高中数学321几类不同增长的函数模型同步讲练新人教版必修1Word文档格式.docx
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为常数
(1)指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
性质函数
在
上的增减性
增函数
增长的速度
先慢后快
先快后慢
相对平稳
图象的变化
随着
的增大,图象上升的速度逐渐变快
的增大,图象上升的速度逐渐变慢
值的不同而不同
(2)指数函数、对数函数和幂函数的衰减趋势比较
减函数
衰减的速度
的增大,图象下降的速度逐渐变慢
的增大,图象下降的速度逐渐变
典例精讲剖析
例1.有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元,在甲、乙两家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销,买一台单价为780元,买二台单价为760元,依次类推,每多买一台单价均减少20元,但每台最低不低于440元;
乙商场一律按原价的75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费最小.
【解析】设单位购买x台影碟机,在甲商场购买,每台的单价为800–20x,则总费用
,在乙商场购买,费用y=600x.
(1)当0<x<10时,(800x–20x2)>600x
∴购买影碟机低于10台,在乙商场购买.
(2)当x=10时,(800x–20x2)=600x
∴购买10台影碟机,在甲商场或在乙商场费用一样.
(3)当10<x≤18时,(800x–20x2)<600x
∴购买影碟机多于10台且不多于18台,在甲商场购买.
(4)当x≥18时,600x>440x
∴购买影碟机多于18台,在甲商场购买.
答:
若购买小于10台,去乙商场购买;
若购买10台,在甲商场或在乙商场费用一样多;
若购买多于10台,在甲商场购买.
例2.为了尽快改善职工住房困难,鼓励个人购房和积累建房基金,决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房积金,办法如下:
每月工资
公积金
1000元以下
不交纳
1000元至2000元
交纳超过1000元部分的5%
2000元至3000元
1000元至2000元部分交纳5%,
超过2000元部分交纳10%
3000元以上
1000元至2000元部分交5%,2000元至
3000元交10%,3000元以上部分交15%
【解析】设职工每月工资为x元,交纳公积金后实得数为y元,则
当0<
x<
1000时,y=x;
当1000≤x<
2000时,
y=1000+(x-1000)(1-5%)=0.95x+50;
当2000≤x<
3000时,
y=1000+1000(1-5%)+(x-2000)(1-10%)=0.9x+150;
当x≥3000时,
y=1000+1000(1-5%)+1000(1-10%)+(x-3000)(1-15%)=0.85x+300.
因此y与x的关系可用分段函数表示如下
例3.
(1)某种储蓄的月利率是0.36%,今存入本金100元,求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式,并计算5个月后的本息和(不计复利).
(2)按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元,每期利率2.25%,试计算5期后的本利和是多少?
【解析】
(1)利息=本金×
月利率×
月数.
y=100+100×
0.36%·
x=100+0.36x,当x=5时,y=101.8,∴5个月后的本息和为101.8元.
(2)已知本金为a元,1期后的本利和为
y1=a+a×
r=a(1+r),
2期后的本利和为
y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;
3期后的本利和为y3=a(1+r)3;
……
x期后的本利和为y=a(1+r)x.
将a=1000,r=2.25%,x=5代入上式得
y=1000×
(1+2.25%)5=1000×
1.02255.
由计算器算得y=1117.68(元).
复利函数式为y=a(1+r)x,5期后的本利和为1117.68元.
例4.某皮鞋厂今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受定单不至于过多或过少,需要估计以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长,就月份x,产量为y给出四种函数模型:
y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a
+b,y=abx+c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量?
【解析】本题是通过数据验证,确定系数,然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型.
由题意知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).
(1)设模拟函数为y=ax+b,将B、C两点的坐标代入函数式,有
,解得
所以得y=0.1x+1.
因此此法的结论是:
在不增加工人和设备的条件下,产量会月月上升1000双,这是不太可能的.
(2)设y=ax2+bx+c,将A、B、C三点代入,有
,
所以y=–0.05x2+0.35x+0.7.
因此由此法计算4月份产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且,由二次函数性质可知,产量自4月份开始将月月下降(图象开口向下,对称轴x=3.5),不合实际.
(3)设y=
+b,将A,B两点的坐标代入,有
所以y=
.
因此把x=3和4代入,分别得到y=1.35和1.48,与实际产量差距较大.
(4)设y=abx+c,将A,B,C三点的坐标代入,得
所以y=–0.8×
(0.5)x+1.4.
因此把x=4代入得y=–0.8×
0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣,既要考虑到误差最小,又要考虑生产的实际,比如增产的趋势和可能性.经过筛选,以指数函数模拟为最佳,一是误差小,二是由于新建厂,开始随工人技术、管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但过一段时间之后,如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.
因此,选用y=–0.8×
0.54+1.4模拟比较接近客观实际.
精练部分
A类试题(普通班用)
1.某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元,当售价为50元时,一个月能卖出500件.通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品的月利润最高,应将每件商品定价为( )
A.45元 B.55元C.65元D.70元
[答案] D
[解析] 设每件商品定价为x元,则一个月的销量为500-(x-50)×
10=1000-10x件,
故月利润为y=(x-40)·
(1000-10x)=-10(x-40)(x-100),
∵
,∴40<
100,
∴当x=70时,y取最大值,故选D.
2.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则( )
A.a=bB.a>
bC.a<
bD.a、b的大小无法确定
[答案] B
[解析] 一月份产量为a(1+10%),二月份产量b=a(1+10%)(1-10%)=a(1-1%),
∴b<
a,故选B.
3.甲、乙两人在一次赛跑中,路程S与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点
[解析] 从图可以看出,甲、乙两人同时出发(t=0),跑相同多的路程(S0),甲用时(t1)比乙用时(t2)较短,即甲比乙的速度快,甲先到达终点.
4.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管OA=1m,水从喷头A喷出后呈抛物线状,先向上至最高点落下,若最高点距水面2m,A离抛物线对称轴1m,则在水池半径的下列可选值中,最合算的是( )
A.3.5mB.3mC.2.5mD.2m
[答案] C
[解析] 建立如图坐标系,据题设y轴右侧的抛物线方程为y=a(x-1)2+2.
∵抛物线过点A(0,1)
∴将(0,1)点代入方程得a=-1,∴y=-(x-1)2+2.
令y=0,得x=1+
,x=1-
(舍),故落在水面上的最远点B到O点距离为(1+
)m,考虑合算,须达到要求条件下用料最少,∴选C.
5.为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月(30天)的通话时间x(分),与通话费y(元)的关系如图所示.
如意卡
便民卡
(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式;
(2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜.
【分析】
(1)由图象可设y1=k1x+29,y2=k2x,把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1,y2得
∴
(2)令y1=y2,即
,则
当x=96
时,y1=y2,两种卡收费一致;
当x<96
时,y1>y2,即如意卡便宜;
当x>96
时,y1<y2,即便民卡便宜.
6.商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数,标价越高,购买人数越少.已知标价为每件300元时,购买人数为零.标价为每件225元时,购买人数为75人,若这种羊毛衫的成本价是100元/件,商场以高于成本价的相同价格(标价)出售,问:
(1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元?
(2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元?
[解析]
(1)设购买人数为n人,羊毛衫的标价为每件x元,利润为y元,则n=kx+b(k<
0),
,∴
,∴n=-x+300.
y=-(x-300)·
(x-100)=-(x-200)2+10000,x∈(100,300]
∴x=200时,ymax=10000
即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件200元.
(2)由题意得,-(x-300)·
(x-100)=10000×
75%
∴x2-400x+30000=-7500,∴x2-400x+37500=0,
∴(x-250)(x-150)=0,∴x1=250,x2=150
所以当商场以每件150元或250元出售时,可获得最大利润的75%.
B类试题(尖子班用)
5.英语老师准备存款5000元.银行的定期存款中存期为1年的年利率1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元.
[答案] 5514.99
[解析] 根据题意,五年后的本息共5000(1+1.98%)5=5514.99(元).
6.设物体在8∶00到16∶00之间的温度T是时间t的函数:
T(t)=at2+bt+c(a≠0),其中温度的单位是°
C,时间的单位是小时,t=0表示12∶00,t取正值表示12∶00以后,若测得该物体在8∶00的温度为8°
C,12∶00的温度为60°
C,13∶00的温度为58°
C,则T(t)=________.
[答案] -3t2+t+60
[解析] 将t=-4,T=8;
t=0,T=60;
t=1,T=58分别代入函数表达式中即可解出a=-3,b=1,c=60.
7.等腰三角形周长为20,则底边长y关于腰长x的函数解析式是
[解析] ∵2x+y=20,∴y=20-2x
由
得:
5<
10,故y=20-2x (5<
10)
8.为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围每月(30天)的通话时间x(分),与通话费y(元)的关系如图所示.
9.商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数,标价越高,购买人数越少.已知标价为每件300元时,购买人数为零.标价为每件225元时,购买人数为75人,若这种羊毛衫的成本价是100元/件,商场以高于成本价的相同价格(标价)出售,问:
10.学校请了30名木工,要制作200把椅子和100张课桌.已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7,问30名工人应当如何分组(一组制课桌,另一组制椅子),能使完成全部任务最快?
[分析] 制作课桌和椅子中所花较多的时间即为完成任务的时间,只要它最小,即完成任务最快.
[解析] 设x名工人制课桌,(30-x)名工人制椅子,一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子,
∴制作100张课桌所需时间为函数P(x)=
制作200把椅子所需时间为函数Q(x)=
完成全部任务所需的时间f(x)为P(x)与Q(x)中的较大值.
欲使完成任务最快,须使P(x)与Q(x)尽可能接近(或相等).
令P(x)=Q(x),即
=
解得x=12.5,∵人数x∈N,考察x=12和13的情形有P(12)≈1.19,Q(12)≈1.111,P(13)≈1.099,Q(13)≈1.176,∴f(12)=1.19,f(13)=1.176,
∵f(12)>
f(13),∴x=13时,f(x)取最小值,∴用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子完成任务最快.
[点评] 本题有几点需特别注意,人数x必须是自然数,故P(x)与Q(x)不相等,f(x)是P(x)与Q(x)中的较大者,完成任务最快的时间是f(x)的最小值.
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