第4讲二次函数的应用教师版文档格式.docx
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则(x-20)(-2x+80)=150,
整理得:
x2-60x+875=0,
(x-25)(x-35)=0,
x1=25,x2=35,
∵20≤x≤28,
∴x=35(不合题意舍去),
答:
每本纪念册的销售单价是25元;
(3)由题意可得:
w=(x-20)(-2x+80)
=-2x2+120x-1600
=-2(x-30)2+200,
此时当x=30时,w最大,
又∵售价不低于20元且不高于28元,
∴x<30时,y随x的增大而增大,即当x=28时,w最大=-2(28-30)2+200=192(元),
该纪念册销售单价定为28元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是192元.
【例2】
(☆☆)某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;
如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;
如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元,每个月的销售量为y件.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)设每月的销售利润为W,请直接写出W与x的函数关系式;
(3)每件商品的售价定位多少元时,每个月可获得最大利润?
最大的月利润是多少元?
(1)当50≤x≤80时,y=210-(x-50),即y=260-x,
当80<x<140时,y=210-(80-50)-3(x-80),即y=420-3x.
则
(2)由利润=(售价-成本)×
销售量可以列出函数关系式
w=-x2+300x-10400(50≤x≤80)
w=-3x2+540x-16800(80<x<140),
(3)当50≤x≤80时,w=-x2+300x-10400,
当x=80有最大值,最大值为7200,
当80<x<140时,w=-3x2+540x-16800,
当x=90时,有最大值,最大值为7500,
故售价定为90元.利润最大为7500元.
【例3】
(☆☆☆)为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:
由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数:
y=﹣10x+500.
(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
(2)设李明获得的利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(3)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?
(1)当x=20时,y=-10x+500=-10×
20+500=300,
300×
(12-10)=300×
2=600元,
即政府这个月为他承担的总差价为600元.
(2)由题意得,w=(x-10)(-10x+500)
=-10x2+600x-5000
=-10(x-30)2+4000
∵a=-10<0,∴当x=30时,w有最大值4000元.
即当销售单价定为30元时,每月可获得最大利润4000元.
(3)由题意得:
-10x2+600x-5000=3000,
x1=20,x2=40.
∵a=-10<0,抛物线开口向下,
∴结合图象可知:
当20≤x≤40时,4000>w≥3000.
又∵x≤25,
∴当20≤x≤25时,w≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p元,
∴p=(12-10)×
(-10x+500)
=-20x+1000.
∵k=-20<0.
∴p随x的增大而减小,
∴当x=25时,p有最小值500元.
即销售单价定为25元时,政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
举一反三
1.(☆☆☆)某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间定价120元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,设每个房间定价增加10x元(x为整数).
(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式.
(2)设宾馆每天的利润为W元,当每间房价定价为多少元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是多少?
(3)某日,宾馆了解当天的住宿的情况,得到以下信息:
①当日所获利润不低于5000元,②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元,③每个房间刚好住满2人.问:
这天宾馆入住的游客人数最少有多少人?
(1)根据题意,得:
y=50-x,(0≤x≤50,且x为整数);
(2)W=(120+10x-20)(50-x)
=-10x2+400x+5000
=-10(x-20)2+9000,
∵a=-10<0
∴当x=20时,W取得最大值,W最大值=9000元,
当每间房价定价为320元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是9000元;
(3)由
解得20≤x≤40
∵房间数y=50-x,
又∵-1<0,
∴当x=40时,y的值最小,这天宾馆入住的游客人数最少,
最少人数为2y=2(-x+50)=20(人).
2.(☆☆)今年以来,国务院连续发布了《关于加快构建大众创业万众创新支撑平台的指导意见》等一系列支持性政策,各地政府高度重视.积极响应,中国掀起了大众创业万众创新的新浪潮.某创新公司生产营销A.B两种新产品,根据市场调研,发现如下信息:
信息1:
销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx,当x=1时,y=7;
当x=2时,y=12.
信息2:
销售B种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=2x.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求a,b的值;
(2)该公司准备生产营销A.B两种产品共10吨,请设计一个生产方案,使销售A.B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少?
(1)将x=1,y=7;
x=2,y=12代入y=ax2+bx得:
.
a=-1,b=8;
(2)设购进A产品m吨,购进B产品(10-m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,
则W=-m2+8m+2(10-m)=-m2+6m+20=-(m-3)2+29,
∵-1<0,
∴当m=3时,W有最大值29万,
∴购进A产品3吨,购进B产品7吨,销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是29万元.
3.(☆☆)某政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元.销售过程中发现,月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:
y=-10x+n.
(1)当销售单价x定为25元时,李明每月获得利润为w为1250元,则n=______;
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
并求最大利润为多少元.
(1)∵y=-10x+n,当销售单价x定为25元时,李明每月获得利润为w为1250元,
∴则W=(25-20)×
(-10×
25+n)=1250,
n=500;
故答案为:
500.
(2)由题意,得:
w=(x-20)•y,
=(x-20)•(-10x+500)=-10x2+700x-10000,
令:
-10x2+700x-10000=2000,
解这个方程得:
x1=30,x2=40(舍).
李明想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元.
(3)由
(2)知:
w=-10x2+700x-10000,∴x=−
=35.
∵-10<0,∴抛物线开口向下.
∵x≤32∴w随x的增大而增大.
∴当x=32时,w最大=2160.
销售单价定为32元时,每月可获得最大利润,最大利润为2160元.
【例4】
(☆☆☆)屈原食品公司接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只5元.为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人小明第x天生产的粽子数量为n只,n与x满足如下关系式:
(1)小明第几天生产的粽子数量为390只?
(2)设第x天每只粽子的成本是y元,y与x之间的关系的函数图象如图所示.若小明第x天的净利润为w元,试求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的净利润最大?
最大值是多少元?
(提示:
净利润=出厂价﹣成本)
(1)∵45×
5=225<390,
∴30x+90=390,
x=10,
小明第10天生产的粽子数量为390只;
(2)由图象可知,当0≤x≤9时,y=3.4;
当9<x≤15时,设y=kx+b,
将(9,3.4)、(15,4)代入,得:
∴y=0.1x+2.5;
①当0≤x≤5时,w=(5-3.4)×
45x=72x,
∵w随x的增大而增大,
∴当x=5时,w取得最大值,w最大=360元;
②当5<x≤9时,w=(5-3.4)(30x+90)=48x+144,
∴当x=9时,w取得最大值,w最大=576元;
③当9<x≤15时,w=[5-(0.1x+2.5)](30x+90)
=-3x2+66x+225
=-3(x-11)2+588,
∴当x=11时,w取得最大值,w最大=588元;
综上,当x=11时,w取得最大值,w最大=588元,
第11天的净利润最大,最大值是588元.
1.(☆☆)润土企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系:
y=
(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?
(2)设第x天生产的产品成本为P元/件,P与x的函数图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数关系式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?
∵若7.5x=70,得:
x=
>4,不符合题意;
∴5x+10=70,
x=12,
工人甲第12天生产的产品数量为70件;
(2)由函数图象知,当0≤x≤4时,P=40,
当4<x≤14时,设P=kx+b,
将(4,40)、(14,50)代入,得:
∴P=x+36;
①当0≤x≤4时,W=(60-40)•7.5x=150x,
∵W随x的增大而增大,
∴当x=4时,W最大=600元;
②当4<x≤14时,W=(60-x-36)(5x+10)=-5x2+110x+240=-5(x-11)2+845,
∴当x=11时,W最大=845,
∵845>600,
∴当x=11时,W取得最大值,845元,
第11天时,利润最大,最大利润是845元.
2.(☆☆)为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:
由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.王宏按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数:
y=﹣10x+400.
(1)王宏在开始创业的第一个月将销售单价定为18元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?
(2)设王宏获得的利润为W(元),当销售单价为多少元时,每月可获得最大利润?
(3)若物价部门规定,这种节能灯销售单价不得高于24元.如果王宏想要每月获得的利润不低于2000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?
(1)当x=18时,y=-10x+400=-10×
18+400=220,
220×
(12-10)=220×
2=440元.
即政府这个月为他承担的总差价为440元.
(2)依题意得,w=(x-10)(-10x+400)
=-10x2+500x-4000
=-10(x-25)2+2250
∵a=-10<0,
∴当x=25时,w有最大值2250元.
即当销售单价定为25元时,每月可获得最大利润2250元.
-10x2+500x-4000=2000,
x1=20,x2=30.
当20≤x≤30时,2250≥w≥2000.
又∵x≤24,
∴当20≤x≤24时,w≥2000.
∴当x=24时,政府每个月为他承担的总差价最小,y=-24×
10+400=160,
160×
2=320,
∴政府每个月为他承担的总差价最小值320元.
即销售单价定为24元时,政府每个月为他承担的总差价最少为320元.
【例5】(☆)(2018•江干区一模)2017-2018赛季中国男子篮球职业联赛季后赛正如火如荼的进行.在浙江广厦队与深圳马可波罗对的一场比赛中,广厦队员福特森在距篮下4米处跳起投篮,篮球准确落入篮圈.已知篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,篮圈中心到地面的距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的函数表达式;
(2)已知福特森身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,问:
球出手时,他跳离地面的高度是多少?
(1)根据题意知抛物线的顶点坐标为(0,3.5),且过点(1.5,3.05),
设抛物线解析式为y=ax2+3.5,
将(1.5,3.05)代入,得:
a=-0.2,
则抛物线解析式为y=-0.2x2+3.5;
(2)设球出手时,他跳离地面的高度为hm,
∵y=-0.2x2+3.5,
而球出手时,球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05)m,
∴h+2.05=-0.2×
(-2.5)2+3.5,
∴h=0.2.
球出手时,他跳离地面的高度为0.2m.
1.(☆)如图所示,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式;
(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,问:
(1)∵当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,
∴抛物线的顶点坐标为(0,3.5),
∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5.
由图知图象过以下点:
(1.5,3.05).
∴2.25a+3.5=3.05,
∴抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5.
【例6】
(☆☆)有一座抛物线型拱桥,其水面宽AB为18米,拱顶O离水面AB的距离OM为8米,货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF,如图建立平面直角坐标系.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)如果限定矩形的长CD为9米,那么矩形的高DE不能超过多少米,才能使船通过拱桥;
(3)若设EF=a,请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示,并指出a的取值范围.
(1)y=-
x2(-9≤x≤9)
(2)∵CD=9
∴点E的横坐标为
,则点E的纵坐标为−
×
(
)2=−2
∴点E的坐标为(
,−2),
因此要使货船能通过拱桥,则货船最大高度不能超过8-2=6(米)
【例7】
(☆☆)如图,把一张长15cm,宽12cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).设剪去的小正方形的边长为xcm.
(1)请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积;
(2)当剪去的小正方形的边长为多少时,其底面积是130cm2?
(3)试判断折合而成的长方体盒子的侧面积是否有最大值?
若有,试求出最大值和此时剪去的小正方形的边长;
若没有,试说明理由.
(1)(15-2x)(12-2x)cm2;
(2)依题意得:
(15-2x)(12-2x)=130,即2x2-27x+25=0,
解得x1=1,x2=
(不合题意,舍去),
∴当剪去的小正方形的边长为1cm时,其底面积是130cm2;
(3)设长方体盒子的侧面积是S,则S=2[(15-2x)x+(12-2x)x],即S=54x-8x2,
S=-8(x-
)2+
,(0<x<6),
当x=
时,S最大值=
即当剪去的小正方形的边长为
cm时,长方体盒子的侧面积有最大值
cm2.
【例8】
(☆☆)某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的三处各留1m宽的门.
已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m,求饲养室占地的最大面积是多少?
设垂直于墙的边长为xm.
由题意可得面积S=x(27+3-3x)
=x(30-3x)
=-3x2+30x
∴-
=-
=5,
当x=5时,S最大=5(30-3×
5)=75
饲养室占地的最大面积是75m2.
举一反三
1.(☆☆)某农场拟建三件矩形饲养室,饲养室一面靠现有墙(墙可用长≤20m),中间用两道墙隔开,已知计划中的建筑材料
可建围墙的总长为60m,设饲养室宽为x(m),总占地面积为y(m2)(如图所示).
(1)求y关于x的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)三间饲养室占地总面积有可能达到210m2吗?
请说明理由.
(1)设饲养室宽为x(m),则长为(60-4x)m,
∴y=x(60-4x)=-4x2+60x,
∵0<60-4x≤20,
∴10≤x<15;
(2)不能,理由如下:
当y=210时,-4x2+60x=210,
或x=
∵x=
<10,且x=
<10,
∴不能.
2.(☆☆)如图,把一张长10cm,宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).设剪去的正方形的边长为xcm.
(1)要使折成长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少?
(2)设折成长方体盒子的侧面积为y(cm2),求y关于x的函数关系式,并确定折成长方体盒子的侧面积是否有最大值?
如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;
如果没有,请你说明理由.
(1)设正方形的边长为xcm.
则(10-2x)(8-2x)=48,
即x2-9x+8=0,
解得x1=8(不合题意,舍去),x2=1.
剪去的正方形的边长为1cm.
(2)正方形的边长为xcm,设盒子的侧面积为ycm2,
则y与x的函数关系式为:
y=2(10-2x)x+2(8-2x)x,
即y=-8x2+36x.(0<x<4)
改写为y=-8(x-
∴当x=2.25时,y最大=40.5.
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时,长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2.
1.(☆)某超市有一种商品,进价为2元,据市场调查,销售单价是13元时,平均每天销售量是50件,而销售价每降低1元,平均每天就可以多售出10件.若设降价后售价为x元,每天利润为y元,则y与x之间的函数关系为( B )
A.y=10x2﹣100x﹣160B.y=﹣10x2+200x﹣360
C.y=x2﹣20x+36D.y=﹣10x2+310x﹣2340
2.(☆)国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为x,该药品原价为18元,降价后的价格为y元,则y与x的函数关系式为( C )
A.y=36(1﹣x)B.y=36(1+x)C.y=18(1﹣x)2D.y=18(1+x2)
3.(☆)已知矩形的周长为36m,矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱,设矩形的一条边长为xm,圆柱的侧面积为ym2,则y与x的函数关系式为( C)
A.y=﹣2πx2+18πxB.y=2πx2﹣18πxC.y=﹣2πx2+36πxD.y=2πx2﹣36πx
4.(☆)如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图,在所给出的平面直角坐标系中,当水位在AB位置时,水面宽度为10m,此时水面到桥拱的距离是4m,则抛物线的函数关系式为( C )
A.y=
B.y=﹣
C.y=﹣
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