微积分必考题Word文档下载推荐.docx
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上面两个等价无穷小替换,下面有一项能先求出来。
杓先求出来的向在极限过程中与等价无穷小替换一样,必须是一个乘积项
5•洛必达法则
**用之前,判断未定式III
上下项数不多,导数好求。
缺点:
比如sinx等等永远无法用多项式表示,若遇
到上下鬲次很高,求导将变得十分复杂。
l+|x2-Vl+x2如:
忸,(cosx—/)sin(x2))
直接就能看岀来
6•泰勒公式
把非多项式函数近似成多项式函数•用泰勒公式之前,先想想是否可以等价无穷
小替换。
展开式可能复杂,需要记忆
如:
下面显然可以用等价无穷小替换,而上面只需要第一项的局部麦克劳林公式即可,需要记住这些:
『血(1++x「sinx£
osx
1
有关泰勒公式的几个问题:
92
1.0(X・X)o(X)
2.o(x+l)o(x)
3.o(2x)o(x)
4.X*O(X2)=O(X3)5.O(X2)*O(X3)=O(X5)
o(x)
想X*时的分式函数能用泰勒公式展开吗?
二、求积分
求某函数的原函数后,原函数必须在与这个函数的同定义区间内可微。
如f(x)=sgn(x)没有原函数(假设有,在x=0不可微),因此有:
每一个有第一类间断点的函数都没有原函数。
求积分的几个原则:
1•基本类型
2.照方抓药型(相差一个线性函数)
3.0in2xcos5xdx型
有sin找cos,没有现成的cos用半角公式,如:
sin—cos—22Qinx"
x.用半角公式:
tan—
tan—cos
22
4•第二类换元法,一般换:
根号下的,角频率中的,重复项,换元后回带
第二类换元法开方出来小心绝对值
根式代换:
5
倒代换(分母阶数较高)
最小公倍数根式代换
角频率代换:
l+“n汕x=nt
5.分数乘积化为部分分式代数和
二次质因式配方
首先■假分式可以化为真分式
6•使用分部积分
三个典型的分部积分
1若被积函数是需函数和正(余)弦函数或壽函数和指数函数的乘积、就考虑设幕函数为叽
(2若被积函数是需函数和对数函数或幕函数和反三角函数的乘积,就考
虑设对数函数或反三角函数为U
③&
Pnxdx与卜Mln”)必•出现循环序(每次要把相同的东西往微分符号中凑)
除典型分部积分以外,还有这些要分部:
①&
皿dx如果换元变成2^e3tdt(t=4x),变为了典型的分部积分
arctanx
、x匕1arctanx
(20Tdx有一大部分都可以往微分符号中放,如此题中的e
(i+x2y
③c?
rctanxdx,Q;
in(lnx)rfx别无选择,只能分部
7.观察e/(x)m/(x))dx直接凑微分
&
积化和差公式
定积分:
几个常用定积分公式
枠观察积分区间和函数奇偶
12x^+xcosx
如—dx・,可以分出一个偶函数,剩—个奇函数
I+a/1-x2
杯直接利用图形面积:
■X?
,半个单位圆
杠把极限式化为积分式:
如果插入分点平均:
水最常用:
当a=o:
再特殊的,b=l,就有……
它表示曲边梯形面积的代数和,如果求曲边梯形的面积,那么要讨论f(x)
与0的关系!
以后看到类似的题,可以先把上面的通式写下来,对号入座找f。
b-a
广义积分:
极限符号一定要标出左右才不会出错!
看清瑕点(邻域内无界的点),是否为广义积分?
—些代数恒等变形:
积化和差:
角频率不同的函数的积
倍角化为平方,一般凑(secx)愆及d(tanx)
如.Qinxsin2xsin3xdx
三、微分方程
这里主要看微分方程的类型判断:
a.—阶微分方程
1先可化为律通过上下同除或凑微分,看看是不是齐次方程
dy_f(y}
齐次方程臥一几7>
dy
2,把条放到左边去,再找y的一次项。
看是否是一阶线性齐次或非其次方程,或伯努利方程。
如果不行,把自变量与函数,重复以上方法试试。
3
如果需要换元,前面积分的换元方法是一种思想。
记住,换元是一种工具,不是求解特定题(积分)的套路。
例:
xdy-[y+x)73(l+lnx]]dx=0
哭-^=(l+lnx]y3(步骤2第—句话)
变成伯努利方程,判型成功
利用角频率代换,令xy=u.
那么对于In等利用凑微分解微分方程
=(x+jz):
把x+y放到左边分子的微分符号中.因为:
b・可降阶的高阶微分方程、观察即可判型:
不显含x,就别添x,令y'
=pM=p不显含y,就别添y,令y,=PW=P
c.高阶常系数微分方程(齐次,非齐次)齐次,求特征方程的根,一项一项写:
有一个单实根r:
C尹
有—个k重实根r:
(C14-C2x+...+Ckxkl)e/x
有一对k重共辄复根:
(G4-C2x+...+Ckxk'
i)cosbx+(2+D2x+...+Dkxk'
Jsinbx)
非齐次,一般,我们只会求二阶的特解:
类型_:
e,xPmW,则y*=x"
e"
打(x)
k取决于/是特征方程的几重根
类型二0(弓(x)cos必+©
(x)sin必)则
jz*=x电"
(R:
(x)coswx+/?
2Jx]sinwx}
n=max(/;
m)
k取决于/士M是否为特征方程的根
四、相关变化率应用题
如何列方程?
找所求,找已知,用微分形式表达,再找微分变量之间的关系。
例题:
dhdV
厂2
分析求dt已知dt而^=4000\3/?
,这样有了
dV_d(4000轴J_4000爺*2/?
d/i
~dt=dt=dt'
发现11与dV/dt都
已知了。
五、等式与不等式的证明
几大方法:
中值定理,函数的单调性,函数的凸凹性
罗尔定理三条件,闭区间连续,开区间可导
罗尔定理:
两端函数值相等,则必有一点导数值为0
拉格朗曰中值定理:
两点割线斜率等于某一点切线斜率
柯西中值定理:
函数值的増量比等于某位置导数的比(两个函数)
函数的单调性证明不等式:
高中方法,较为简单
函数的凸凹性证明不等式:
注重凸凹性的定义
丿I2丿与2的关系
在不等式中,可以采用如下放缩,估计积分大致范围:
(b・a)m£
Qf(x)dx£
(b・是区间上的最小值,m最大值
杯如果证明函数是具体的,如:
左右直接相减,用拉格朗曰定理后放缩再与o比即可
积分中值定理证明设/(兀)可导且lim/(兀)=1求。
/\
解法:
令xl[x,x+2]•直接用积分中值定理
六、图形应用题
弧微分ds=J(dx)2+(奶2=J1+”2|dx[=]l+(软岡
曲率八=2曲率半径
(1+代3
1•求平面图形面积:
直角坐标,参数方程:
以小矩形近似代替,积分变量XJ都可以
极坐标方程:
以圆扇形近似代替
常见的直角坐标方程:
222
X3+y3=q3星型线
几个常见的极坐标方程:
22
r=acos2g双纽线,哑铃型厂=a(l+cosg)心脏线
常见的参数方程:
x=q(£
-sint)摆线y=a(l-cost)
x=acost
星型线
•3亠
y=asmt
2•求体积
**星型线与其他已经有对称性的线求旋转体时只用求半个部分。
星型线绕
x轴,体积元素为pydx
柱壳法:
摆线绕y轴,原方法积分限比较易错,此时用柱壳法即可,柱壳法小心绝对值。
柱壳法避免了相减的问题,最后与原方法表达式等价。
(相当于底面积为ydx或xdy,高为2qR的薄的柱壳)
3.弧长
直角坐标:
参数方程:
ds=J"
(£
)+M(Od£
ds=JX(g)+^(g)dg
七、元素法对物理的应用
怎么建系好?
一般地,下述规律适用:
对于运动,顺着运动方向建系,选择开始有力的地方作为原点。
抽水做
功,水从上往下走。
对于压力,顺着压力増大的地方建系,选择开始有力的地方做为原点。
其他几章的常用方法:
一、导数与微分
1•点导数的定义,包括单侧导数,二阶甚至k阶导数
2.莱布尼茨公式,求u*v的n阶导一把二项式展开的几次方改为几阶导
n
acw心严
5n
因为liv在乘法中可互换,所以此处UV也可互
k=0
换。
3•—些高阶导数的公式
x2
有些高阶导数求之前要变形为这几个基本导数
化为代数和
y=smx+cosx不停地拆平方和变为1,最终用倍角表
4•对数求导法(适用于多个函数相乘和幕指函数)
二、导数应用(绘制函数图像)
导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的分界点.绘制函数图像的几个步骤:
1•定义域,奇偶性,周期性,与坐标轴交点
2•单调性,凸凹性,求极值点,极值,拐点(列表)
极值点:
第一、第二充分条件(使用第二充分条件要看函数是否二阶可导)
极值点有可能是f'
(x)=0的点或f'
(X)不存在的点
拐点有可能是厂(x)=0或厂(x)不存在的点
注意(一阶与二阶)不可导点和函数的间断点
3.水平渐近线(x->
INF),铅直渐近线(y->
INF),斜渐近
-a=lim^b=limf^-ax
线(尸ax+b),xtoox,x->
8,其实,
x->
+ocXT+CO
X->
-OCx—>
-00
水平渐近线可以和斜渐近线一起考虑
4.取几个特殊点画出函数图像即可
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