高中各种函数图像画法和函数性质.docx
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高中各种函数图像画法和函数性质
一次函数
一次函数
,bk符号
k?
0
0k?
b?
0
b?
0
0b?
0b?
0?
b
0b?
图象
yOx
yOx
yOx
yOx
yOx
yOx
性质
随的增大而增大yx
的增大而减小随yx
二次函数
?
a0
0?
a
图像
b?
?
xa2
bx?
?
a2
定义域
?
?
?
?
?
?
对称轴
bx?
?
a2
顶点坐标
2?
?
b?
b4ac,?
?
?
4a2a?
?
值域
2?
?
ac?
b4?
?
?
?
4a?
?
2?
?
b?
4ac?
?
?
?
4a?
?
单调区间
b?
?
?
?
?
递减?
?
a2?
?
b?
?
?
?
?
递增?
?
2a?
?
b?
?
?
?
?
递增?
?
2a?
?
b?
?
?
?
?
递减?
?
2a?
?
1/9
反比例函数
1、反比例函数图象:
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
2、性质:
1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时,函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0;值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。
4.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|
5.反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=xy=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。
2/9
x指数函数1)a≠0(a>y=a,
注意:
⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质
规律:
1.当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a>1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;
当0<a<1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
3/9
上是增函数;>1时,图像在R“大增小减”3.四字口诀:
。
即:
当aR1时,图像在上是减函数。
当0<a<4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数比较幂式大小的方法:
当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较;1.当底数中含有字母时要注意分类讨论;2.当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较;3.
或01作为中间量进行比较4.对多个数进行比较,可用底数的平移:
图像会向右平移。
图像会向左平移;在指数上加上一个数,减去一个数,图像会向上平移;f(X)在后加上一个数,减去一个数,图像会向下平移。
4/9
对数函数
1.对数函数的概念
x在定义域(-∞,+∞)由于指数函数y=a上是单调函数,所以它存在反函数,
x我们把指数函数y=a(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=logx(a>0,aa≠1).
x的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+因为指数函数y=a∞),所以对数函数y=logx的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).
a
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.
为了研究对数函数y=logx(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中a作出函数
y=logx,y=logx,y=logx,y=logx,y=logx的草图1021011102
图
象
a>1
a<1
0
(1)x>性y=0x=1时,
(2)当质(3)当x>1>y0时,y<0>(3)当x1时,0<x<1时,y>0
0
y1x0<<时,<(4)在(0上是增函数)∞,(0在(4)+,+∞)上是减函数
5/9
补充性质
1)<10<b或0<a<xy=logx其中a>1,b>1(设y=logb12ay>则y1时“底大图低”即若a>b当x>21
比较对数大小的常用方法有:
.若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断
(1).若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论
(2).若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较(3).等中间量进行比较、-1(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0
指数函数与对数函数对比3.
名称
指数函数
对数函数
一般形式
x(a>0,a≠1)y=a
1)a≠>y=logx(a0,a
定义域
∞)(-∞,+
)+∞(0,
值域
∞)(0,+
)+∞(-∞,
函数值变化情况
当a>1时,(x?
0)?
1?
?
x0)a?
1(x?
?
?
)x?
1(?
0?
当0<a<1时,?
1(x?
0)?
?
x0?
)a?
1(x?
?
)?
1(x?
0?
1时当a>)?
10(x?
?
?
)1(x?
logx?
0?
a?
)1x?
?
0(?
时,<1当0<a)?
1?
0(x?
?
)1(x?
logx?
0?
a?
)1x?
?
0(?
单调性
xa时,是增函数;a当>1x.
时,<<当0a1a是减函数
是增函数;logxa当>1时,a是减函xlog<1时,a当0<a.
数
图像
xy=x对称.
的图像关于直线xy=a的图像与y=loga
6/9
幂函数
n随着的不同,定义域、值域都会发生变化,图像都过(1,1幂函数)点x?
yn11?
?
上是增函数.时,幂函数图像过原点且在①?
?
0,a3?
2,,1,,231?
?
上是减函数.②时,幂函数图像不过原点且在?
0,?
2?
1,?
a?
?
2③任何两个幂函数最多有三个公共点.
nxy?
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
1?
n
y
y
yO
xO
xO
x
0?
n?
1
yxO
yxO
yxO
0n?
yO
yO
yO
x
x
x
xy?
2?
xy
3?
yx
1xy?
2
?
1xy?
定义域
R
R
R
?
?
0|xx?
?
?
0x?
|x
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减
7/9
?
xy?
?
?
x是常数)的图像,(R幂函数在第一象限的分布规律是:
?
xy?
?
?
x是常数),(R①所有幂函数),1(1的图像都过点;1?
3,2,?
1?
xy?
2的图像都过时函数②当)0(0,原点;?
cxy?
?
1?
);③当时,的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如2?
?
cx?
y32,?
)的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如④当时,11?
?
?
cxy?
2的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如时,④3?
x?
y),0(0?
1?
?
(如“下滑”的的图像不过原点曲线⑤时,,且在第一象限是c)4?
x?
y?
0?
有下列性质:
当时,幂函数)1,10(0,),(
(1)图象都通过点;
(2)在第一象限内都是增函数;?
?
1?
?
10?
(3)在第一象限内,时,图象是向下凸的;时,图象是向上凸的;)1,(1后,图象向右上方无限伸展。
(4)在第一象限内,过点?
xy?
?
0?
时,幂函数当有下列性质:
),1(11()图象都通过点;)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;(2yx轴无限地接轴无限地接近;向右无限地与3)在第一象限内,图象向上与(近;?
)1,(1?
取任(4越大,图象下落的速度越快。
无论)在第一象限内,过点后,?
xy?
何实数,幂函数的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
8/9
对号函数
by?
ax?
(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0函数,+∞)的图象似x符号“√”而得名,
b+)的性质:
a>0,b>0,x∈函数R(?
y?
axx
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