第2章气体动理论Word下载.docx
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为了以此模型为基础,求出平衡态时气体的一些宏观状态参量,还必须知道理想气体在处于平衡态时,分子的群体特征。
这些特征也叫做平衡态的统计特性。
在忽略重力场影响时,从平衡态的定义分析可知,气体分子的数密度总是处处相同的,即气体分子在容器中任何空间位置分布的机会均等,具有分布的空间均匀性,如若不然就会发生扩散,也就不是平衡态。
另一方面,在平衡态下向各个方向运动的气体的分子数是相同的,即气体分子向各个方向运动的概率是一样的,具有运动的各向同性,显然这一特征不能满足气体就由定向运动,也不是平衡态。
因此,我们将上述分析的结果归纳为平衡态的统计假设:
理想气体处于平衡态时气体分子出现在容器内任何空间位置概率相等;
气体分子向各个方向运动的概率相等。
平衡态的统计假设的正确性将由应用该统计性假设的理论结果与实验结果进行比对而得到验证。
根据上述假设还可以进一步如下一些结论:
1、分子沿各个方向运动的速度分量的各种平均值应该相等。
例如沿x、y、z三个方向速度分量的方均值应该相等。
某方向的速度分量的方均值,定义为分子在该方向上的速度分量的平方的平均值,即把所有分子在该方向上的速度分量平方后加起来再除以分子总数
,
,
按照统计性假设,分子群体在x、y、z三个方向的运动应该是各向同的,所以应该有
。
方均速率,即分子速度的平方的平均值为
由于
,所以有
即速度分量的方均值等于方均速率的三分之一。
这个结论在下面证明压强公式时要用到。
2、速度和它的各个分量的平均值为零。
平衡态理想气体中各个分子朝各个方向运动的概率相等。
因此,分子速度的平均值为零,各种方向的速度矢量相加会相互抵消。
类似地,分子速度的各个分量的平均值也为零。
二、压强公式的推导
为了简化讨论,假设有同种理想气体盛于一个长、宽、高分别l1、l2、l3的长方形容器中并处于平衡态,见下图。
设气体共有N个分子,每个分子的质量均为µ
我们先考察其中一个面上的压强,如图中的S面,其面积为l2l3。
理想气体压强公式的推导
设序号为
的分子以速度{
,
}运动(
>
0)并与S面碰撞,碰撞后速度变为{
}。
按理想气体平衡态的统计假设,分子与器壁间的碰撞是完全弹性的,由动量定理可得,一次碰撞中分子给S面的冲量为
我们假设此分子不与其它任何分子碰撞,则分子在与S面以及S面的对面碰撞时,它在x方向的速度的大小不变,只是方向发生改变;
而且在分子与其余的四个面碰撞时,它在x方向的速度也不会变,所以分子在x方向的速度的大小在运动中是一个常量,就以
表示。
此分子在容器中在x方向来回运动,不断与画阴影的S面发生碰撞,碰撞周期为
,碰撞频率为
分子在单位时间内给S面的冲量为
,气体的N个分子在单位时间内给S面的冲量为各分子给S面冲量的总和
按力学的理解,气体在单位时间内给S面的冲量也就是气体给S面的平均冲力
再按前面一个知识点所学习过的速度分量的方均值的定义:
,以及速度分量的方均值与方均速率的关系
,我们得到气体给S面的平均冲力为:
由于气体大量分子的密集碰撞,分子对器壁的冲力在宏观上表现为一个恒力,它就等于平均冲力。
因而我们可以求得S面上的压强
其中
为容器的体积。
是气体的分子数密度,最后我们得到
(1)
从上述结果,大家有几点值得注意的问题。
一是容器的各个器壁上的压强都是相等的。
二是压强公式与容器大小无关,因此我们在推导的过程中使用的假设“分子与其它分子没有碰撞”是合理的,因为我们可以假设l1足够的小。
进一步分析可知,压强公式还与容器的形状无关。
实际上,如果我们选择一个球形容器同样可以推导出上述的压强公式。
大家如果有兴趣可以参阅我们指定的参考书。
再考虑到分子的平均平动动能
带入
(1)式可得
(2)
(1)式和
(2)式均称为理想气体的压强公式。
上述表明:
气体的压强与分子数密度和平均平动动能都成正比。
这个结论与实验是高度一致的,它说明了我们对压强的理论解释以及理想气体平衡态的统计假设都是合理的。
2.2温度的微观意义
在压强的解释与压强公式知识点中我们推导出来了理想气体的压强公式
,又根据在理想气体物态方程知识点中得到的物态方程
,我们可以得到如下公式:
(1)
这就是平衡态下理想气体的温度公式。
上式说明气体分子的平均平动动能惟一决定于温度,并与热力学温度成正比。
由此可知,描写系统宏观状态的参量--温度的高低唯一地由微观量的统计平均值--分子平均平动动能的大小来确定。
因此我们说温度是分子无规则热运动的剧烈程度的量度,并可以将上式作为温度的定义式。
需要指出的是,温度公式讨论的对象仍然是由大量分子组成的理想气体,对少量分子不成立。
对于少数或单个分子谈温度是没有意义的。
温度公式
(1)表明,在相同的温度下,气体分子的平均平动动能相同而与气体的种类无关。
也就是说,如果有一团由不同种类的气体混合而成的气体处于热平衡状态,不同的气体分子的运动可能很不相同,但它们的平均平动动能却是相同的。
2.3能量均分定理
一、自由度
1、自由度的概念
确定一个物体空间位置所需要的独立坐标数,叫做该物体的运动自由度或简称自由度。
例如,将飞机看成一个质点时确定它的位置所需要的独立坐标数是三个,自由度为3,分别是飞机的经度、纬度和高度。
若将大海中航行的船看成质点,确定它的位置所需要的独立坐标数为两个,自由度为2,分别是船的经度和纬度。
船被约束在大海海面上,自由度比飞机少。
由这些事例可以看出物体自由度是与物体受到的约束和限制有关的,物体受到的限制(或约束)越多,自由度就越小。
考虑到物体的形状和大小,它的自由度等于描写物体上每个质点的坐标个数减去所受到的约束方程的个数。
2、气体分子的自由度
根据自由度的定义,单原子气体分子可以看成一个质点(理想气体)并且运动是完全自由的,则其分子需要
、
三个独立的空间坐标才能确定其位置,所以它的自由度为3;
对于刚性双原子气体分子除用
确定其质心位置(其中一个原子的位置)外,还要用两个独立的方位角才能确定其双原子连线的方位(或另一个原子的位置),因而它的自由度是5。
刚性双原子的5个自由度常常也因此分解为3个平动自由度和2个转动自由度。
刚性双原子的5个自由度也可以这样来理解,两个原子需要6个坐标,但是由于有刚性的要求(两个原子之间的距离不变),从而形成一个约束方程,自由度等于5。
对于刚性的多原子气体分子则在确定质心位置和任一过质心的轴线的方位后,还需要一个用以确定绕该轴转动的角坐标,因而它有6个自由度。
它的6个自由度也常常分解为3个平动自由度和3个转动自由度。
上述分子的自由度如下图所示。
(a)单原子分子
(b)双原子分子
(c)多原子分子
刚性分子的自由度
分子的自由度通常用i表示,平动自由度用t表示,转动自由度用r表示。
在大学物理中我们只需要大家掌握上述三种情况,对于分子内有振动(原子间距离变化)的情况不予考虑。
我们将上述情况总结如下:
单原子分子:
i=3。
刚性双原子分子:
i=5,其中t=3,r=2。
刚性多原子分子:
i=6,其中t=3,r=3。
二、能量均分定理
1、能量均分定理的说明
一个分子的平动动能可以表示为:
上式可以理解为:
分子的平动动能是分配在三个平动自由度上的。
但对于气体中的一个分子而言,这种分配没有规律,速度的各个分量大小各不相同。
对于大量分子而言,分子的平均平动动能表示为:
上式也可以理解为:
气体分子的平均平动动能也是分配在三个平动自由度上的。
但是,根据理想气体平衡态的统计假设我们有:
因而气体分子的平均平动动能在三个平动自由度上是平均分配的,即每个自由度将分得平均平动动能的三分之一。
又由温度公式
,可得每个自由度分得的平均平动动能为:
上式表明:
平衡态下的分子运动,每一个平动自由度都均分
的平均动能,没有哪个自由度的运动更占优势。
如果气体是由刚性的多(双)原子分子构成的,则分子的热运动除了分子的平动外,还有分子的转动。
转动也有相应的能量。
由于分子间频繁的碰撞,分子间的平动能量和转动能量是不断相互转化的。
当理想气体达到平衡态时,其中的平动能量与转动能量之间有什么关系呢?
是平动与转动平分能量吗?
实验证明:
理想气体达到平衡态时,其中的平动能量与转动能量是按自由度分配的。
从而就得到如下的能量按自由度均分定理。
2、能量均分定理
理想气体在温度为
的平衡态下,分子运动的每一个平动自由度和转动自由度都平均分
的能量,而每一个振动自由度平均分得
的能量。
这个结果可以由经典统计物理学理论得到严格的证明,称为能量按自由度均分定理,简称能量均分定理。
在大学物理中,我们所研究的气体一般不需要考虑分子内部的振动自由度。
所以气体分子的平均动能为:
是自由度,
为平动自由度数目,
为转动自由度数目。
平均平动动能为:
平均转动动能为:
平均动能等于平均平动动能与平均转动动能之合。
能量均分定理适用于达到平衡态的气体、液体、固体和其它由大量运动粒子组成的系统。
对大量粒子组成的系统来说,动能之所以会按自由度均分是依靠分子频繁的无规碰撞来实现的。
在碰撞过程中,一个分子的动能可以传递给另一个分子,一种形式的动能可以转化另一种形式的动能,而且动能还可以从一个自由度转移到另一个自由度。
但只要气体达到了平衡态,那么任意一个自由度上的平均动能就应该相等。
三、理想气体的内能
1、内能的定义
热运动系统的内能定义为:
系统内热运动能量的总和。
对于实际气体来说,它的内能通常包括所有分子的平动动能、转动动能、振动动能及振动势能。
由于分子间存在着相互作用的保守力,所以还具有分子之间的势能,所有分子的各种形式的动能和势能的总和称为气体的内能。
2、理想气体的内能
根据理想气体的微观模型,理想气体的分子间无相互作用,因此分子之间没有势能。
又由于不考虑分子内部原子间的振动,因此其理想气体平衡态的内能只是所有分子平动动能和转动动能之和,即
式中
为系统的总分子数,
为分子的平均动能,
为分子的平动和转动自由度。
,上式进一步可写为:
又由
,我们得到理想气体的内能公式
这说明,对于给定的系统来说(m、M、
都是确定的),理想气体平衡态的内能唯一地由温度来确定,也就是说理想气体平衡态的内能是温度的单值函数,由系统的状态参量就可以确定它的内能。
系统内能是一个态函数,只要状态确定了,那么相应的内能也就确定了。
按照理想气体物态方程
,内能公式还可以记作
如果状态发生变化,则系统的内能也将发生变化。
对于理想气体系统来说,内能的变化:
或记作
与状态变化所经历的具体过程无关。
上述与内能有关的公式我们在后面有广泛的应用希望大家熟练掌握。
2.4麦克斯韦速率分布律
一、速率分布函数
随机量的分布通常用分布函数来表示。
用分布函数表示统计分布规律有两种描述方式,一种是用离散值的方式,例如讨论掷骰子行为中的统计规律;
另一种是用连续值的方式。
我们先看对掷骰子的描述。
用
表示掷骰子每次所掷出的数值。
假设共掷了
次,其中出现
值的次数有
次(
可取1,2,3,4,5,6),各离散值出现的比率(通常可用百分比表示)为
当
充分大时,这个比率趋于一个稳定值,这就是掷出数值
的分布函数。
分布函数的物理意义通常可以用两种完全等价的方式来阐明。
其一是,掷出数值
的次数
占总投掷次数
的比率;
其二是,任意投掷一次,掷出数值为
的概率(可能性)。
对于掷骰子这个具体例子来说,只要
充分大,出现
的概率肯定是无限接近
,无论
为何值,这个概率都是相同的。
而且还必然要满足归一化条件
即全部事件的总概率是等于1。
上述描述方法可以用来描述气体分子的速率分布。
大家知道由于频繁的热运动,气体分子之间不断的碰撞将使某个分子的速率不断改变。
设想我们能够跟踪这个分子并测量它在不同时刻的速率,大家可以想象得出每次测量的分子速率是随机分布的,这种分布有什么特点和性质正是我们要讨论的问题。
需要指出的是多次测量一个分子的速率所得到的速率分布与同时测量气体的所以分子所得到的速率分布是完全相同的。
为了讨论方便我们后面所说的速率分布使用后一种方式。
离散量与连续量的分布函数
在平衡态下,气体分子速率的大小各不相同。
由于分子的数目巨大,速率
可以看作在0~
之间连续分布的。
此时分子的速率分布函数应该这样来定义:
假设系统的总分子数为
,在速率v~v+dv之间的分子数为
,则我们用
来表示在速率v~v+dv之间的分子数占系统总分子数的比率;
或者对于任意一个分子来说,这是它的速率处于v~v+dv之间的概率。
和速率区间dv的大小成正比(即dv越大则dw越大),通常用
来反映气体分子的速率分布,它与所取区间dv的大小无关而仅与速率v有关。
我们把这个比值定义为平衡态下的速率分布函数
速率分布函数
的物理意义是:
在速率v附近,单位速率区间内的分子数占系统总分子数
或者说,对于任意一个分子而言,它的速率刚好处于v值附近单位速率区间内的概率,故
也称为分子速率分布的概率密度。
对于任意一个分子来说,它的速率是多大是偶然的,但却具有一定的概率分布。
只要给出了速率分布函数,整个分子的速率分布就完全确定了。
由速率分布函数
可求出:
v~v+dv区间的分子数
v~v+dv区间的分子数在总数中占的比率,即一个分子的速率在v~v+dv区间的概率
在分布函数
的曲线上,它表示曲线下一个微元矩形的面积。
~
区间的分子数可以用积分表示为
区间的分子数在总数中占的比例,即一个分子的速率在
区间的概率
在分布曲线上,它表示在
区间曲线下的面积。
令
则
即为全部分子数N,故有
此式称为速率分布函数的归一化条件,表示所有分子与分子总数的比率为1,即一个分子速率在0~
区间的概率为1。
~
区间曲线下的面积为1。
二、麦克斯韦速率分布
理想气体在平衡态下,分子的速率分布函数为
这个函数表达的速率分布规律叫做麦克斯韦速率分布律。
式中,T为理想气体平衡态的热力学温度,m为气体分子的质量,k为玻耳兹曼常量。
上式表达的分布规律从数学形式上看是较为复杂的,从下面的曲线可以更清楚地看到它的特点。
(a)同种气体,不同温度
(b)同一温度,不同气体
麦克斯韦速率分布曲线
从上述曲线大家可以看到麦克斯韦速率分布决定于两个参数,T和m。
在一定时,麦克斯韦速率分布只适用于平衡态下包含大量分子的理想气体,少量气体分子的速率没有确定的分布规律。
非平衡态的理想气体,也不遵守麦克斯韦速率分布。
三、分子速率的三个统计平均值
下面讨论如何用速率分布函数来求速率的三个统计平均值。
一般来说,假定某量有
个测量值,测量结果为
的有
个,为
个,…为
个,按照求平均值的方法,该量测量的平均值应该是
这种形式意味着只要把各种测量值全部加起来,再除了测量总次数
,就可得
;
而
这种形式意味着,每一种测量值先乘以它出现的概率,然后再把每一种测量值与它对应的概率的乘积加起来得到
,虽然两种方法计算的结果肯定是一样的,但作为方法本身来说,还是有区别的。
同理,该量测量的方均值(先平方后再求平均值)应该是
实际上只要把上面的
式中的
来代替就达到上式。
1.平均速率
对于总分子数
很大的平衡态气体,由于分子速率在
之间的分子数有
个,这
个分子的速率严格来说肯定是不相同的,但差别极其微小,因此可以近似认为这
个分子速率都是等于
的。
所以这
个分子的速率加起来等于
,全部气体分子的速率加起来等于
,故分子的平均速率
这种形式,意味着把每个分子的速率全部加起来,然后再除以总分子数
就是
这种形式则意味着先计算速率
与速率在
区间的概率的乘积,然后再全部将它们相加得出
2.方均根速率
同理,方均速率只要将上式中的
代替即可很方便地写出
若进一步要求方均根速率只要将
开方即可:
从上述三式可以清楚地看出,为了计算
或
,实际上只要给定速率分布函数
就可以了,可见速率分布函数
的重要性。
3.最概然速率
还有一个常用的速率,也是与速率分布函数直接有关的,这就是最概然速率
它的定义是,速率分布函数(
)曲线峰值所对应的速率。
其物理意义是,在
附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大;
或者说,对于一个分子而言,它的速率刚好处于
附近单位速率区间内的概率最大。
根据求极值的方法,令
即可求出
最概然速率
、平均速率
和方均根速率
统称为速率分布的特征速率。
四、特征速率
作为平衡态的理想气体系统,它的热运动常用最概然速率、平均速率和方均根速率来表征。
按前面讲述的定义和计算方法,利用麦克斯韦速率分布函数
可得平衡态理想气体的最概然速率、平均速率和方均根速率,它们分别是:
最概然速率:
平均速率:
方均根速率:
从三个式子很容易看出,三个特征速率都和
成正比,都和
成反比,当气体的温度T和摩尔质量M相同时,
:
=1.41:
1.60:
1.73(见下图)。
在室温下,三个特征速率的数量级一般为每秒几百米。
三个特征速率就不同的问题有各自的应用。
举例来说,在讨论速率分布时,要用到最概然速率;
在计算分子运动的平均自由程时,要用到平均速率;
在计算分子的平均平动动能时,则要用到方均根速率。
从麦克斯韦速率分布函数可以看出,分布函数不仅是速率v的函数,还与系统的构成—分子的质量m,和系统的状态—温度T有关:
由可变因子T/µ
或T/M决定。
三个特征速率也仅取决于T/µ
或T/M。
从公式可以看出:
气体的温度越高,曲线的峰值速率
(以及平均速率和方均根速率)越大,但由于曲线下的总面积始终为一,故速率分布曲线会随温度升高而变得比较平坦,所以曲线的峰值
会随温度升高反而降低。
利用理想气体的物态方程
,可以把理想气体的三个特征速率用压强P和体积V来表示,例如最概然速率就可以记作
其中ρ为气体密度。
2.5麦克斯韦速率分布律的实验验证
1920年,斯特恩最早用实验方法测出了银蒸气分子的速率分布。
其后又有很多人,包括我国物理学家葛正权,对不同物质的蒸气分子进行了更为精确的测定。
精确度最高的是1956年进行的密勒-库什实验。
在下图中,S是炽热的钍分子射线源,C是一个可绕中心轴旋转的铝合金圆柱体,上面沿纵向刻有一系列长螺距的螺旋形细槽(图中只画出了一条),圆柱体的半径为r,长为L,在侧视图上,细槽两端对圆柱体轴线的张角为
是根据电离计原理制成的分子射线探测器,它可以通过钍分子电离空气产生的电流大小,测出进入探测器的钍分子射线的强度。
密勒—库什的实验装置
整个装置都放在抽成高真空的容器内。
实验时,圆柱体以一定的角速度ω旋转,从加热的蒸气源逸出后进入沟槽的分子中,只有那些沿轴向通过距离L所用时间恰好等于圆柱体转动角度φ所需时间的分子,即速率满足如下关系的分子才能沿着沟槽进入探测器,
或
而其它速率的分子都会先后沉积在沟槽的侧壁上。
事实上,由于沟槽有一定的宽度,相当于张角φ有一定的偏差范围。
实际进入探测器的分子的速率,将包含在
的范围内。
改变ω的大小,就能测出不同速率范围的钍分子射线强度,从而得到不同速率范围的分子数比率。
实验表明,如果根据实验条件对实验数据进行必要的拟合,那么实验结果与麦克斯韦速率分布是符合得相当好的。
*2.6玻尔兹曼分布律
前面一个知识点介绍的麦克斯韦分子速率分布是理想气体处于平衡态时的情况,在讨论中我们没有涉及力场(如重力场)对气体分子的影响,下面我们将深入讨论这个问题。
将麦克斯韦速率分布函数
改写为
式中,
为分子的动能。
如果把气体放在保守力场中,那么气体分子不仅有动能,而且还有势能。
一般说来,动能是速率的函数,即
,而势能则是分子在空间位置坐标的函数,即
例如,在重力场中,分子的势能为
(设h=0处,
为零)。
因此,在有力场的情况下,如果我们既要考虑分子按速率的分布(即按动能分布),也要考虑分子按空间的分布(即按势能分布),那么一个合理的考虑是,上式因子
中的
应当用粒子的总的能量
来代替。
玻耳兹曼从这个观点出发,进一步运用统计物理学基本原理得到,分子速度处于
区间内,坐标处于x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz的空间体积元dv=dxdydz内的分子数为
式中,n0表示
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