微分方程数值解生物种群的相互竞争模型.docx

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微分方程数值解生物种群的相互竞争模型

1．求微分方程的解析解,并画出它们的图形，

（1）y’=y+2x,y（0）=1,0

用matlab编程如下：

symsxyk

k=dsolve（'Dy=y+2*x','y（0）=1','x'）

ezplot（k,[0,1]）

其结果和图像如下：

ans=-2*x-2+3*exp（x）

2.y’’+ycos（x）=0,y（0）=1,y’（0）=0;

用matlab编程如下：

symsxyz

z=dsolve（'D2y+y*cos*（x）=0','y（0）=1','Dy（0）=0'）

ezplot（'z'）

其图像和结果如下：

z=cos（cos^（1/2）*x^（1/2）*t）

3．Rossler微分方程组：

当固定参数b=2,c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈（0,0.65））而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？

用matlab编程

建立rossler.m文件：

functionr=rossler（t,x）

globala;

globalb;

globalc;

r=[-x

（2）-x（3）;x

（1）+a*x

（2）;b+x（3）*（x

（1）-c）];

建立exp4-3.m如下：

globala;

globalb;

globalc;

b=2;

c=4;

t0=[0,200];

fora=0:

0.03:

0.65

[t,x]=ode45（'rossler',t0,[0,0,0]）;

subplot（1,2,1）;

plot（t,x（:

1）,'r',t,x（:

2）,'g',t,x（:

3）,'b'）;

title（'x（红色）,y（绿色）,z（蓝色）随t变化情况'）;xlabel（'t'）;

subplot（1,2,2）;

plot3（x（:

1）,x（:

2）,x（:

3））

title（'相图'）;xlabel（'x'）;ylabel（'y'）;zlabel（'z'）;

end

（1）当a=0时，图像如下：

所以当a=0时，（x,y,z）收敛于（0,0.5,0.5）

（2）当a=0.12时，图像如下：

当a=0.27时，（x,y,z）仍然收敛，但是收敛速度大大降低。

（3）当a=0.27时，图像如下

（4）当a=0.39时，图像如下

（5）当a=0.52时，图像如下

从这一系列变化的图像中可以看出，随着a的增大，（x,y,z）接近极限环的速度加快。

4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制

用matlab编程如下：

x0=[1.2;0;0;-1.04935751];

options=odeset（'reltol',1e-8）;

[t,y]=ode45（'appollo',[0,20],x0,options）;

plot（y（:

1）,y（:

3））

title（'Appollo卫星运动轨迹'）

xlabel（'X'）

ylabel（'Y'）

绘图如下：

5．盐水的混合问题

一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。

如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。

开始时，容器内盐的含量为7千克。

求经过时间t后容器内盐的含量。

做出如下假设：

1.假设在不同浓度的水中的盐扩散速度都相同。

2.假设任何时刻容器内的盐水都是均匀的。

3.用y（t）表示容器内t时刻的盐的含量，用W（t）表示容器内t时刻的水的总量，用O表示盐水流出的速度，用I代表纯水流入的速度，时间变化后容器内盐的含量为y（t+）。

考虑在内流出的盐水的为O则其流出的盐为.

通过以上假设可以得如下模型：

化简可得

使用MATLAB求解：

symsxyzk;k=dsolve（'Dy=-（y*Y）/（T（t0）+（C-Y）*t）','y（0）=7','t'）

结果为：

（7*exp（（O*log（W（t0）））/（I-O）））/exp（（O*log（W（t0）+t*（I-O）））/（I-O））

由题目可知W（t0）=350，O=10.5，I=14，从而y（t）=7000000/（t+100）^3。

6.两种生物种群竞争模型

两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。

假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从Logistic规律，即有

其中x1（t）,x2（t）分别为两种生物种群在时刻t的数量，λ1，λ2分别为其自然增长率，N1，N2是它们各自的最大容量。

当两个种群在同一个自然环境下生存时，乙消耗的同一自然资源对甲的增长产生了阻滞作用，设为

甲对乙的阻滞作用设为

由于生物种群的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。

生物种群的相互竞争模型为

1）m2（m1）为种群乙（甲）占据甲（乙）的位置的数量，并且m2=αx2;m1=α2x1。

计算x1（t）,x2（t）,画出图形及相轨迹图。

解释其解变化过程。

2）改变λ1，λ2,N1,N2,而α1，α2不变，计算并分析结果；若α1=1.5，α2=0.7，再分析结果。

由此能得到什么结论。

用matlab编程：

建立logistic.m文件：

functionl=logistic（t,x）

r=[11];

n=[100100];

m=[1.50.7];

l=[r

（1）*x

（1）*（1-x

（1）/n

（1）+m

（1）/n

（2））;r

（2）*x

（2）*（1-x

（2）/n

（2）+m

（2）/n

（1））];

建立exp4-8.m文件:

x0=[1010];

t0=[010];

[tx]=ode45（'logistic',t0,x0）;

plot（t,x（:

1）,'r',t,x（:

2）,'b'）;xlabel（'时间'）;ylabel（'种群数量'）;

title（'种群数量与时间的关系'）;

text（t（16）,x（16,1）,'\leftarrow种群一的数量'）;

text（t（18）,x（18,2）,'种群二的数\rightarrow','HorizontalAlignment','right'）;

pause

由上图可知，开始阶段，两个种群的数量都随时间而增长；随着时间的推移，种群数量达到饱和。

两者数量基本持平，种群二略占优势。

当时间足够长时，两者都将接近环境的最大容量。

改变参数，有以下实验结果

1.改变种群的增长率

r1=1,r2=0.5

r1=0.5,r2=1

由图可知，增长率改变，图形也改变，但最增长趋势不变。

2.改变环境容量

n1=100,n2=50

n1=50,n2=100

当两个物种对应的环境容量改变时，随着时间的推移，两者依旧将趋向于环境的最大容量n1,n2。

3.改变α、β的值

α=1.5、β=0.7,β<α时，种群一灭绝。

课堂练习：

7.试用微分方程数值解分析传染病模型SIR的相轨线趋势。

总黄酮

生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。

在自然界中最常见的是黄酮和黄酮醇，其它包括双氢黄（醇）、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花色苷及新黄酮类等。

简介

　　近年来，由于自由基生命科学的进展，使具有很强的抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空前的重视。

类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因的表达。

它们对健康的好处有：

（1）抗炎症

（2）抗过敏（3）抑制细菌（4）抑制寄生虫（5）抑制病毒（6）防治肝病（7）防治血管疾病（8）防治血管栓塞（9）防治心与脑血管疾病（10）抗肿瘤（11）抗化学毒物等。

天然来源的生物黄酮分子量小，能被人体迅速吸收，能通过血脑屏障，能时入脂肪组织，进而体现出如下功能：

消除疲劳、保护血管、防动脉硬化、扩张毛细血管、疏通微循环、活化大脑及其他脏器细胞的功能、抗脂肪氧化、抗衰老。

　　近年来国内外对茶多酚、银杏类黄酮等的药理和营养性的广泛深入的研究和临床试验，证实类黄酮既是药理因子，又是重要的营养因子为一种新发现的营养素，对人体具有重要的生理保健功效。

目前，很多著名的抗氧化剂和自由基清除剂都是类黄酮。

例如，茶叶提取物和银杏提取物。

葛根总黄酮在国内外研究和应用也已有多年，其防治动脉硬化、治偏瘫、防止大脑萎缩、降血脂、降血压、防治糖尿病、突发性耳聋乃至醒酒等不乏数例较多的临床报告。

从法国松树皮和葡萄籽中提取的总黄酮"碧萝藏"--（英文称PYCNOGENOL）在欧洲以不同的商品名实际行销应用25年之久，并被美国FDA认可为食用黄酮类营养保健品，所报告的保健作用相当广泛，内用称之为"类维生素"或抗自由基营养素，外用称之为"皮肤维生素"。

进一步的研究发现碧萝藏的抗氧化作用比VE强50倍，比VC强20倍，而且能通过血脑屏障到达脑部，防治中枢神经系统的疾病，尤其对皮肤的保健、年轻化及血管的健康抗炎作用特别显著。

在欧洲碧萝藏已作为保健药物，在美国作为膳食补充品（相当于我国的保健食品），风行一时。

随着对生物总黄酮与人类营养关系研究的深入，不远的将来可能证明黄酮类化合物是人类必需的微营养素或者是必需的食物因子。

性状：

片剂。

功能主治与用法用量

　　功能主治：

本品具有增加脑血流量及冠脉血流量的作用，可用于缓解高血压症状（颈项强痛）、治疗心绞痛及突发性耳聋，有一定疗效。

　　用法及用量：

口服：

每片含总黄酮６０ｍｇ，每次５片，１日３次。

不良反应与注意

　　不良反应和注意：

目前,暂没有发现任何不良反应.

洛伐他丁

【中文名称】：

洛伐他丁　　

【英文名称】：

Lovastatin　　

【化学名称】：

（S）-2-甲基丁酸-（1S,3S,7S,8S,8aR）-1,2,3,7,8,8a-六氢-3,7-二甲基

-8-[2-（2R,4R）-4-羟基-6氧代-2-四氢吡喃基]-乙基]-1-萘酯　　

【化学结构式】：

洛伐他丁结构式

【作用与用途】洛伐他丁胃肠吸收后，很快水解成开环羟酸，为催化胆固醇合成的早期限速酶（HMG－coA还原酶）的竞争性抑制剂。

可降低血浆总胆固醇、低密度脂蛋白和极低密度脂蛋白的胆固醇含量。

亦可中度增加高密度脂蛋白胆固醇和降低血浆甘油三酯。

可有效降低无并发症及良好控制的糖尿病人的高胆固醇血症，包括了胰岛素依赖性及非胰岛素依赖性糖尿病。

【用法用量】口服：

一般始服剂量为每日20mg，晚餐时1次顿服，轻度至中度高胆固醇血症的病人，可以从10mg开始服用。

最大量可至每日80mg。

【注意事项】①病人既往有肝脏病史者应慎用本药，活动性肝脏病者禁用。

②副反应多为短暂性的：

胃肠胀气、腹泻、便秘、恶心、消化不良、头痛、肌肉疼痛、皮疹、失眠等。

③洛伐他丁与香豆素抗凝剂同时使用时，部分病人凝血酶原时间延长。

使用抗凝剂的病人，洛伐他丁治疗前后均应检查凝血酶原时间，并按使用香豆素抗凝剂时推荐的间期监测。

他汀类药物

　　他汀类药物（statins）是羟甲基戊二酰辅酶A（HMG-CoA）还原酶抑制剂，此类药物通过竞争性抑制内源性胆固醇合成限速酶（HMG-CoA）还原酶，阻断细胞内羟甲戊酸代谢途径，使细胞内胆固醇合成减少，从