平面A1C1B的距离,(如图3所示),
∵DB1⊥平面ACD1,且被平面ACD1和平面A1C1B三等分;∴所求距离为B1D=a。
小结:
这种解法是将线线距离转化为面面距离。
方法五:
构造函数法求极值法
根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值,可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。
例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求A1B与D1B1的距离。
思路分析:
在A1B上任取一点M,作
MP⊥A1B1,PN⊥B1D1,则MN⊥B1D1,只要求出MN的最小值即可。
设A1M=x,则MP=x,A1P=x。
所以PB1=a–x,PN=(a–x)sin450=(a–x),MN=
=。
当x=时,MNmin=。
例2正方体,求AC与BC1的距离。
任取点Q∈BC1,作QR⊥BC于R点,作RK⊥AC于K点,如图4所示,
设RC=x,则OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2≥a2,
故QK的最小值,即AC与BC1的距离等于a。
小结:
这种解法是恰当的选择未知量,构造一个目标函数,通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。
例3 已知正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直,并相交于直线AD.这两个正方形的边长均为,求异面直线AE和BD的距离.
解:
P是AE上任意一点,过P作PQ垂直AD,垂足为Q,
∵平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD.
过Q作QR⊥BD,垂足为R,连结PR,则QR是PR在平面
ABCD上的射影,由QR⊥BD,知PR⊥BD.
∴PR的长度是AE上任意一点P到BD的距离.
设AQ=,则QD=-.
在中,,,AQ=,则PQ=.
在中,,则QR=(-).
∵PQ⊥平面ABCD,QR平面ABCD,∴PQ⊥QR.
在中,,
∴.
∴当=时,PR取最小值,
即异面直线AE和BD的距离为.
评注:
因异面直线的距离是异面直线上两点间距离最短的,从而可将异面直线的距离转化为二次函数的最值求解.
在求异面直线SA与BC间的距离时,可先在SA任取一点D,作DE⊥直径AC于E,则DE⊥底面圆.再作EF⊥BC于F,则有DF⊥BC,于是DF的最小值就是SA与BC间的距离.
方法六:
公式法
如图,已知异面直线a、b所成的角为q,公垂线段AA'= d,A'E=m , AF = n ,
应用此公式时,要注意正、负号的选择.
当∠DAF=q时,取负号;当点F(或点E)在点A(或A')的另一侧时取正号.
例5已知圆柱的底面半径为3,高为4,A、B两点分别在两底面圆周上,并且AB=5,求异面直线AB与轴OO/之间的距离。
思路分析:
在圆柱底面上AO⊥OO/,BO/⊥OO/,又OO/是圆柱的高,AB=5,所以d=。
即异面直线AB与轴OO/之间的距离为。
方法七射影法
将两条异面直线射影到同一平面内,射影分别是点和直线或两条平行线,那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。
例6在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,M、N分别是棱AB、CC1的中点,E是BD的中点。
求异面直线D1M、EN间的距离。
思路分析:
两条异面直线比较难转化为线面、面面距离时,可采用射影到同一平面内,把异面直线D1M、EN射影到同一平面BC1内,转化为BC1、QN的距离,显然,易知BC1、QN的距离为。
所以异面直线D1M、EN间的距离为。
8、用向量求两条异面直线间的距离
下面介绍一种利用向量进行计算的简易方法.
我们先来看看空间向量在轴上的射影.设向量AB,那么它在u轴上的投影为从图1可以看出,为了作出AB在u轴上的射影,可以过点A、B分别作与u轴垂直的
两个平面、,那么点A、B在u轴上的射影分别为A’、B’,且点A’、B’必定在平面、上.
显然,就是在u轴上的射影.从另一方面看,线段 就是异面直线A’A和B’B(如果它们不平行的话)的公垂线段,也就是两异面直线间的距离.所以,异面直线上任意两点所连接的向量在公垂线方向上射影的模亦即投影的绝对值就是两异面直线间的距离.因为
所以=表示两异面直线间的距离.由于||,它们之间的距离处处相等,所以u轴的选取不一定要是公垂线,
而只要同时与两异面直线垂直,也就是说 只要与公垂线方向向量共线即可.下面看个例子.
例5 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求异面直线AC与BC1的距离.
解:
如图2,以直线DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,D
为原点,建立空间直角坐标系.则有D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)
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